Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática 3 a Lista de exercícios de Cálculo III - MAT 241

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1 Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática a Lista de exercícios de Cálculo III - MAT Calcule, se existirem, as derivadas parciais f f (0, 0) e (0, 0) sendo: x + 4 (a) f(x, ) = x, se (x, ) (0, 0) + 0, se (x, ) = (0, 0) x (b) f(x, ) = x, se (x, ) (0, 0) + 0, se (x, ) = (0, 0) { x +, se x = 1 ou = 1. Dada a função f(x, ) =, se x 1 e 1 (a) Calcule f f (1, 1) e (1, 1). (b) f é diferenciável em (1, 1)? x. Verifique se a função f(x, ) = x, se (x, ) (0, 0) + 0, se (x, ) = (0, 0) é diferenciável na origem. 4. Calcule as derivadas parciais das seguintes funções: (a) z = 5x + 6x + exp(x + ) (b) w = xz (c) z = 5x 4 + 6x + log(x) (d) w = sen ( ln ( xz (e) z = arctg ( x + ) (f) w = ( ) x + z x (g) z = arcsec (h) w = sec ( x z ) (i) z = senh ( ) x (j) w = 6 xz 5. Verifique que w = x z satisfaz a equação 5 w + 10x w w 4x = Verifique que as funções dadas satisfazem à equação de Laplace f + f = 0. (a) f(x, ) = ln x +. (b) f(x, ) = e x cos(). (c) f(x, ) = arctg ( x), x > Verifique que as funções dadas satisfazem à equação de Laplace em dimensão, f + f + f = 0. (a) f(x,, z) = x + z. (b) f(x,, z) = e x+4 cos(5z). 8. Verifique que a função f(x, ) = ln (x ) + tg (x + ) satisfaz a equação f xx f = Determine duas funções distintas f(x, ) tais que f x (x, ) = 6x e f (x, ) = x 18x Calcule o gradiente das seguintes funções: (a) z = 1 x + (b) w = cos(x) + sen(z) (c) w = ln(xz) (d) w = x z (e) w = cos(x) cos() senh(4x) (f) w = x e z +z e x 11. Sendo f(x,, z) = x + + z 4, x = x(t, u, v), = (t, u, v), z = z(t, u, v) e ainda x(0, 0, 1) = 5, (0, 0, 1) =, z(0, 0, 1) = 1; (0, 0, 1) = (0, 0, 1) = (0, 0, 1) = 1, (0, 0, 1) = (0, 0, 1) = t t t u u (0, 0, 1) = 1, (0, 0, 1) = (0, 0, 1) = (0, 0, 1) = ; calcule as derivadas parciais de F (t, u, v) = u v v v f (x(t, u, v), (t, u, v), z(t, u, v no ponto (0, 0, 1). 1

