Lista de Exercícios 4

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1 Universidade do Estado de Mato Grosso UNEMAT Cursos de Engenharia Elétrica Disciplina de Cálculo Dif. e Int. II Semestre letivo 2018/1-21/04/2017 Prof a Vera Lúcia Vieira de Camargo Lista de Exercícios 4 Seção Regra da Cadeia de Funções de Várias Variáveis 1. Use a Regra da Cadeia para determinar dz/dt ou dw/dt. (a) z = x 2 + xy + y 2, x = sen t, y = e t (b) z = sen x cos y, x = πt, y = t (c) w = ln x 2 + y 2 + z 2, x = sen t, y = cos t e z = tg t (d) z = xe y/z, x = t 2, y = 1 t, z = 1 + 2t 2. Use a Regra da Cadeia para determinar z/ s e z/ t: (a) z = x 2 + xy + y 2, x = s + t, y = st (b) z = sen θ cos ϕ,θ = st 2, ϕ = s 2 t (c) z = tg(u/v), u = 2s + 3t, v = 3s 2t (d) z = e x+2y tg(y), x = /t, y = t/s 3. Seja W (s, t) = F (u(s, t), v(s, t)), onde F, u e v são diferenciáveis e, u(1, 0) = 2, v(1, 0) = 3, u s (1, 0) = 2, v s (1, 0) = 5, u t (1, 0) = 6, v t (1, 0) = 4, F u (2, 3) = 1, F v (2, 3) = 10. Determine W s (1, 0) e W t (1, 0). 4. Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas. (a) z = x 2 + xy 3, x = uv 2 + w 3, y = u + ve w ; z u, z v, z, quando u = 2, v = 1, w = 0 w (b) M = xe y z2, x = 2uv, y = u v, z = u + v, M u ; M, quando u = 3, v = 1. v (c) Y = w arctg(uv), u = r + s, v = s + t, w = t + r; Y r, Y s, Y quando r = 1, s = 0 e t = 1 t (d) P = u 2 + v 2 + w 2, u = xe y, v = ye x, w = e xy ; P x, P, quando x = 0, y = 2 y 5. Seja y = f(x), determine dy/dx: (a) y cos x = x 2 + y 2 (b) e x sen x = x + xy

2 6. Seja z = f(x, y), determine z/ x e z/ y. (a) x 2 + y 2 + z 2 = 3xyz (b) yz + x ln y = z 2 7. A temperatura em um ponto (x, y) é T (x, y), medida em graus Celsius. Um inseto rasteja de modo que sua posição depois de t segundos seja dada por x = 1 + t e y = t, onde x e y são medidas em centímetros. Sendo T x (2, 3) = 4 e T y (2, 3) = 3, quão rápido a temperatura aumenta no caminho do inseto depois de 3 segundos? 8. A voltagem V em um circuito elétrico simples decresce lentamente à medida que a pilha se descarrega. A resistência R aumenta lentamente com o aumento do calor do resistor. Use a lei de Ohm, V = RI, para determinar como a corrente I está variando no momento em que R = 400Ω, I = 0, 08A, dv/dt = 0, 01V/s, dr/dt = 0, 03Ω/s. 9. Exercício 37 da seção 14.5 do Livro texto (7 a ed. p. 837) 10. Um carro A está viajando ao norte em uma rodovia e um carro B está viajando no sentido oeste em outra rodovia. Os dois carros se aproximam da interseção dessas rodovias. Em um certo momento o carro A está está a 0,3 km da intersecção viajando a 90 km/h, ao passo que B está a 0,4 km da intersecção viajando a 80 km/h. Qual a taxa de variação da distância entre os carros nesse instante? 11. Seja z = f(x(u, v), y(u, v)). Supondo [ que todas ] as funções sejam diferenciáveis, escreva o f f correspondente da regra da cadeia em sua forma matricial. u v Seção Derivadas Direcionais e Vetor Gradiente 12. Determine a derivada direcional de f no ponto indicado e direção e sentido indicado pelo ângulo θ: (a) f(x, y) = x sen(xy), (2,0), θ = π/3 (b) f(x, y) = ye x, (0,4), θ = 2π/3 13. Para as questões abaixo determine: (a) o gradiente de f; (b) a taxa de variação no ponto P; (c) a taxa de variação de f em P na direção do vetor v f(x, y) = 5xy 2 4x 3 y, P (1, 2), v = 5, f(x, y) = sen(2x + 3y), P ( 6, 4), v = 3i j 13.3 f(x, y, z) = xe 2yz, P (3, 0, 2), v = 2 3, 2 3, 1 3 2

