MAT Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia III 1a. Lista de Exercícios - 1o. semestre de x+y
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- Luís Malheiro
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1 MAT455 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia III a. Lista de Exercícios - o. semestre de. Calcule as seguintes integrais duplas: (a) R (y 3xy 3 )dxdy, onde R = {(x, y) : x, y 3}. Resp. (a) (b) R x sin y dxdy, onde R = {(x, y) : x 4, y π 6 }. Resp. (b) 5 4 ( 3). (c) R 7 x+y dxdy, onde R = [, ] [, ]. Resp. (c) ln 6.. Determine o volume do sólido limitado pela superfície z = x x + y e os planos x =, x =, y =, y = e z =. Resp. 4 5 ( ). 3. Determine o volume do sólido contido no primeiro octante limitado por z = 9 y e pelo plano x =. Resp Calcule as integrais iteradas x y (x + y) 3 dydx e As respostas contradizem o Teorema de Fubini? Explique. 5. Calcule as seguintes integrais duplas: x y (x + y) 3 dxdy. Resp. e. (a) D xy dxdy, onde D = {(x, y) : x, x y x}. Resp. (a). (b) D (x xy) dxdy, onde D = {(x, y) : x, x y x}. Resp. (b) 9 4. (c) D ex/y dxdy, onde D = {(x, y) : y, y x y 3 }. Resp. (c) e4 e. (d) D x cos y dxdy, onde D é a região limitada por y =, y = x, x =. Resp. (d) ( cos )/. (e) D 4y3 dxdy, onde D é a região limitada por y = x 6 e y = x. Resp. (e) 5 3. (f) D xy dxdy, onde D é a região do primeiro quadrante limitada pela circunferência de centro (, ) e raio. Resp. (f) 8. (g) D (x tg x + y 3 + 4) dxdy, onde D = {(x, y) : x + y }. Resp. (g) 8π. 6. Determine o volume do sólido S em cada um dos seguintes casos: (a) S é limitado superiormente pelo parabolóide z = x + y e sua projeção no plano xy é a região limitada por y = x e x = y. Resp. (a) (b) S é limitado superiormente por z = xy e sua projeção no plano xy é o triângulo de vértices (, ), (4, ) e (, ). Resp. (b) 3 8. (c) S é a região do primeiro octante limitada pelo cilindro x + z = 9 e pelos planos x =, y =, z = e x + y =. Resp. (c) 6 ( 5 7) + 9 arcsen( 3 ). (d) S é limitado pelos planos x =, y =, z = e x + y + z =. Resp. (d) 6. (e) S é a região do primeiro octante limitada pelo cilindro x + y = e pelos planos y = z, x = e z =. Resp. (e) 3. (f) S é limitado pelos cilindros x + y = a e y + z = a, onde a >. Resp. (f) 6 3 a3.
2 7. Escreva as duas integrais iteradas correspondentes à integral dupla D f(x, y) dx dy, onde D é a região do plano limitada pelas curvas y = x + x + e x y + =. 8. Calcule as seguintes integrais, invertendo a ordem de integração: (a) 3 3y ex dxdy (b) 3 9 y y cos(x ) dxdy (c) π/ arcsin y cos x + cos x dxdy. 9. Calcule as integrais: (a) R x dxdy, onde R é o disco de centro na origem e raio 5. Resp. (a) (e 9 )/6, (b) 4 sin 8, (c) ( )/3. (b) R xy dxdy, onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelas circunferências x + y = 4 e x + y = 5. (c) R dxdy, onde R é a região interior à cardioide r = + sin θ e exterior à circunferência r =. x +y (d) D (x + y ) dxdy, onde D é a região limitada pelas espirais r = θ e r = θ, com θ π. (e) D (e x y ) dxdy, onde D é a região limitada pelo semicírculo x = 4 y e o eixo y. Resp. (a) zero, (b) 69 8, (c), (d) 4π5 (e) π ( e 4 ).. Determine o volume da região interior à esfera x + y + z = 4a e exterior ao cilindro x + y = ax, com a >. Resp. 6a3 3 ( π). Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem densidade δ, nos seguintes casos: (a) D = {(x, y) : x, y } e δ(x, y) = x. (b) D é o triângulo de vértices (, ), (, ), (, 3) e δ(x, y) = x + y. (c) D é a região do primeiro quadrante limitada pela parábola y = x e a reta y = e δ(x, y) = xy. (d) D é a região limitada pela parabola y = x e a reta y = x e δ(x, y) = 3. (e) D = {(x, y) : y sin x, x π} e δ(x, y) = y. Resp. (a) 3, (, ), (b) 6, ( 3 4, 3 ), (c) 6, ( 4 7, 3 4 ), (d) 7, ( 8 5, ) (e) π 4, ( π, 6 9π ).. Determine os momentos de inércia I x, I y e I das lâminas descritas nos itens (c) e (d) do exercício anterior. Resp. (c), 6, 3 8, (d) 89, 69 8, (a) Calcule a massa de D = {(x, y) : (x y + 3) + (3x + 4y ) }, com função densidade δ(x, y) = x y + 8. Resp. 5π. (b) Calcule o centro da massa de D = {(x, y) : x + y r }, com função densidade δ(x, y) = (x r) + y. Resp. ( r 3, ). (c) Calcule o momento de inércia I com relação a origem de D = {(x, y) : x + y, x + y }, onde a b a >, b > e função densidade δ(x, y) =. Resp. ab(a + b ) π 4 π. 4. Calcule D (x ) + y dxdy sendo D = {(x, y) : x + y, y }. Resp. 6 9.
