Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul - UEMS 1 a LISTA DE EXERCÍCIOS DE MECÂNICA - NOTURNO. Sejam 3 vetores a, b e c dados por.

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1 Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul - UEMS 1 a LISTA DE EXERCÍCIOS DE MECÂNICA - NOTURNO Questão 1 Sejam 3 vetores a, b e c dados por a = (2, 1, 3), b = ( 1, 1, 0) e c = (0, 2, 1). Determine: a) a + b + c; b) a b, a c e b c; c) um vetor d tal que a d = c d = 1 e b d = 2. Resposta: a) (1, 2, 2), b) a b = 3, a c = 5 e b c = 2 e c) (2, 0, 1). Questão 2 Sejam 2 vetores a e b dados por a = (1, 1, 0), e b = ( 2, 2, 1). Determine: a) a + b; b) 2 a b; c) a b; d) um vetor c tal que a c = 1, b c = 0 e c c = 5. Resposta: a) ( 1, 1, 1), b) (4, 4, 1), c) 4 e d) (0, 1, 2) ou ( 1, 0, 2). Questão 3 Dois vetores m e n têm módulos iguais a 4 unidades. A orientação desses vetores é apresentada na figura abaixo. Determine:

2 a) as componentes x e y dos vetores m e n; b) o vetor r = m + n e seu módulo; c) o ângulo θ que r faz com o sentido positivo do eixo x. Resposta: a) m = (2, 2 3) e n = (2 3, 2), b) r (5, 46, 5, 46) e r 7, 7 e c) Questão 4 Uma rua EF é reta e tem 4, 0km de comprimento. Um carro A, com velocidade constante de módulo 20m/s, parte da extremidade E indo para a extremidade F. Outro carro B, com velocidade constante de módulo de 25m/s, parte de F indo para E, 20s depois da partida de A. a) Quanto terá percorrido o carro A antes do início do movimento do carro B na rua EF? b) Escolha um referencial (uma origem e um sentido) e escreva as equações das posições instantâneas dos carros A e B. c) Em que instante, após a partida do carro B, os carros A e B se encontrarão? d) Em que ponto na rua EF haverá esse encontro? Resposta: a) 400m, c) 80s e d) 2000m. Questão 5 Dois objetos A e B iniciam uma queda livre desde o repouso, de uma mesma altura, e defasados de 1, 0s. a) Quanto terá percorrido o primeiro objeto A antes do início do movimento do segundo objeto B? b) Escolha um referencial (uma origem e um sentido) e escreva as equações das posições instâneas dos objetos A e B. c) Quanto tempo após o início da queda do segundo objeto, os dois objetos estarão separados por uma distância de 10m? Resposta: a) 4, 9m e c) 0, 52s. Questão 6 Um motorista percorre em linha reta 10km com velocidade constante de módulo 40km/h, os 10km seguintes com velocidade constante de 80km/h e mais 10km a velocidade constante de 50km/h. Qual é o valor da velocidade média ao final desse percurso? Resposta: 52, 2km/h. Questão 7 Um foguete para pesquisas meteorológicas é lançado verticalmente para cima. O combustível, que lhe imprime uma aceleração resultante de 1, 5g (onde g = 9, 8m/s 2 é a aceleração da gravidade) durante o período de queima, esgota-se após 20s. a) Qual a altitude atingida pelo foguete ao se esgotar o combustível? b) Qual o tempo necessário para que ele alcance a altitude máxima? c) Qual a altitude máxima atingida por esse foguete? d) Depois de quanto tempo, ele volta ao solo?

