INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

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1 INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO MAT-454 Cálculo Diferencial e Integral II Escola Politécnica) Segunda Lista de Eercícios - Professor: Equipe de Professores BONS ESTUDOS! 1. DERIVADAS PARCIAIS, DIFERENCIABILIDADE E PLANO TANGENTE 1.1. Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções: y ) a. f, y) = arctan ; b. f, y) = ln 1 + cos y 3 ) ). 1.. Dada a função f, y) = + y ) 3 e sen y), ache 1, 0). Dica. Neste caso, usar a definição de derivada parcial é menos trabalhoso do que aplicar as regras de derivação Verifique que a função u, y) = ln + y é solução da equação de Laplace bidimensional u + u = 0. y 1.4. Seja f, y) =, se, y) = 0, 0); + y4 0, se, y) = 0, 0). a. Mostre que as derivadas parciais e eistem em todos os pontos. b. f é contínua em 0,0)? c. f é diferenciável em 0,0)? Seja f, y) =, se, y) = 0, 0); + y 0, se, y) = 0, 0). a. Mostre que f é contínua em 0, 0). b. Calcule 0, 0) e 0, 0). c. f é diferenciável em 0, 0)? d. e são contínuas em 0, 0)? 1.6. Seja g, y) = y 4. Mostre que g é de classe C 1 em R Determine o conjunto de pontos de R onde f não é diferenciável, sendo: a. f, y) = y 3 ; b. f, y) = y ; c. f, y) = e 4 +y 4 ; d. f, y) = cos + y ) Ache a equação do plano tangente e a equação da reta normal a cada superfície no ponto indicado: a. z = e +y, no ponto 0, 0, 1); b. z = e ln y ), no ponto 3,, 0). se inter Mostre que os gráficos das funções f, y) = + y e g, y) = y ) + 5 sectam no ponto 3, 4, 5) e têm o mesmo plano tangente nesse ponto Determine uma equação do plano que passa pelos pontos 0, 1, 5) e 0, 0, 6) e é tangente ao gráfico de g, y) = 3 y. Eiste um só plano? 1

2 1.11. Determine k R para que o plano tangente ao gráfico de f, y) = ln + ky ) no ponto, 1, f, 1)) seja perpendicular ao plano 3 + z = Seja f : R ) R uma função derivável. Mostre que todos os planos tangentes à superfície z = f passam pela origem. y. REGRA DA CADEIA.1. Calcule w t e w pela regra da cadeia e confira os resultados por meio de substituição seguida de aplicação das regras de derivação parcial. u a. w = + y ; = t + u, y = tu. b. w = ; = t cos u, y = tsen u. + y.. Sejam f : R R, diferenciável em R, com f, ) = a, 4) e gt) = f t 3 4t, t 4 3t). Determine a para que a reta tangente ao gráfico de g no ponto de abscissa 1 seja paralela à reta y = Seja f : R R, f com derivadas parciais contínuas em R e tal que + y + z = 7 é o plano tangente ao gráfico de f no ponto 0,, f 0, ) ). Seja gu, v) = u f sen u v 3 ), u v ). Determine a R para que o plano tangente ao gráfico de g no ponto 1, 1, g1, 1) ) seja paralelo ao vetor 4,, a)..4. Neste eercício vamos eplicitar as soluções da equação da onda unidimensional, ou seja, determinar funções u : A R R tais que u tt = c u, c R. Este método foi descrito por Jean le Rond d Alembert em torno de a. Mostre que a mudança de coordenadas ξ = ct e η = + ct permite escrever a equação da onda na forma u ξη = 0. b. Determine todas as soluções de u ξη = 0, concluindo que as soluções da equação original são da forma u, t) = f ct) + g + ct), onde f e g são funções reais duas vezes deriváveis. Observação.1. A forma da solução nos diz que ela é a composição de duas ondas arbitrárias viajando em sentidos opostos com velocidade c. Veja uma animação clicando aqui..5. Sejam f, g : R R, deriváveis até a ordem. Mostre que u, y) = f + y) + yg + y) é solução da equação u u + u = Seja u = u, y) função de classe C em R e defina vr, θ) = ur cos θ, r sen θ). Verifique que v r r, θ) + 1 v r r r, θ) + 1 v r r, θ) = ur cos θ, r sen θ), θ sendo u, por definição, dado por u = u + u yy..7. Seja f : A R R uma função harmônica no aberto A, ou seja, f uu + f vv = 0, para todo u, v) A. Sejam ainda g, h : B R R funções de classe C no aberto B tais que g, y), h, y) ) A para todo, y) B e satisfaçam g = h y e h = g y. a. Mostre que g + g yy = h + h yy = 0. b. Mostre que f g, y), h, y) ) + f g, y), h, y) ) = 0. MAT ) de 6