3 5. Calcule a área das seguintes regiões: (a) um laço da rosácea r = cos 3θ Resp. π. (b) a região limitada pela lemniscata r = 4 cos θ Resp Calcule as integrais iteradas: (a) z y xyz dxdydz (b) π 4 z z sin y dxdzdy. Resp. (a) 48, (b) Calcule as integrais triplas: (a) D yz dxdydz, onde D = {(x, y, z) : z, y z, x z + }. (b) D y dxdydz, onde D é a região abaixo do plano z = x + y e acima da região no plano xy limitada pelas curvas y = x, y = e x =. (c) D xy dxdydz, onde D é o tetraedro sólido com vértices (,, ), (,, ), (,, ) e (,, 3). (d) D z dxdydz, onde D é limitada pelos planos x =, y =, z =, y + z = e x + z =. (e) D x dxdydz, onde D é limitada pelo parabolóide x = 4y + 4z e pelo plano x = 4. Resp. (a) 7 5, (b) 5 8, (c), (d) 6π, (e) Determine a massa e o centro de massa do cubo Q = [, a] [, a] [, a] cuja densidade é dada pela função δ(x, y, z) = x + y + z. Resp. a 5, (7a/, 7a/, 7a/). 9. Determine os momentos de inércia de um cubo de densidade constante k e aresta L se um dos seus vértices é a origem e três de suas arestas estão sôbre os eixos coordenados. Resp. I x = I y = I z = 3 kl5.. Calcule as seguintes integrais: (a) E (x + y ) dxdydz, onde E é a região limitada pelo cilindro x + y = 4 e pelos planos z = e z =. (b) E y dxdydz, onde E é a região entre os cilindros x + y = 4 e x + y =, limitada pelo plano xy e pelo plano z = x +. (c) E x dxdydz, onde E é o sólido limitado pelo cilindro x + y =, acima do plano z = e abaixo do cone z = 4x + 4y. Resp. (a) 4π, (b), (c) π/5.. Determine o volume da região R limitada pelos parabolóides z = x + y e z = 36 3x 3y. Resp.6π.. Determine a massa e o centro de massa do sólido S limitado pelo parabolóide z = 4x + 4y o pelo plano z = a (a > ), se S tem densidade constante K. 3. Calcule as integrais: (a) B (x + y + z ) dxdydz, onde B é a bola unitária x + y + z. Resp. πka /8, (,, a/3). (b) E y dxdydz, onde E é a parte da bola unitária x + y + z contida no primeiro quadrante. (c) E x + y + z dxdydz, onde E é a região interior ao cone φ = π/6 e à esfera ρ =. Resp. (a) 4π/5, (b) π/3, (c) 4π( 3). 4. Determine a massa de um hemisfério sólido H de raio a se a densidade em qualquer ponto é proporcional a sua distância ao centro da base. Resp. Kπa 4 /, onde K é a constante de proporcionalidade. 3
4 5. Calcule o volume da região limitada pelo elipsóide x + y + z = Resp. 4 a b c 3 πabc. 6. Calcule a integral E x dxdydz, onde E = {(x, y, z) : x 4 + y 9 + z, x }. Resp. 3π. 7. Calcule a massa do sólido E = {(x, y, z) : x + y + z b, z a > }, com a < b e δ(x, y, z) = z. Resp. π 4 (b a ). 8. (a) Calcule o volume da região acima do cone z = x + y e dentro da esfera x + y + z = a. Resp. a3 π 3 ( ) (b) Calcule a massa da região acima do cone z = x + y, dentro da esfera x + y + z = az, a > com δ(x, y, z) = x + y Resp. 3 πa5. 