20., 1 y da da, 1 xy da Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada x 2y dx dy 24.
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- Paula Marreiro Aleixo
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1 5. Eercícios etermine e 5 f, d f, d.. f,. f, e Calcule a integral iterada. p. 6 d d. 5. sen dd 6. p 7. ( cos ) d d d d. v u v du dv. p. r sen u du dr. 5 Calcule a integral dupla. 5. sen da,, p, p 6. da, 7., da 8., da 9. sen da, 6 5 cos dd e d d e d d, 6, 9 d d s d d ss t ds dt,,,,,,., da. e da,. da,,, Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.. d d.,, d d,, 5. etermine o volume do sólido que se encontra abaio do plano 6 5 e acima do retângulo,,. 6. etermine o volume do sólido que se encontra abaio do paraboloide hiperbólico e acima do retângulo,,. 7. etermine o volume do sólido que está abaio do paraboloide elíptico 9 e acima do retângulo,,. 8. etermine o volume do sólido limitado pela superfície e sen e pelos planos,, e. 9. etermine o volume do sólido limitado pela superfície sec e pelos planos,,, e.. Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro 6 e pelo plano 5. ; É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador É necessário usar um sistema de computação algébrica. As Homework Hints estão disponíveis em
2 . etermine o volume do sólido limitado pelo paraboloide 7 8 Utilie a simetria para calcular a integral dupla. e pelos planos,,, e. 7.,,, da. esenhe o sólido que está entre a superfície e ; o plano e é limitado pelos planos,, 8. sen sen da, p, p p, p e. A seguir, determine seu volume.. Utilie um sistema de computação algébrica para determinar o valor eato da integral 5 e da, onde,,. 9. Utilie seu para calcular as integrais iteradas Em seguida, use o para desenhar o sólido cujo volume é dado pela integral. e d d d d. esenhe o sólido contido entre as superfícies Suas respostas contradiem o Teorema de Fubini? Eplique o que e cos e para, acontece.. Utilie um sistema de computação algébrica para. (a) Em que aspectos os teoremas de Fubini e Clairaut são semelhantes? aproimar o volume desse sólido até a quarta casa decimal. 5 6 etermine o valor médio de f sobre o retângulo dado. (b) Se f, é contínuo em a, b c, d e 5. f,, possui vértices,,, 5,, 5,, 6. f, e s e,,, t, f s, t dt ds a para a b, c d, mostre que t t f,. c
3 5. Eercícios.. s d d.. d d 5. cos s dt ds 6. 7 Calcule a integral dupla s da, 5 da, da, da,,,,,, p, sen, e, ln. esenhe um eemplo de uma região que seja d d d d v s v du dv (a) do tipo I, mas não do tipo II (b) do tipo II, mas não do tipo I. esenhe um eemplo de uma região que seja (a) tanto do tipo I quanto do tipo II (b) nem do tipo I nem do tipo II Epresse como a região do tipo I e também como uma região do tipo II. Em seguida, calcule a integral dupla de duas maneiras.. da, é limitada pelas retas,,. da, é limitada pelas curvas, 5 6 efina as integrais iteradas para ambas as ordens de integração. Então, calcule a integral dupla usando a ordem mais fácil e eplique por que ela é mais fácil. 5. da, é limitada por, ; É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador É necessário usar um sistema de computação algébrica. As Homework Hints estão disponíveis em
4 6. e da, é limitada por,, 7 Calcule a integral dupla. 7. cos da, é limitada por,, 8. da, é limitada por,, 9. da, é a região triangular com vértices (, ), (, ), (, ).. da, é limitada pelo círculo de centro na origem e raio da, é limitada por e s. da, é a região triangular com vértices (, ), (, ) e (, ) etermine o volume do sólido dado.. Abaio do plano e acima da região limitada por e. Abaio da superfície e acima da região limitada por e 5. Abaio da superfície e acima do triângulo e vértices (, ), (, ) e (, ) 6. Limitado pelo paraboloide e pelos planos,,, 7. Limitado pelos planos coordenados e pelo plano 6 8. Limitado pelos planos,, e 9. Limitado pelos cilindros, e pelos planos,. Limitado pelo cilindro e pelos planos,, no primeiro octante. Limitado pelo cilindro e pelos planos,, no primeiro octante. Limitado pelos cilindros r e r. Utilie uma calculadora gráfica ou um computador para estimar a coordenada dos pontos de intersecção da curva e ;. Se é a região limitada por essas curvas, estime da.. Encontre o volume aproimado do sólido no primeiro octante limitado pelos planos, e e pelo cilindro ; cos. (Utilie uma ferramenta gráfica para estimar os pontos de intersecção.) 