3 e) Com que velocidade ele atinge o solo? Resposta: a) 2940m, b) 50s, c) 7350m, d) 89s e e) 382m/s. Questão 8 A cabeça de uma cascavel pode acelerar 50m/s 2 ao atacar uma vítima. Se um carro pudesse ter essa aceleração, encontre: a) em quanto tempo esse carro atingiria a velocidade de 90km/h partindo do repouso; b) qual seria a distância percorrida por esse carro nesse intervalo de tempo. Resposta: a) 0, 5s e b) 6, 25m. Questão 9 Um avião a jato pratica manobras para evitar detecção pelo radar e está 35m acima do solo plano (veja a figura abaixo). Repentinamente ele encontra uma rampa levemente inclinada de 4, 3 0, o que é difícil de detectar. De que tempo dispõe o piloto para efetuar uma correção que evite choque com o solo? A velocidade em relação ao ar é de 1.300km/h. Resposta: t 1, 3s. Questão 10 A posição de uma partícula que se move em um plano xy é dada por com r em metros e t em segundos. Calcule r, v e a em t = 2s. r = (2t 3 5t)i + (6 7t 4 )j, (1) Resposta: r 2 = (6, 106)m, v 2 = (19, 224)m/s e a 2 = (24, 336)m/s 2. Questão 11 As posições instantâneas de uma partícula que se move no plano xy são dadas pela expressão abaixo r = (b 1 t + b 2 t 2, b 3 t + b 4 t 3 ), onde b 1 = 2cm/s, b 2 = 1cm/s 2, b 3 = 1cm/s e b 4 = 2cm/s 3. Determine: a) o vetor velocidade média dessa partícula entre os instantes 1s e 2s; b) o vetor velocidade instantânea dessa partícula e seu valor nos instantes 1s e 2s; c) o vetor aceleração média entre esses mesmos instantes;

4 d) o vetor aceleração instantânea e seu valor no instante 1s. Resposta: a) ( 1, 13)cm/s, b) v 1 = (0, 5)cm/s e v 2 = ( 2, 23)cm/s, c) ( 2, 18)cm/s 2 e d) ( 2, 12)cm/s 2. Questão 12 As posições instantâneas de uma partícula que se move no plano xy são dadas pela expressão abaixo r = (b 1 t + b 2 t 3, b 3 t 2 + b 4 t 4 ), onde b 1 = 2cm/s, b 2 = 1cm/s 3, b 3 = 1cm/s 2 e b 4 = 1cm/s 4. Determine: a) o vetor velocidade média dessa partícula entre os instantes 1s e 2s; b) o vetor velocidade instantânea dessa partícula e seu valor nos instantes 1s e 2s; c) o vetor aceleração média entre esses mesmos instantes; d) o vetor aceleração instantânea e seu valor no instante 1s. Resposta: a) ( 5, 12)cm/s, b) v 1 = ( 1, 2)cm/s e v 2 = ( 10, 28)cm/s, c) ( 9, 26)cm/s 2 e d) ( 6, 10)cm/s 2. Questão 13 Mostre que para um lançamento oblíquo de um projétil com velocidade inicial de módulo v 0 sob um ângulo de inclinação θ em relação ao solo (desprezando a resistência do ar) a) a equação da trajetória desse projétil é uma equação de uma parábola dada por y = y 0 + tgθ(x x 0 ) g(x x 0) 2 2v 2 0cos 2 θ, onde y representa uma posição vertical em relação ao solo, x uma posição horizontal em relação ao solo, x 0 e y 0 são as posições iniciais desse projétil e g é a aceleração da gravidade; b) a altura máxima (H) atingida por esse projétil em relação ao solo é dada por: H = y 0 + v2 0sen 2 θ, 2g c) o alcance (A) desse projétil em relação ao ponto de lançamento é dado por: A = v2 0sen(2θ). g Questão 14 Uma mangueira, com o bico a 1, 5m acima do solo, é apontada para cima, segundo um ângulo de 45 0 com o chão. O jato de água atinge um canteiro a 15m de distância. a) Com que velocidade o jato sai da mangueira? b) Que altura máxima acima do solo o jato de água atinge? Resposta: a) 11, 6m/s e b) 4, 9m. ]