2 1. Usando a regra da cadeia para z = f(x, ) e w = f(x,, z), calcule t, s e w t, w s e w r. (a) z = e x, x = s cos(t), = 4s sen(t) (b) z = x +, x = cosh (s) cos(t), = senh (s) sen(t) (c) z = arcsen (x + ), x = s, = sen(st) (d) w = xe, x = arctg (rst), = ln (rs + 5st) (e) w = x + + z, x = r sen (t) cos (s), = r sen (t) sen (s), z = r cos (t) 1. Se z = f (x, ) é diferenciável, x = r cos θ e = r sen θ, verifique: = sen (θ) cos (θ), r θ r = cos (θ) sen (θ) +. r θ r f 14. Sejam f (x, ) e g (x, ) funções diferenciáveis tais que: = g e f = g. Se x = r cos θ e = r sen θ, verifique que f r = 1 g r θ e g r = 1 f r θ. 15. Verifique que se w = f(x,, z) é diferenciável e homogênea de grau n, então x f + f + z f = nf(x,, z). 16. Sendo x (ρ, θ, ϕ) = ρ sen ϕ cos θ, (ρ, θ, ϕ) = ρ sen ϕ sen θ e z (ρ, θ, ϕ) = ρ cos ϕ, f(x,, z) = x exp ( x + + z ) x + e F (ρ, θ, ϕ) = f(x,, z), calcule x + + z F ( 1, ρ ϕ, ) Suponha que w = f(x, ) tem parciais de primeira e segunda ordens contínuas, e que F (ρ, θ) = f (x (r, θ), (r, θ, onde x (r, θ) = r cos θ e (r, θ) = r sen θ. Mostre que: se f = f + f, então f = F r + 1 F r r + 1 F r θ. 18. Se o raio r e a altura h de um tanque cônico decrescem à razão de 0, cm/h e 0, cm/h respectivamente, determine a razão de decrescimento do volume do tanque quando r = 6 cm e h = 0 cm. 19. Num certo instante, a altura de um cone é 0cm e o raio da base é 0 cm e cresce à razão de 1 cm/seg. Qual é a velocidade com que a altura aumenta no instante em que o volume cresce à razão de 000 cm /seg? 0. Determine a derivada direcional da função dada no ponto P 0 e na direção v: (a) f(x, ) = x + ; P 0 = (, 1); v = ( cos ( ) ( 6, sen 6. (b) f(x, ) = ln ( x + ) ; (1, 0); v = ( cos ( ) (, sen. (c) f(x, ) = e cos x + e x cos ; P 0 = (0, 0); v = (1, 1). (d) f(x,, z) = x + 4z ; P 0 = (1, 1, 1); v = ( cos ( ) (, cos ) ( 4, cos. (e) f(x,, z) = arcsec(xz); P 0 = (1, 1, ) ; v = (0, 1, 1) 1. Determine o valor máximo da derivada direcional de f no ponto dado P 0 e a direção em que ocorre: (a) z = arctg ( x), P0 = (1, ). (b) w = cosh(xz), P 0 = (1, 0, 1) Considere a função f(x, ) = 4x (a) Esboce as curvas de nível c = 5, z = 8 e z = 10. (b) Esboce o gráfico de f. (c) Suponha que a função f descreve a topografia de uma montanha. Se uma pessoa está no ponto (0, 4, 8) e deseja descer o mais rápido possível, determine um vetor do R que indica a direção inicial que a pessoa deve tomar. Justifique sua resposta.. A temperatura do ar em certa altitude é dada por f(x,, z) = x + xz xz. Um avião locaizado no ponto (1,, 1) deseja resfriar o motor o mais rapidamente possível. Em que direção deve voar?

3 4. O potencial elétrico em uma região do espaço é dado por V (x,, z) = ln x + + z, sendo V em volts, x,, z em cm. (a) Determine a derivada direcional de V na direção do vetor v = i + 4j + 1k no ponto A = (0, 5, 1) (b) Dê o versor da direção, a partir de A, em que a taxa de variação do potencial é máxima e o valor desta taxa máxima. (c) Determine o versor da direção normal à superfície eqüipotencial que passa pelo ponto A. 5. A equação da superfície de uma montanha é z = f(x, ) = 100 x, onde as distâncias são medidas em metros. Suponha que os pontos do eixo positivo dos x estão a leste e os pontos do eixo positivo dos ao norte e que um alpinistas está no ponto ( 10, 5, 850). (a) Qual é a direção da parte que tem a inclinação mais acentuada? (b) Se o alpinista se mover na direção leste, ele estará subindo ou descendo e qual será sua velocidade? (c) Se o alpinista se mover na direção sudoeste, ele estará subindo ou descendo e qual será sua velocidade? (d) Em que direção ele estará percorrendo um caminho plano? 6. A superfície de um lago é representada por uma região D no plano x, de modo que a profundidade (em metros) sob o ponto (x, ) é dada pela função f(x, ) = 00 x. (a) Em que direção um bote em P = (4, 9) deve navegar para que aprofundidade da água decreça mais rapidamente? (b) Em que direção a profundidade permanece a mesma? 7. Em que direção a derivada direcional de f(x, ) = x x no ponto (1, 1) é zero? + 8. Mostre que a soma dos quadrados dos interceptos x, e z de todo plano tangente ao gráfico da equação x + + z = a é a constante a. 9. Considere o elipsóide x + + 4z =. (a) Determine uma equação para cada plano tangente ao elipsóide e paralelo ao plano x + = 4. (b) Determine o ponto em que a reta normal ao elipsóide no ponto ( 1, 0, 1 ) intercepta o plano x. 0. Determine uma equação do plano tangente e equações da reta normal ao gráfico das funções ou equações abaixo no ponto P indicado: (a) z = f(x, ) = ln (x + ); P = (, 1, f(, 1. (b) z = f(x, ) = exp(x) cos(); P = (0,, f(0,. (c) z = f(x, ) = ; 4 x P = (1, 1, f(1, 1. (d) x + x + + z + 1 = 0; P = (,, 4). (e) (f) (g) x a b + z c = 1; P = (x 0, 0, z 0 ). x a + b = 1; P = (x 0, 0, z 0 ) ln ( ) z x = 0; P = (0,, 1) 1. Determine a equação do plano tangente à x 4z = 16 paralelo ao plano 4x + 4z = 5.. Calcule a derivada direcional de f(x,, z) = 6x 4z no ponto (, 1, 1) e na direção do vetor normal à superfície z = 6 x no mesmo ponto. Escolha o vetor normal que forma ângulo agudo com o vetor v = 4i j 7k.. Determine a reta tangente à interseção das seguintes superfícies no ponto P. (a) x = 1, x + z = 9 e P = (1, 0, 0). (b) x + + z = 9, x + + z 8x 8 6z + 4 = 0 e P = (, 1, 1). (c) x + z = 1, x + + z 4 z + = 0 e P = (1, 1, ) 4. Verifique que os gráficos de z = x + e z = x x são tangentes na origem.