3 .8. Seja f = f, y) função de classe C em R. Se us, t) = f e s cos t, e s sen t), mostre que [ ] [ ] [ ) u ) ] u es cos t, e s sen t) + es cos t, e s sen t) = e s s, t) + s, t) s t e que [ f es cos t, e s sen t) + f es cos t, e s sen t) = e s ] u s s, t) + u s, t). t.9. Seja f = f, y) uma função de classe C e seja g : R R dada por gu, v) = u f u v, u + v). Sabendo que 3 + 5y = z + 6 é uma equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto f 1, 4, f 1, 4)), 1, 4) = f 1, 4) = 1 e f 1, 4) = 1, calcule g, 3). u v.10. Seja Fr, s) = Ge rs, r 3 coss)), onde G = G, y) é uma função de classe C em R. Determine F G 1, 0) sabendo que r t + 1, t + 1) = t t VETOR GRADIENTE E SUAS APLICAÇÕES 3.1. Se f, y) = + 4y, ache o vetor gradiente f, 1) e use-o para achar a reta tangente à curva de nível 8 de f no ponto, 1). Esboce a curva de nível, a reta tangente e o vetor gradiente. 3.. Seja r a reta tangente à curva 3 + 3y + y = 18 no ponto 1, ). Determine as retas que são tangentes à curva + y + y = 7 e paralelas à reta r Seja f : R R uma função diferenciável em R. Fiado um certo P = 0, y 0 ) R, sabe-se que o plano tangente ao gráfico de f no ponto 0, y 0, f 0, y 0 ) ) tem equação + y z + 3 = 0. Determine, entre as curvas abaio, uma que não pode ser a curva de nível de f que contém o ponto P: a. γt) = 1t, t ) ; b. γt) = t 5 5, t t ) ; c. γt) = t, t 3 + t) Considere uma função f : R R de classe C 1. Suponha que: i) a imagem da curva plana γt) = cotgt), sec t)), para t ]0, π/[, esteja contida numa curva de nível de f. ii) a imagem da curva no espaço σu) = contida no gráfico de f. a. Determine f 1, ). b. Calcule v 1, ), onde v = 1, 3 u, u + 1, u3 3 ) u + 1, com u > 0, esteja 3 ). c. Determine uma equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 1,, f 1, )) O gradiente de f, y) = + y 4 é tangente à imagem da curva γt) = t, t) em um ponto P = γt 0 ) com t 0 > 0. Considere a curva de nível de f que contém P. Encontre a equação da reta tangente a essa curva no ponto P Sejam f : R R uma função diferenciável e γt) = t, t, t ), t R, uma curva cuja imagem está contida no gráfico de f. Seja r a reta tangente à curva de nível 4 de f no ponto, 8). Sabendo que a reta r contém o ponto 1, 4), determine o vetor gradiente de f no ponto, 8) e a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto, 8, f, 8)). MAT ) 3 de 6