5 Questão 15 Em um jogo de futebol, dois jogadores F ulano e Ciclano do mesmo time estão alinhados e separados por uma distância de 25m. Um dos jogadores, F ulano, está com a bola e resolve levantá-la para que o companheiro (de 1, 70m de altura) Ciclano diante do gol possa cabecear a bola sem sair do chão. Sabendo que a bola é inicialmente levantada segundo um ângulo de 60 0 em relação ao chão, pergunta-se: a) Com que velocidade inicial a bola é levantada? b) Que altura máxima acima do solo a bola atinge? Resposta: a) 17, 1m/s e b) 11, 3m. Questão 16 Enquanto pensava em Isaac Newton, uma pessoa em pé sobre uma passarela inadvertidamente deixa cair uma maçã por cima do parapeito justamente quando a frente de um caminhão passa exatamente por baixo dele. O veículo move-se a 55km/h e tem 12m de comprimento. A que altura, acima do caminhâo, está o parapeito, se a maçã passa rente à traseira do caminhão? Resposta: 3, 1m. Questão 17 Uma pedra é projetada com velocidade escalar inicial de 37m/s, inclinada de 62 0 acima da horizontal, para um penhasco de altura h, como mostra a figura abaixo. A pedra atinge o altiplano, no ponto A, 5, 5s após o lançamento. Encontre: a) a altura h do penhasco; b) a velocidade escalar da pedra logo antes do impacto em A; c) a altura máxima H alcançada acima do solo. Resposta: a) 31, 7m, b) v = 27, 4m/s e c) 54, 5m. Questão 18 O alcance de um projétil é 4 vezes sua altura máxima e ele permanece no ar durante 2s. a) Em que ângulo ele foi lançado? b) Qual foi a velocidade inicial? c) Qual é o alcance? Resposta: a) 45 0, b) 13, 9m/s e c) 19, 6m.

6 Questão 19 Numa rodovia de mão dupla, um carro encontra-se a 15 metros atrás de um caminhão (distância entre os pontos médios), ambos trafegando a 25m/s. O carro pode ter uma aceleração máxima de 2m/s 2. O motorista deseja ultrapassar o caminhão e voltar para sua mão, 10 metros a frente do caminhão. No momento em que começa a ultrapassagem, avista um carro que vem vindo em sentido contrário, também a 25m/s. A que distância mínima precisa estar do outro carro para que a ultrapassagem seja segura? Resposta: 275m. Questão 20 Deixa-se cair uma pedra num poço profundo. O barulho da queda é ouvido 2 segundos depois. Sabendo que a velocidade de propagação do som no ar é de 330m/s, calcule a profundidade do poço. Resposta: 18, 5m. Questão 21 Um jogador de futebol, a 20, 5m do gol adversário, levanta a bola com um chute a uma velocidade inicial de 15m/s, passando-a ao centroavante do time, que está alinhado com ele e com o gol, a 5, 5m do gol. O centroavante, que tem 1, 80m de altura, acerta uma cabeçada na bola, imprimindo-lhe um incremento de velocidade na direção horizontal, e marca o gol. (a) De que ângulo a bola havia sido levantada? (b) Qual foi o incremento de velocidade impresso à bola pela cabeçada? Considere cuidadosamente todas as soluções possíveis. Dado: Utilize a relação sec 2 (θ) = 1 + tg 2 (θ). Resposta: a) 28, 4 0 e b) 3, 7m/s. Questão 22 Numa ultracentrífuga girando a rpm (rotações por minuto), uma partícula se encontra a 20cm do eixo de rotação. Calcule a relação entre a aceleração centrípeta e a aceleração da gravidade g. Resposta: 5, g. Questão 23 Um carro de corridas percorre, em sentido anti-horário, uma pista circular de 1km de diâmetro, passando pela extremidade sul, a 60km/h, no instante t = 0s. A partir daí, o piloto acelera o carro uniformemente, atingindo 240km/h em 10s. a) Que distância o carro percorre na pista entre t = 0s e t = 10s? b) Determine o vetor aceleração média do carro entre t = 0s e t = 10s. Resposta: (a) 417m, (b) magnitude 5, 68m/s 2, direção e sentido: 60, 3 0 ao norte da direção leste.

7 d dt (tn ) = nt n 1 sen(a ± b) = sen(a)cos(b) ± sen(b)cos(a) cos(a ± b) = cos(a)cos(b) sen(a)sen(b) DICAS cos(30 0 ) = 3 2, cos(450 ) = 2 2 e cos(60 0 ) = 0, 5 sen(30 0 ) = 0, 5, sen(45 0 ) = 2 e sen(60 0 ) = , 41 e 3 1, 73 M.R.U.: x = x 0 + vt M.R.U.V.: y = y 0 + v 0 t + a 2 t2 M.C.U.: θ = θ 0 + ω 0 t + α 2 t2, onde θ é medido em radianos M.C.: v = Rωˆθ M.C.: a = R dω dt ˆθ Rω 2ˆr M.C.: equivale a π radianos

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