5 6 etermine o volume do sólido por subtração de dois volumes. 5. O sólido limitado pelos cilindros parabólicos, e pelos planos, 6. O sólido limitado pelo paraboloide cilíndrico e pelos planos, 7 8 Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. 7. d d 8. d d 9 Use um sistema de computação algébrica para determinar o volume eato do sólido. 9. Abaio da superfície e acima da região limitada pelas curvas e para. Entre os paraboloides e 8 e dentro do cilindro. Limitado por e. Limitado por e 8 Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.. f, d d. 5. f, d d f, d d Calcule a integral trocando a ordem de integração. 9. e d d d d s p cos ln p cos s cos d d arcsen 8 e d d s Epresse como a união de regiões do tipo I ou do tipo II e calcule a integral. 55. da 5. da Use a Propriedade 8 para estimar o valor da integral. Q 57. e da, Q é o quarto de círculo com centro na origem e raio T no primeiro quadrante 58. sen da, T é o triângulo limitado pelas retas, e s f, d d 59 6 Encontre o valor médio de f na região 59. f (, ), é o triângulo com vértices, (, ), (, ) e (, ) 6. f (, ) sen, é limitada pelas curvas, e 6. emonstre a Propriedade. 6. No cálculo de uma integral dupla sobre uma região, obtivemos uma soma de integrais iteradas como a que segue: f, da (, ) s s =(+) f, d d f, d d p f, d d arctg f, d d Esboce a região e epresse a integral dupla como uma integral iterada com ordem de integração contrária. _ cos d d e d d _ =-
5 5. Eercícios Uma região é mostrada. ecida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares, e escreva f, da como uma integral iterada, onde f é uma função qualquer contínua em... =-.. _ 6 _ 5 6 Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a. p/ p 5. rdrdu 6. p p senu rdrdu. As Homework Hints estão disponíveis em
6 7 Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. 7. da, onde é a metade superior do disco com centro na origem e raio 5 8. da, onde é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo e as retas e 9. sen da, onde é a região do primeiro quadrante entre os círculos com centro na origem e raios e., onde é a região que fica entre os círculos da a e b com a b. e da, onde é a região limitada pelo semicírculo s e o eio. cos s da, onde é o disco com centro na origem e raio. arctg da, onde,,. da, onde é a região no primeiro quadrante que se encontra entre os círculos e 5 8 Utilie a integral dupla para determinar a área da região. 5. Um laço da rosácea r cos 6. A região limitada por ambos os cardioides r cos u e r cos u 7. A região dentro do círculo ( ) e fora do círculo 8. A região dentro do círculo r cos e fora do círculo r cos 9 7 Utilie coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado. 9. Abaio do cone s e acima do disco. Abaio do paraboloide 8 e acima do plano. Limitado pelo hiperboloide e pelo plano. entro da esfera 6 e fora do cilindro. Uma esfera de raio a. Limitado pelo paraboloide e pelo plano 7 no primeiro octante 5. Acima do cone s e abaio da esfera 6. Limitado pelos paraboloides e 7. entro tanto do cilindro quanto do elipsoide 6 8. (a) Uma broca cilíndrica de raio r é usada para faer um furo que passa pelo centro de uma esfera de raio r. etermine o volume do sólido em formato de anel resultante. (b) Epresse o volume da parte (a) em termos da altura h do anel. Observe que o volume depende somente de h e não de r ou r. 9 Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares. 9.. a dd s9 sin sen( ) d d sa.. s s d d s d d Epresse a integral dupla em termos de uma integral unidimensional com relação a r. Em seguida, use a calculadora para avaliar a integral correta com quatro casas decimais.. e ( ) da, onde está o disco com centro na origem e raio. s da, onde é a porção do disco que fica no primeiro quadrante 5. Uma piscina circular tem diâmetro de metros. A profundidade é constante ao longo das retas de leste para oeste e cresce linearmente de metro na etremidade sul para dois metros na etremidade norte. Encontre o volume de água da piscina. 6. Um pulveriador agrícola distribui água em um padrão circular de 5 m de raio. Ele fornece água até uma profundidade de e r metros por hora a uma distância de r metros do pulveriador. (a) Se 5, qual a quantidade total de água fornecida por hora para a região dentro do círculo de raio centrada no pulveriador? (b) etermine uma epressão para a quantidade média de água por hora por metro quadrado fornecida à região dentro do círculo de raio. 7. Encontre o valor médio da função f(, ) s na região anular a b, onde a b. 8. Seja o disco com centro na origem e raio a. Qual é a distância média dos pontos em em relação à origem? 9. Utilie coordenadas polares para combinar a soma s s d d s em uma única integral dupla. Em seguida calcule essa integral dupla.. (a) efinimos a integral imprópria (sobre todo o plano onde a é o disco com raio a e centro na origem. Mostre que e da (b) Uma definição equivalente da integral imprópria da parte (a) é (c) edua que a, a. Use isto para (d) Faendo a mudança de variável t s, mostre que e d s (Esse é um resultado fundamental em probabilidade e estatística.). Utilie o resultado do Eercício, parte (c), para calcular as seguintes integrais. (a) I lim a l a e da lim a l Sa onde S a é o quadrado com vértices mostrar que e d e da e da d d s s d d e d e d e d s (b) e d d e da s e d
7 5.5 Eercícios. Uma carga elétrica é distribuída sobre o retângulo 5, 5, de modo que a densidade de carga em (, ) é s, (medida em coulombs por metro quadrado). etermine a carga total no retângulo.. Uma carga elétrica é distribuída sobre o disco, de modo que a densidade de carga em (, ) é s, s (medida em coulombs por metro quadrado). etermine a carga total no disco. etermine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região e tem função densidade r..,, ; r, k., a, b ; r, 5. é a região triangular com vértices (, ), (, ), (, );, 6. é a região triangular limitada pelas retas, e 6;, 7. é limitada por e ; r, k 8. é limitada por e ; r, k 9., sen p L, L ;,. é limitada pelas parábolas e ;, s. Uma lâmina ocupa a parte do disco no primeiro quadrante. etermine o centro de massa se a densidade em qualquer ponto for proporcional à distância do ponto ao eio.. etermine o centro de massa da lâmina do Eercício se a densidade em qualquer ponto for proporcional ao quadrado da distância do ponto à origem.. O limite de uma lâmina consiste nos semicírculos s e s juntamente com as partes do eio que os une. Encontre o centro de massa da lâmina se a densidade em qualquer ponto é proporcional à sua distância da origem.. Encontre o centro de massa da lâmina do Eercício se a densidade em qualquer ponto for inversamente proporcional à sua distância da origem. 5. Encontre o centro de massa de uma lâmina em forma de triângulo retângulo isósceles, com os lados iguais tendo comprimento a, se a densidade em qualquer ponto for proporcional ao quadrado da distância do vértice oposto à hipotenusa. 6. A lâmina ocupa a região dentro do círculo, mas fora do círculo. Encontre o centro de massa se a densidade em qualquer ponto for inversamente proporcional à sua distância da origem. 7. Encontre os momentos de inércia I, I, I para a lâmina do Eercício Encontre os momentos de inércia I, I, I para a lâmina do Eercício. 