MAT Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II 3 a lista de exercícios

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1 MAT Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II a lista de exercícios - 7. Ache os pontos do hiperbolóide x y + z = onde a reta normal é paralela à reta que une os pontos (,, ) e (5,, 6).. a) Mostre que toda reta normal a uma esfera passa pelo seu centro. b) Mostre que o plano tangente à superfície ax + by + cz = d no ponto (x, y, z ) tem como equação ax x + by y + cz z = d. c) Mostre que todos os planos tangentes ao cone z = a x + b y passam pela origem.. Seja a > e considere o plano tangente à superfície xyz = a num ponto do primeiro octante. Mostre que o tetraedro formado por este plano e os planos coordenados tem volume independente do ponto de tangência. 4. Determine um plano tangente à superfície xyz = a, a e que seja paralelo ao plano x + y + z + = 5. Mostre que o elipsóide x +y +z = 9 e a esfera x +y +z 8x 6y 8z +4 = se tangenciam no ponto (,, ) (isto é, que elas têm o mesmo plano tangente neste ponto). 6. Verifique que as superfícies x +y z = e x +y +z = possuem vetores normais mutuamente ortogonais em todos os pontos da interseção. 7. Ache um vetor tangente à interseção das superfícies z = x + y e 4x + y + z = 9 no ponto (,, ). (Sugestão: Use vetores normais.) 8. Ache a reta da tangente à interseção do cilindro x + y = com gráfico de f(x, y) = x + y + no ponto (,, 4). 9. Sejam f : R R e γ : R R, diferenciáveis com f(, ) = (, ) e γ (t) (,, ), para todo t R. Suponha que a imagem de γ esteja contida na interseção do gráfico de f com a superfície z +x +yz +xy =. Sabendo que (,, ) Imγ, determine uma equação para a reta tangente a γ neste ponto.. Determine a equação da esfera que tangencia a superfície (x ) (y ) + (z ) = 4 nos pontos (,, ) e (,, ).. São dados o cone z = (x + y ) e a família de esferas x + y + (z α) = α com α R, α a) Esboce o cone e algumas esferas da família. b) Mostre que essas superfícies são tangentes em seus pontos de intersecção, isto é, elas têm o mesmo plano tangente nesses pontos.. Ache a derivada direcional máxima de f no ponto dado e dê a direção em que ela ocorre. a) f(x, y) = xe z + sen (y), (,, ) b) f(x, y, z) = 4 + z ln(x), (,, ) y

2 . Suponha que sobre uma certa região do espaço o potencial elétrico V é dado por V (x, y, z) = 5x xy + xyz. (a) Ache a taxa de variação do potencial em P(, 4, 5) na direção do vetor v = i + j k. (b) Em que direção V muda mais rapidamente em P? (c) Qual é a maior taxa de variação em P? 4. Seja f(x, y) = ln (x + y). a) Determine o polinômio de Taylor de ordem um de f em torno de (, ). b) Mostre que para todo (x, y) R com x + y >, tem-se ln(x + y) (x + y ) < (x + y ) 5. Determine o polinômio de Taylor de ordem da função dada, em volta do ponto dado: a)f(x, y) = e x+5y, P = (, ) b)f(x, y) = x + y x + 4y, P = (, ) c)f(x, y) = sen (x + 4y), P = (, ) 6. Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os: a) z = x + xy + y + x 9y + b) z = xy + y x 6y + 7 c) z = x y d) z = x y e) z = y x y x + 6y f) z = y cosx g) z = (x x )(y y ) h) z = y 4 + 4x y 4x 8y i) z = xye x y j) z = ln(x + 4y x + 7) k) z = (x ) + (y ) x y 7. A figura abaixo exibe o gráfico de f(x, y) = xy e (x +y ) 4. a) Mostre que há um número infinito de pontos críticos. b) Ache as coordenadas dos 4 pontos críticos exibidos na figura. c) Classifique os demais pontos críticos eixo-z.5..5 eixo-x eixo-y 8. Seja f uma função de classe C em R. Supondo que (,) é ponto crítico de f e que, para todo (x, y) R f, x y (x, y) =, f x (x, y) e f (x, y), prove que y (, ) é ponto de mínimo global de f.