9. Calcular a massa da região R limitada por: (a) z(x + y ) =, z =, x + y =, x + y =, com x e y e δ(x, y, z) = Resp. π ln. (b) z = x + y, x + y y =, para x com δ(x, y, z) = Resp (c) x + y = + z, x + y = 4 com δ(x, y, z) = z ; Resp. 9π. (d) x + y = + z, x + y = z, para z a com δ(x, y, z) = z ; Resp. πa. (e) x 4 + y 9 = + z, x 4 + y 9 = z com δ(x, y, z) = ; Resp. 8π. (f) x + y = + z, x + y = + z, para z a com δ(x, y, z) = z. Resp. π( a5 5 + a3 3 ). 3. Calcule R (x+y +z)(x+y z)dxdydz para R limitada por: x+y +z =, x+y +z =, x+y z =, x + y z =, x y z = e x y z =. Resp Calcule R z dxdydz, onde R é limitada por: (a) x 9 + y 4 = + z, x 9 + y 4 = 4 + z, para z. Resp. 7π. (b) z = (x ) + y ; z = x + y ; x + y = 4. Resp. π. 3. Calcule o volume da região limitada por: z = x y e z = + (x ) + y. Resp. 9π Calcule o volume da região limitada por: x + y + z r ; x + y r. Resp. πr Use a transformação x = u, y = v, z = w para calcular o volume da região limitada pela superfície x + y + z = e pelos planos coordenados Resp Calcule a massa da região limitada por: x + y + z r ; x + y r + z, com δ(x, y, z) = x + y. Resp. πr 5 / Calcule a massa do sólido limitado por u + v + w = 4v, u + v + w = v, com v u + w, sendo a densidade δ(u, v, w) = u + w. Resp π. 37. Calcule a massa do sólido dado por S = {(u, v, w) : u + v + w, u + v + w u} sendo a densidade δ(u, v, w) = u. Resp. 9 8 π. 38. Seja f contínua em [, ] e seja R a região triangular com vértices (, ), (, ) e (, ). Mostre que R f(x + y) dxdy = uf(u) du. 4
5 39. Calcule D (x + y dxdy, ) n/ onde D é a região entre os círculos com centros na origem e raios r e R, < r < R. Para que valores de n a integral tem limite quando r +? E quando R? Faça uma análise semelhante para a integral tripla (x + y + z dxdy, ) n/ onde D é a região interior às esferas com centros na origem e raios r e R, < r < R. 4. Questões de Provas (996). Calcule D D y dydx onde D é a região do plano limitada por x = y 4y + 3 e x = y +.. Calcule D (x y ) sen((x + y) ) dxdy, onde D é o paralelogramo de vértice (, ), ( π 4, π 4 ), ( π, ) e ( π 4, π 4 ). 3. Calcule V x + y dxdydz, onde V é o sólido definido por z (x ) +y ; z (x ) y. 4. Calcule V x + y + z dxdydz, onde V é o sólido definido por z x + y ; x + y + z z x + y + z 6. (998). Calcule x e y3 dydx.. Calcule D [(x+3y) +(3x+y) ] dxdy onde D é a região plana limitada pelas retas x+3y =, x+3y = 3 3x + y = e 3x + y =. 3. Calcule D y dxdydz onde D é limitada pelas superfícies (z ) = x + y, (z + ) = x + y e satisfazendo ainda a seguinte propriedade: (x, y, z) D y. (999). Calcule D ey x dxdy sendo D a região plana limitada por: y x = ; y x = ; y = x e y = 3x.. Calcule a seguinte integral: 3 y y sen(x ) dxdy. 3. Determine o volume do sólido limitado pelas superfícies (x ) + y 3 = ; z = x + y e z =. 4. Calcule a integral S y dxdydz sendo S o sólido limitado pelas superfícies y = x 3 ; x = y e y = z. 5
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