9. Encontre os momentos de inércia I, I, I para a lâmina do Eercício 5.. Considere uma pá quadrada de um ventilador com lados de comprimento e com o canto inferior esquerdo colocado na origem. Se a densidade da pá for r,,, é mais difícil girar a pá em torno do eio ou do eio? Uma lâmina com densidade constante r, r ocupa a região dada. Encontre os momentos de inércia I e I e os raios de giração e.. O retângulo b, h. O triângulo com vértices (, ), (b, ) e (, h). A parte do disco a no primeiro quadrante. A região sob a curva sen de a p 5 6 Utilie um sistema de computação algébrica para determinar a massa, o centro de massa e os momentos de inércia da lâmina que ocupa a região e tem a densidade dada. 5. está limitada pelo laço direito da rosácea de quatro folhas r cos u; r, 6., e, ; r, 7. A função densidade conjunta para um par de variáveis aleatórias X e Y é C se, f, caso contrário (a) etermine o valor da constante C. (b) Encontre P X, Y. (c) Encontre P X Y. 8. (a) Verifique que f, se, caso contrário é uma função densidade conjunta. (b) Se X e Y são variáveis aleatórias cuja função densidade conjunta é a função f da parte (a), determine (i) P(X (ii) P(X, Y ) ) (c) etermine os valores esperados de X e Y. 9. Suponha que X e Y sejam variáveis aleatórias com função densidade conjunta f,,e,5. se, caso contrário (a) Verifique que f é de fato uma função densidade conjunta. (b) etermine as seguintes probabilidades. (i) P Y (ii) P X, Y (c) etermine os valores esperados de X e Y.. (a) Uma luminária tem duas lâmpadas de um tipo com tempo de vida médio de horas. Supondo que possamos modelar a probabilidade de falha dessas lâmpadas por uma função densidade eponencial com média m, determine a probabilidade de que ambas as lâmpadas venham a falhar dentro de um período de horas. (b) Outra luminária tem somente uma lâmpada do mesmo tipo das da parte (a). Se a lâmpada queima e é trocada por outra do mesmo tipo, determine a probabilidade de que as duas venham a falhar dentro de horas.. Suponha que X e Y sejam variáveis aleatórias, onde X tem distribuição normal com média 5 e desvio-padrão,5 e Y tem distribuição normal com média e desvio-padrão,. (a) Encontre P X 5, Y 5. (b) Encontre P X 5 Y.. Xavier e Yolanda têm aulas que terminam ao meio-dia e concordaram em se encontrar todo dia depois das aulas. Eles chegam em um café separadamente. O tempo de chegada de Xavier é X e o da Yolanda é Y, onde X e Y são medidos em minutos após o meio- -dia. As funções densidade individuais são. As Homework Hints estão disponíveis em É necessário usar um sistema de computação algébrica
8 5.6 Eercícios etermine a área da superfície.. A parte do plano que está acima do retângulo [, 5] [, ]. A parte do plano 5 que está dentro do cilindro 9. A parte do plano 6 que está no primeiro octante. A parte da superfície que está acima do triângulo com vértices (, ), (, ) e (, ) 5. A parte do cilindro 9 que está acima do retângulo com vértices (, ), (, ), (, ) e (, ) 6. A parte do paraboloide que está acima do plano 7. A parte do paraboloide hiperbólico que está entre os cilindros e 8. A superfície ( / / ),, 9. A parte da superfície que está dentro do cilindro. A parte da esfera que está acima do plano. A parte da esfera a que está dentro do cilindro a e acima do plano. A parte da esfera que está dentro do paraboloide Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, epressando-a em termos de uma integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.. A parte da superfície e que está acima do círculo. A parte da superfície cos ( ) que está dentro do cilindro 5. (a) Use a egra do Ponto Médio para integrais duplas (veja a Seção 5.) com quatro quadrados para estimar a área da superfície da porção do paraboloide que está acima do quadrado [, ] [, ]. (b) Use um sistema de computação algébrica para aproimar a área de superfície da parte (a) até a quarta casa decimal. Compare com sua resposta para a parte (a). 