3 9. A figura abaixo exibe o gráfico de f(x, y) = (x + y )e (x +y ). Mostre que há 5 pontos críticos e ache os extremos de f..8 eixo-z.6.4. eixo-y eixo-x. Determine os valores de a para os quais a função f(x, y) = ax 4 + y ax y a) tem exatamente um ponto de sela e dois pontos de mínimo local; b) tem exatamente dois pontos de sela e um mínimo local. Existe a R para o qual a função tenha ao menos um máximo local? Existe a R para o qual a função tenha mais de pontos críticos?. É impossível para uma função contínua de R em R ter máximos locais e nenhum mínimo local. Por quê? O mesmo não ocorre com uma função f : R R. Verifique que f(x, y) = (x ) (x y x ) tem exatamente dois pontos críticos, ambos máximos locais. Faça um esboço de uma superfície com tais características e tente compreender como isso ocorre.. Existe uma função f : R R, polinomial, que só tenha um ponto crítico e este ponto seja mínimo local sem ser mínimo global? Analise a função f(x, y) = x + 5y ( + x). Você é capaz de esboçar o gráfico?. Determine o máximo e o mínimo valores da função f sujeita às restrições explicitadas: a) f(x, y) = xy; 5x + 5y + 6xy 64 = b) f(x, y, z) = xyz; x + y + z = 6 c) f(x, y, z) = x y z ; x + y + z = d) f(x, y, z) = x + y + z ; x 4 + y 4 + z 4 = 4. Ache o máximo e o mínimo absolutos da função na região D indicada. (Esboce D.) a) f(x, y) = 5 x+4y; D é o triângulo (com interior e bordas) cujos vértices são (, ), (4, ) e (4, 5) b) f(x, y) = xye x y ; D = {(x, y) R : x + y, x, y } c) f(x, y) = x + y 4 ; D = {(x, y) R : x + y } d) f(x, y) = (4x x )cosy; D = {(x, y) R : x, π 4 y π 4 }

4 5. Encontre o máximo e o mínimo absolutos de f(x, y) em D sendo: a) f(x, y) = xy; D = {(x, y) : x y =, x [, ]} b) f(x, y) = x + y 4 ; D = {(x, y) : x + y =, x [, /4], y } Você pode usar multiplicadores de Lagrange para resolver esse exercício? 6. Qual o ponto do plano x + y z + 4 = que está mais próximo do ponto (,, )? 7. Determine o maior produto de números reais positivos cuja soma é. Exiba tais números. 8. Determine a distância entre as retas de equação X = (,, ) + α(4,, 5), α R e X = (,, ) + µ(,, ), µ R 9. Um pentágono de cm de perímetro é construído colocando-se um triângulo isósceles sobre um retângulo. Dentre esses pentágonos, determine aquele que tem área máxima.. Qual é o ponto da superfície z = xy + que está mais próximo da origem?. Sendo α, β e γ os ângulos de um triângulo, calcule o valor máximo de senα+ sen β+ sen γ.. Determine a equação do plano que passa por (,, ) e que delimita no primeiro octante o tetraedro de menor volume. 4. Seja T(x, y) = uma função que dá a temperatura do ponto (x, y) do plano. Em x + y que ponto da região A = {(x, y) R : y x + } a temperatura máxima é atingida? E a mínima? 4. Seja b R e f(x, y) = y4 4 + bx y bx y. a) Determine, em função de b, o número de pontos críticos de f e classifique-os. b) Faça b = e ache os extremos de f no triângulo (fronteira e interior) de vértices (, ), (, ) e (, ). 5. Dentre todos os planos que são tangentes à superfície xy z = encontre aqueles mais distantes da origem. 6. Seja f(x, y) = k(x + y ) xy, onde k é uma constante. (a) Verifique que, para todo k R, o par (, ) é um ponto crítico de f. (b) Para cada valor de k, classifique o ponto crítico (, ) com relação a máximos e mínimos locais e sela. Existem valores de k para os quais podemos afirmar que (, ) é extremo global (absoluto) de f? 7. A temperatura num ponto (x, y, z) do espaço é dada por T(x, y, z) = xy +yz. Determine os pontos da esfera x + y + z = onde a temperatura é mais alta e onde é mais baixa. Justifique. 8. Dê as dimensões da caixa retangular sem tampa de maior volume que pode ser construída com 7cm de papelão.