3 14. O mapa de contorno mostra a temperatura máxima média em um determinado período em o C. Estime o valor da derivada direcional da função da temperatura em Dubbo, New South Wales, na direção de Sydney. 15. Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v. (a) f(x, y) = e x sen y, (0, π/3), v = 6, 8 (b) f(x, y) = x, (1, 2), v = 3, 5 x 2 +y 2 (c) f(x, y, z) = xe y + ye z + ze x, (0, 0, 0), v = 5, 1, 2 (d) f(x, y, z) = xyz, (3, 2, 6), v = 1, 2, (a) Determine a derivada direcional de f(x, y) = xy em P (2, 8) na direção de Q(5, 4). (b) Determine a derivada direcional de f(x, y, z) = xy+yz+zx em P (1, 1, 3) na direção de Q(2, 4, 5). 17. Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre: (a) f(x, y) = 4y x, (4, 1) (b) f(x, y) = ln(xy 2 z 3 ), (1, 2, 3) (c) f(x, y, z) = tg(x + 2y + 3z), ( 5, 1, 1) 18. (a) Mostre que uma função diferenciável f decresce mais rapidamente em x na direção e sentido oposto à do vetor gradiente, ou seja, na direção f(x). (b) Utilize o resultado da letra (a) para determinar a direção e sentido onde f(x, y) = x 4 y x 2 y 3 decresce mais rapidamente no ponto (2,-3). 19. Trace o mapa de contorno de f(x, y) = x y2 para k = 1, k = 2. Determine o 9 f(4, 3) e use-o para determinar a reta tangente à curva de nível da função no ponto (4, 3). Represente no mesmo gráfico no ponto (4, 3) a reta tangente e o vetor gradiente. 20. A temperatura de um ponto (x,y) de uma placa de metal no plano xy é T (x, y) = em o C. xy 1+x 2 +y 2 (a) Determine a taxa de variação da temperatura em (1,1) na direção e sentido do vetor 2i j. (b) Uma formiga em (1,1) precisa andar na direção na qual a temperatura baixa mais rapidamente. Determine um vetor unitário nesta direção. 3

4 21. Suponha que em certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por V (x, y, z) = 5x 2 3xy + xyz. (a) Determine a taxa de variação do potencial P(3,4,5) na direção do vetor v = i + j k. (b) Em que direção V varia mais rapidamente em P? (c) Qual a taxa máxima de variação em P? Seção Máximos e Mínimos de Funções de Várias Variáveis -Valores de máximos e mínimos locais 22. Suponha que (1,1) seja um ponto crítico de uma função f com derivadas de segunda ordem contínuas. Em cada caso, o que se pode pode dizer sobre f em (1,1)? (a) f xx (1, 1) = 4, f xy (1, 1) = 1, f yy (1, 1) = 2 (b) f xx (1, 1) = 4, f xy (1, 1) = 3, f yy (1, 1) = Utilize as curvas de nível das figuras para predizer a localização dos pontos críticos de f e se f tem ponto de sela ou um máximo ou mínimo local em cada um desses pontos. Em seguida, empregue o teste da segunda derivada para confirmas suas predições. (a) f(x, y) = 4 + x 3 + y 3 3xy (b) f(x, y) = 3x x 3 2y 2 + y Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela de cada função a seguir. Trace os gráficos da função em um software gráfico e utilize a janela de inspeção adequada para observar os aspectos mais importantes de cada função. (a) f(x, y) = y 2 + xy + 3y + 2x + 3 (b) f(x, y) = 9 2x + 4y x 2 4y 2 (c) f(x, y) = 1 3 x y3 x 2 3x 4y 3 (d) f(x, y) = 1 2 x4 2x 3 + 4xy + y 2 (e) f(x, y) = e x cos y (f) f(x, y) = x sen y (g) f(x, y) = e 2x x2 y 2 (h) f(x, y) = (x 2 + y 2 )e y2 x 2 4