6. (a) Use a egra do Ponto Médio para integrais duplas com m n para estimar a área da superfície,,. (b) Use um sistema de computação algébrica para aproimar a área de superfície da parte (a) até a quarta casa decimal. Compare com sua resposta para a parte (a). 7. etermine a área eata da superfície,,. 8. etermine a área eata da superfície Ilustre, traçando o gráfico da superfície. 9. etermine, com precisão de quatro casas decimais, a área da parte da superfície que está acima do disco.. etermine, com precisão de quatro casas decimais, a área da parte da superfície ( )/ ( ) que está acima do quadrado. Ilustre, traçando o gráfico dessa parte de superfície.. Mostre que a área da parte do plano a b c que projeta sobre uma região no plano com área A() é sa b A().. Se você tentar usar a Fórmula para encontrar a área da metade superior da esfera a, você terá um pequeno problema, pois a integral dupla é imprópria. e fato, o integrando tem uma descontinuidade infinita em cada ponto do limite circular a. No entanto, a integral pode ser calculada como o limite da integral sobre o disco t quando t l a. Utilie este método para mostrar que a área de uma esfera de raio a épa.. etermine a área da parte finita do paraboloide limitada pelo plano 5. [Sugestão: Projete a superfície sobre o plano.]. A figura mostra a superfície criada quando o cilindro intercepta o cilindro. Encontre a área desta superfície.. As Homework Hints estão disponíveis em É necessário usar um sistema de computação algébrica
9 5.7 Eercícios. Calcule a integral do Eemplo, integrando primeiro em relação a, depois e então.. Calcule a integral, onde utiliando três ordens diferentes de integração. 8 Calcule a integral iterada... d d d ( ) d d d 5. e d d d ln p p cos d d d sen ddd 9 8 Calcule a integral tripla. 9. E dv, onde E dv E,,,, d d d E {,,, s, } E e dv., onde E,,,,. E, onde dv E,,,,. E sen dv, onde E está abaio do plano = e acima da região triangular com vértices (,, ), (p,, ) e (, p, ). E 6 dv, onde E está abaio do plano e acima da região do plano limitada pelas curvas s, e., onde E é limitado pelos cilindros parabólicos = E dv e e pelos planos e 5. T dv, onde T é o tetraedro sólido com vértices (,, ), (,, ), (,, ) e (,, ) 6. T dv, onde T é o tetraedro sólido com vértices (,, ), (,, ), (,, ) e (,, ) 7., onde E é limitado pelo paraboloide E dv e pelo plano 8., onde E é limitado pelo cilindro E dv 9 e pelos planos, e no primeiro octante 9 Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado. 9. O tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano. O sólido limitado pelos paraboloides e 8. O sólido limitado pelo cilindro e pelos planos e. O sólido limitado pelo cilindro e pelos planos e. (a) Epresse o volume da cunha no primeiro octante que é cortada do cilindro pelos planos e como uma integral tripla. (b) Utilie a Tabela de Integrais (nas Páginas de eferência 6-) ou um sistema de computação algébrica para determinar o valor eato da integral tripla da parte (a).. (a) Na egra do Ponto Médio para as Integrais Triplas, usamos a soma tripla de iemann para aproimar a integral tripla em uma caia B, onde f,, é calculada no centro i, j, k da caia B ijk. Utilie a egra do Ponto Médio para estimar B s dv, onde B é o cubo definido por,,. ivida B em oito cubos de igual tamanho. (b) Use um sistema de computação algébrica para aproimar a integral da parte (a) com precisão para o número inteiro mais próimo. Compare com sua resposta para a parte (a). 5 6 Use a egra do Ponto Médio para as integrais triplas (Eercício ) para estimar o valor da integral. ivida B em oito subcaias de igual tamanho. 5., onde B cos () dv B,,,, B s e dv 6., onde B,,,, 7 8 Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. 7. d d d 8. d d d. As Homework Hints estão disponíveis em É necessáriou usar um sistema de computação algébrica