5 9. Um quarto de armazenamento aquecido tem a forma de uma caixa retangular e tem o volume de pés cúbicos. Como o ar quente sobre, a perda de calor por unidade de área pelo teto é cinco vezes maior que a perda de calor pelo chão. A perda de calor pelas quatro paredes é três vezes maior que a perda de calor pelo chão. Determine as dimensões do quarto que minimiza a perda de calor e, portanto, minimiza o custo do aquecimento. 4. Considere o seguinte problema: Determinar as dimensões de um paralelepípedo de volume máximo, com faces paralelas aos planos coordenados, de modo que uma das faces está contida no plano z = e a correspondente face oposta tem os seus vértices no parabolóide z = 4 x y. a) Mostre que o problema tem solução. b) Resolva o problema. 4. (a) Seja f : R R dada porf(x, y) = ax +by +cxy +dx+ey +l, onde a, b, c, d, e, l são constantes. Prove que se (x, y ) for um extremante local de f, então será um extremante global de f. (Dica: dados (h, k) R, observe que a função g(t) = f(x + th, y + tk) é uma parábola.) (b) (Método dos Mínimos Quadrados). Sejam (a, b ),..., (a n, b n ) pontos do R (n ). Considere a função E : R R dada por E(x, y) = n i= (xa i + y b i ). Prove que a função E tem um único ponto de mínimo global (x, y ). Qual a relação entre a reta f(x) = x x + y e os pontos (a, b ),..., (a n, b n )? (. +,, ). RESPOSTAS 4. x + y + z a =. 7. (5, 8, 6). 8. X = (,, 4) + λ(,, ), λ R. 9. X = (,, ) + λ(, 9, 5), λ R.. (x ) + (y ) + (z ) =. a) 6 ; (,, ) b) ; (,, ).. a) b) (8, 6, ) c) a) x + y 5. a) + x + 5y b) 5 + (x ) + 7(y ) c) x + 4y 6. a) (, ) mínimo; b) (/, ), ( 4/, ) selas; c) (, λ) e (λ, ) com λ R mínimos; d) (, λ) e (λ, ) com λ R selas; e) (4, 4) máximo; f) (π/ + kπ, ) com k Z selas; g) (, ) máximo, (, ), (, ), (, ), (, ) selas; h) (, ) máximo, (, ) mínimo, (, ), (, ), (, ) selas; i) (, ) sela, ±(/, / ) máximos, ±( /, / ) mínimos; j) (/, ) mínimo; k) (, ) e (, ) sela; (, ) mínimo e (, ) máximo.

6 7. a) (a, ) é ponto crítico a R. b) ±(6 /8, 6 /8 ), ±( 6 /8, 6 /8 ). 9. mínimo f(, ) = ; máximo f(, ±) = e. a) a > b) a < c) não d) a =.. a) máx f(, ) = f(, ) = 4; mín f(4, 4) = f( 4, 4) = 6; b) máx /, mín / ; c) máx /7, mín ; d) máx f(,, ) = +, mín f(,, ) = ; e) máx, mín ; f) máx /, mín /. 4. a) máximo: f(4, 5) =, mínimo: f(4, ) = 7; b) máximo: f(, ) =, mínimo: f( /, / ) = ; c) máximo: f(, ) =, mínimo: f(, ) = ; e d) máximo: f(, ) = 4, mínimo: f(, π) = f(, π π ) = f(, ) = f(, π) = a) mínimo: e máximo ; b) mínimo: + ( 5 6) e máximo. 6. (,, ). 7. n = n = n = ( ), ( ), 4( ). (,, ) ou (,, )... x + y + z 6 =. ponto de máximo (, ); não há ponto de mínimo. ( ) 4. a) Se b >, temos 5 pontos críticos: +, e (, ) pontos de sela; (, ) máx. b local e (, ) mín. local; e se b <, temos pontos críticos: (, ) e (, ) pontos de sela; (, ) mín. local. b) Pontos de máx: (, ) e (, ); ponto de mín. (, ). 5. /5 x + 9/ y + 9/ z = 5; /5 x 9/ y + 9/ z = 5; /5 x + 9/ y 9/ z = 5; /5 x 9/ y 9/ z = b) k > : mínimo local; < k < : sela; k < : máximo local; k : (, ) é ponto de mínimo global; k : (, ) é ponto de máximo global. 7. Mais quentes: (,, ), (,, ); Mais frios : (,, ), (,, ). 8. base cm, altura,5cm. 9. largura, profundidade e altura iguais a pés.