4 5. Classifique os pontos críticos de: (a) f(x, ) = x + 6x 7 +. (b) f(x, ) = 1 4 x x +. (c) f(x, ) = x x 5. (d) f(x, ) = x x +. (e) f(x, ) = e 1+x +. (f) f(x, ) = x++1 x (g) f(x, ) = e x sen (), 0 x (h) f(x, ) = e + e x e x 6. A distribuição de temperatura na chapa retangular R definida por R = { (x, ) R ; x 4, 1 } é dada por T (x, ) = x + x +. Ache as temperaturas máxima e mínima da chapa, bem como os pontos onde elas ocorrem. 7. A temperatura no ponto (x, ) da placa circular x + 1 é dada por T (x, ) = x + x + 4. Determine o ponto mais quente e o ponto mais frio da placa. 8. Uma calha deve ser construída com uma folha de aço, de largura a e comprimento b. Se a seção da calha é um trapézio isósceles, qual deve ser a largura da base e a inclinação das faces para que sua capacidade seja máxima? 9. Encontre os pontos de máximo e mínimo absoluto da função f(x, ) = x com a restrição x + = Encontre os pontos de máximo e mínimo absoluto de f(x, ) = x + + em A = { (x, ) R ; x + 1 }. 41. Ache os extremos de f(x, ) = 4x + 4x, sujeito ao vínculo g(x, ) = x + 1 = Uma aplicação num doente de x miligramas de um remédio A e miligramas de um medicamento B ocasiona uma resposta R (x, ) = x (c x ), c > 0. Que quantidade de cada remédio dará a melhor resposta? 4. Determine a equação do elipsóide x a + b + z = 1 que passa pelo ponto (1,, ) e tem menor volume. c (O volume do elipsoíde é V = f (a, b, c) = 4abc ). 44. Um depósito cilíndrico fechado de aço deve conter litros de um fluido. Determine as dimensões do depósito de modo que a quantidade de material usada em sua construção seja mínima. 45. Um fio de cobre de comprimento a, deve ser dividido em partes tais que o produto dos comprimentos das partes seja máximo. Determine o comprimento dessas partes. 46. Determine os pontos da curva x = 1 mais afastados e os mais próximos da origem. 47. Determine o valor máximo de f(x,, z) = x + z sobre a esfera x + + z = Determine o valor mínimo de f(x,, z) = x + + z sobre o plano x z = Determine a distância mínima entre a superfície 4x + z = 0 e o ponto (0, 0, 8). 50. Se uma caixa retangular sem tampa deve ter um volume fixo V, que dimensões relativas minimizarão a área da superfície? 51. De todos os paralelepípedos retangulares cuja soma das arestas é constante e igual a a (a > 0), qual é o que tem volume máximo? 5. Determine as dimensões do paralelepípedo retangular de volume máximo sabendo que as faces do paralelepípedo estão nos planos coordenados e um vértice pertence ao plano x a + b + z c = 1 (a,b,c > 0). Calcule o volume. 5. Ache o volume do maior paralelepípedo que pode ser inscrito no elipsóide x z = 1, se os faces devem ser paralelas aos eixos coordenados. 4

5 54. Determine o ponto da reta interseção dos planos x + + z = 1 e x + + z = 6 mais próximo da origem. 55. Determine o ponto do plano x + + z = 6 mais próximo da origem A companhia Mochilas S.A. usou informações antigas para estabelecer os seguintes dados sobre as mochilas que fabica, do modelo I e do modelo II, conforme a tabela abaixo. Modelo Quant. produzida e vendida (por dia) Preço de venda em reais I x 80 x II 50 O custo para fabricar (por dia) x unidades do modelo I e unidades do modelo II é C(x, ) = x + + x. (a) Mostre que a função lucro é L(x, ) = x + 80x + 50 x. (b) Que quantidade de cada modelo deve ser programada, para que o lucro seja máxima? Qual é o lucro máximo? 5