10 5.8 Eercícios Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto.. (a), p, (b), p,. (a) s,p, (b) (,, ) Mude de coordenadas retangulares para cilíndricas.. (a),, (b) (, s, ). (a) (s,, ) (b),, 5 6 escreva com palavras a superfície cuja equação é dada r Identifique a superfície cuja equação é dada. 7. r 8. r 9 Escreva as equações em coordenadas cilíndricas. 9. (a) (b). (a) 6 (b) Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas.. r,,., r ;. Uma casca cilíndrica tem cm de comprimento, com raio interno 6 cm e raio eterno 7 cm. Escreva desigualdades que descrevam a casca em um sistema de coordenadas adequado. Eplique como você posicionou o sistema de coordenadas em relação à casca.. Use uma ferramenta gráfica para desenhar o sólido limitado pelos paraboloides e Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a. p p 5. rddrdu 6. r r p rddu dr 7 8 Utilie coordenadas cilíndricas. 7. Calcule E s dv, onde E é a região que está dentro do cilindro 6 e entre os planos 5 e. 8. Calcule, onde E é limitado pelo paraboloide E dv e o plano. 9. Calcule E dv, onde E é o sólido do primeiro octante que está abaio do paraboloide.. Calcule E dv, onde E é limitado pelos planos e 5 e pelos cilindros e 9.. Calcule E dv, onde E é o sólido que está dentro do cilindro, acima do plano e abaio do cone.. As Homework Hints estão disponíveis em ; É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador
11 5.9 Eercícios Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto.. (a) 6, p, p 6 (b), p, p. (a), p, p (b), p, p Mude de coordenadas retangulares para esféricas.. (a) (,,) (b),, s. (a) (,, s ) (b) (s,, s) 5 6 escreva com palavras a superfície cuja equação é dada Identifique a superfície cuja equação é dada. 7. r sen u sen f 8. r sen f sen u cos f 9 9 Escreva a equação em coordenadas esféricas. 9. (a) (b) 9. (a) (b) Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas.. r, f p, u p. r, f p, p u p.,., r cossec f 5. Um sólido está cima do cone s e abaio da esfera. Escreva uma descrição do sólido em termos de desigualdades envolvendo coordenadas esféricas. 6. (a) etermine desigualdades que descrevem uma bola oca com diâmetro de cm e espessura de,5 cm. Eplique como você posicionou o sistema de coordenadas. (b) Suponha que a bola seja cortada pela metade. Escreva desigualdades que descrevam uma das metades. 7 8 Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a Escreva a integral tripla de uma função contínua arbitrária f (,, ) em coordenadas cilíndricas ou esféricas sobre o sólido mostrado. 9.. p 6 p p p p r sen f dr du df r sen f dr df du Utilie coordenadas esféricas.. Calcule B dv, onde B é a bola com centro na origem e raio 5.. Calcule H 9 dv, onde H é o hemisfério sólido 9,.. Calcule E dv, onde E está entre as esferas e 9.. Calcule E dv, onde E é o hemisfério sólido 9,. 5. Calcule E e dv, onde E é a porção da bola unitária que fica no primeiro octante. 6. Calcule E dv, onde E fica entre as esferas e e acima do cone. 7. Encontre o volume da parte da bola a a que está entre os cones 6 e. 8. Encontre a distância média de um ponto em uma bola de raio a a seu centro. ; É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador É necessário usar um sistema de computação algébrica. As Homework Hints estão disponíveis em
12 9. (a) etermine o volume do sólido que está acima do cone e abaio da esfera cos. (b) Encontre o centroide do sólido na parte (a).. etermine o volume do sólido que está dentro da esfera, acima do plano e abaio do cone s.. (a) Encontre o centroide do sólido no Eemplo. (b) Encontre o momento de inércia em torno do eio para este sólido.. Seja H um hemisfério sólido de raio a cuja densidade em qualquer ponto é proporcional à distância ao centro da base. (a) etermine a massa de H. (b) etermine o centro de massa de H. (c) etermine o momento de inércia de H em relação a seu eio.. (a) etermine o centroide do hemisfério sólido homogêneo de raio a. (b) etermine o momento de inércia do sólido da parte (a) em relação a um diâmetro de sua base.. etermine a massa e o centro de massa do hemisfério sólido de raio a se a densidade em qualquer ponto for proporcional à sua distância da base. 5 8 entre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilie a que lhe parecer mais apropriada. 