5 25. Uma caixa de papelão sem tampa deve ter um volume de 4 m 3. Determine as dimensões que minimizem a quantidade de material utilizado. 26. Determine a distância mais curta do ponto (2,1,-1) ao plano 4x 3y + z = Determine os pontos do cone z 2 = x 2 + y 2 que estão mais próximos do ponto (4,2,0). 28. Deve-se construir um depósito retangular sem tampa com volume de V = 12m 3. O custo por material por m 2 do material usado é de R$ 4,00 para o fundo, R$ 3,00 para dois dos lados opostos e R$ 2,00 para os outros dois lados restantes. Determine as dimensões do depósito que minimize o custo. - Valores de máximos e mínimos absolutos (globais) 29. Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D: (a) f(x, y) = x 2 + y 2 + x 2 y + 4, D={(x, y) x 1, y 1} (b) f(x, y) = x 2 4xy + y 3 + 4y, D é a região triangular de vértices (-1,-1), (7,-1), (7,7). (c) f(x, y) = 1 + xy x y, onde D é a região limitada pela parábola y = x 2 e a reta y = 4. (d) f(x, y) = x 2 + 4y 2 x + 2y, onde R é a região limitada pela elipse x 2 + 4y 2 = 1 (e) A temperatura T em qualquer ponto (x,y) do plano é dada por T (x, y) = 3y 2 + x 2 x. Qual a temperatura máxima e a mínima num disco fechado de raio 1 centrado na origem. (f) (a) Dê a definição de máximo e mínimo local de funções de várias variáveis. (b) Se f tem um máximo local em (a, b) o que você pode dizer de suas derivadas parciais em (a, b). (b) Defina pontos críticos. (c) Enuncie o Teorema dos Valores Extremos para as funções de duas variáveis. 5

6 Respostas: (1) a) (2 sen t + e t ) cos t) + (2e t + sen t)e t, b) π cos x cos y (sen x sen y)/(2 t), (2) (a) z/ s = 2x + y + xt + 2yt, z/ t = 2x + y + xs + 2ys; (3) W s (1, 0) = 52 e W t (1, 0) = 34 (4) a) 85, 178, 54; b) M u = 16, M v = 36, c) Y r = 1 + π 4, Y s = 2, Y t = 1 + π 4. (5) (6) a) z x = 3yz 2x 2z 3xy, z y = 3xz 2y 2z 3xy ; (07) 2 o C/s (08) -0, A/s (09) descresce de 0,33 m/s por minuto (10) -118 Km/h (11) (12) (a) 2 3, (b) 2 + 3/2, (c) 3 3x y (13) 13.1) f(x, y) = 5y 2 12x 2 y, 10xy 4x 3, 4, 16, 172/ ) f(x, y) = 2 cos(2x + 3y), 3cos(2x + 3y), 2, 3, ) f(x, y, z) = e 2yz, 2xze 2yz, 2xye 2yz, 1, 12, 0, ) -0,1 milibar/mi (15) (a) , (c) 30 (16) a) 2/5 (17) (a) 65, 1, 8, (b) 1, 0, 1, (c) 3, 1, 1, 1, (d) 1, 3, 6, 2, (e) 14, 1, 2, 3 (18) (b) 12, 92 (19) (20) (21) a) 32/ 3, b) 38, 6, 12, c)2 406 (22) (23) (24)(a)ponto de sela em (1,-2), (b) máximo f( 1, 1 2 ) = 11, (c) (3,1) é ponto de mínimo local e f(3,1)=-44/3, (-1,-1) é ponto de máximo local e f(-1,-1)=4/3 (3,-1) e (-1,1) são pontos de sela, (d) (4,-8) e (-1,2) são pontos de mínimos locais e seus valores são f(4,-8)=-64, f(- 1,2)=-3/2 e (0,0) é ponto de sela, (e) nenhum, (f) pontos de sela (0, nπ), sendo n Z. (g) máximo local em ( 1, 0). (h) f(0,0)=0 é mínimo local e (±1, 0) são pontos de sela. (25) 2x2x1 m 1 (26) 26 (27) (2, 1, ± 5) (28) 3, 2 e 2 m 29) (a) máximo f(±1, 1 = 7), mínimo f(0, 0) = 4. (b) mínimo f(-1,-1)=-8 e máximo f(7,7)=224. (c) máximo f(2,4)=3 e mínimo f(-2,4)=-9 (d) min. f( 1 2, 1 4 ) = ) T ( 1 2, 0) = 1 4 u.t., máximo: T ( 1 4, ± 15 4 ) = 25 8 u.t 6