4 3.7. Seja f : R R uma função diferenciável e seja π o plano tangente ao gráfico de f no ponto 0, y 0, f 0, y 0 )) e seja γt) = t, t), t = 0 uma parametrização para a curva de nível 1 de f. Suponha que γt 0 ) = 0, y 0 ) para algum t 0. Determine uma equação para o plano π sabendo que ele contém os pontos 1, 1, 1 ) e 4, 1, ) Mostre que f, y) = 3 y é contínua em 0, 0) e tem todas as derivadas direcionais em 0, 0). A função f é diferenciável em 0, 0)? 3.9. Ache a derivada direcional máima de f no ponto dado e dê a direção em que ela ocorre. a. f, y) = e y + 3y em 1, 0); b. f, y) = ln + y ) em 1, ) Determine todos os pontos de R nos quais a direção de maior variação da função f, y) = + y 4y é a do vetor 1, 1) Seja f uma função diferenciável em R tal que γt) = t + 1, t ), para todo t R é uma curva de nível de f. Sabendo que 1, 4) =, determine a derivada direcional de f no ponto 1, 4) e na direção e sentido do vetor u = 3 5, Sabe-se que f : R R é diferenciável em R e que o gráfico de f contém as imagens de ambas curvas γt) = t, t, t ) e ξu) = u + 1, u, u ), u = 0. Determine u ) ) 1 u, 1, onde u =,. ). 4. POLINÔMIO DE TAYLOR 4.1. Seja f, y) = ln + y). Determine o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta do ponto 1, 1 ). Mostre que para todo, y) com + y > 1, ln + y) + y 1) < 1 + y 1). 4.. Sejam f, y) = 3 + y 3 + 4y e P 1, y) o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta do ponto 1, 1). Mostre que para todo, y) R, com 1 < 1 e y 1 < 1, f, y) P 1, y) < 5 1) + 6y 1). Usando P 1, y), calcule um valor aproimado para f 1.001, 0.99) e estime o erro cometido com essa aproimação Seja a função f, y) = 3 + y 3 3y + 8. a. Determine o polinômio de Taylor P 1, y) de ordem 1 de f, em torno do ponto 1, 1). b. Escreva a Fórmula de Taylor para o resto E 1, y) = f, y) P 1, y). c. Usando o item b), mostre que, para todo, y) R, com > 1/ e y > 1/, vale que E 1, y) 3 y). 5. MAIS ALGUNS EXEMPLOS y 5.1. Considere f, y) =, se, y) = 0, 0); + y4 0, se, y) = 0, 0). a. Mostre que f é diferenciável em 0, 0). b. As derivadas parciais e são contínuas em 0, 0)? MAT ) 4 de 6

5 y Seja f, y) =, se, y) = 0, 0); + y 0, se, y) = 0, 0). a. Verifique que 0, y) = y para todo y, e que, 0) = 0, para todo. b. Verifique que f 0, 0) = 0 e que f 0, 0) = Seja f, y) =, se, y) = 0, 0); + y 0, se, y) = 0, 0). a. Calcule o gradiente de f no ponto 0, 0). b. Mostre que d dt f γt) ) = f γt) ) γ t) em t = 0, onde γt) = t, t). c. Seja u = m, n) um vetor unitário. Calcule 0, 0). u d. f é diferenciável em 0, 0)? Justifique. 3 y 5.4. Seja f, y) = 4, se, y) = 0, 0); + y 0, se, y) = 0, 0). Mostre que eistem as derivadas direcionais de f em todas as direções no ponto 0, 0) e que 0, 0) = f 0, 0), u para todo vetor unitário u. A função f é diferenciável em 0, 0)? u RESPOSTAS 1.1 a. f, y) = y +y e f y, y) = b. f, y) = y 3 sen y 3 ) 1+cos y 3 ) +y f y, y) = 3y sen y 3 ). 1+cos y 3 ) Não é contínua nem diferenciável em 0, 0) , 0) = 1 e e 0, 0) = 0; não é diferenciável em 0, 0); nenhumas das derivadas parciais é contínua em 0, 0). 1.7 a. f não é diferenciável em nenhum ponto da reta y =. b. f não é diferenciável nos pontos da forma a, 0) com a = 0. c., d. f é diferenciável em R pois é de classe C 1 em R. 1.8 a. z = 1 e r : X = 0, 0, 1) + λ0, 0, 1), λ R. b. e 3 y z e 3 = 0 e r : X = 3,, 0) + λ0, e 3, ), λ R y z + 6 = 0 sim, só um) k = 8.. a = 3..3 a = F rr = s e rs G + 6r e rs s cos sg y + 9r 4 cos sg yy + s e rs G + 6r cos sg y ; f, 1) = 4, 8); a reta é r : + y 4 = ) + 5y ) = 0 e 4 + 1) + 5y + ) = c. 3.4 a. f 1, ) = 1, 1 ) ; b ; c. + y z = X = 1 4, ) 1 + λ 1, 1), λ R. 3.6 f, 8) = 1, 1) e 1 y z = y z = f não é diferenciável em 0, 0). 3.9 a. 5 e 1, ); b. 5 e 1 5, 5) nos pontos da reta y + 1 = P 1, y) = 3 + 7y 5; f 1.001, 0.99) 4, 931; o erro é de ordem a. P 1, y) = 7; b. E 1, y) = 3 c 1) 1)y 1) + dy 1) ), para algum ponto c, d) interno ao segmento que une, y) a 1, 1). 5.1 f : não; f y : sim. 5.3 f 0, 0) = 1, 0); u 0, 0) = m ; não. 5.4 f não é diferenciável em 0, 0). MAT ) 5 de 6

6 MAT ) 6 de 6