5. etermine o volume e o centroide do sólido E que está acima do cone s e abaio da esfera. 6. etermine o volume da menor cunha esférica cortada de uma esfera de raio a por dois planos que se interceptam ao longo de um diâmetro com um ângulo de Calcule, onde E está acima do paraboloide E dv e abaio do plano. Utilie a Tabela de Integrais (veja as Páginas de eferência 6 ) ou um sistema de computação algébrica para calcular a integral. 8. (a) etermine o volume limitado pelo toro r sen f. (b) Utilie um computador para desenhar o toro. 9 Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas s s s a a sa sa sa sa s s s s ddd d ( ) d dd d d d ( ) / d d d. Um modelo para a densidade d da atmosfera terrestre próima à superfície é d 69,9,97r onde r (a distância do centro da Terra) é medido em metros e d é medido em quilogramas por metro cúbico. Se tomarmos a superfície da Terra como uma esfera com raio de 6 7 km, então, este modelo é raoável para r Use este modelo para estimar a massa da atmosfera entre o solo e uma altitude de 5 km. ;. Use uma ferramenta gráfica para desenhar um silo que consista em um cilindro de raio e altura com um hemisfério no topo.. A latitude e a longitude de um ponto P no hemisfério norte estão relacionadas com as coordenadas esféricas,, como a seguir. Tomamos a origem como o centro da Terra e o eio passando pelo polo norte. O eio positivo passa pelo ponto onde o meridiano principal (o meridiano por Greenwich, na Inglaterra) intercepta o equador. Então a latitude de P é 9 e a longitude é 6. Encontre a distância sobre um círculo máimo de Los Angeles (lat.,6º N, long. 8,5º W) a Montreal (lat. 5,5º N, long. 7,6º W). Tome o raio da Terra como 6 7 km. (Um círculo máimo é o círculo de intersecção de uma esfera com um plano que passe pelo centro da esfera.) 5. As superfícies r 5 sen mu sen nf têm sido usadas para modelar tumores. A esfera rugosa com m 6 e n 5 está mostrada. Utilie um sistema de computação algébrica para determinar seu volume. 6. Mostre que s e d d d p (A integral imprópria tripla é definida como o limite da integral tripla sobre uma esfera sólida quando o raio da esfera aumenta indefinidamente.) 7. (a) Utilie coordenadas cilíndricas para mostrar que o volume do sólido limitado por cima pela esfera r a e por baio pelo cone r cotg f (ou ), onde, é V a cos (b) edua que o volume da cunha esférica dada por,, é V cos cos (c) Utilie o Teorema do Valor Médio para mostrar que o volume da parte (b) pode ser escrito como V r sen f r u f onde está entre e, está entre e,, e.
13 CAPÍTULO 5 EXECÍCIOS 5.. (a) 88 (b). (a),99 (b),5 5. (a) (b) 8 7. U V L 9. (a) 8 (b) 5, ,66,,9,,55,,67,,67,,6 EXECÍCIOS 5.. 5, ln.. p ln 9. ( ) p. e 6 5 ) e O Teorema de Fubini não se aplica. O integrando tem uma descontinuidade infinita na origem. EXECÍCIOS sen p. (a) (b) 5. Tipo I: {(, ), }, tipo II: {(, ), }; 5. h h d d h h d d h h 7 6 d d 7. ( cos )
14 ,,;, / p/. h h f (, ) d d 5. h h cos f (, ) d d ln 7. h h e f (, ) d d 6 9. (e 9 ) 5. ln 9 5. ( ) (p/6)e /6 hh Q e ( ) da p/ p 65. a b ab 67. pa b EXECÍCIOS 5. p/. h h f (r cos u, r sen u)r dr du. h h ( )/ f (, ) d d 5. p/ (p/) (cos cos 9). (p/)( e ). p 5. p/ p p. p. pa 5. (p/)[ (/ )] 7. (8p/)(6 ) 9. p ( cos 9). /.,595 (,, ) = π ,5p m 7. /(a b) 9.. (a) p/mmm(b) p/ (,, ) = π (,, ) (, ) ln 5 6 = (, ) =ln or =e = 6 =cos or =cos _ π = EXECÍCIOS C. k, (, 8) 5. 6, (, ) 7. 5k, (, 7) 9. L/, (L/, 6/(9p)). ( 8, p/6). (, 5/p)) 5. (a/5, a/5) se o vértice é (, ) e os lados estão ao longo dos eios positivos k, 5k, 5k 9. 7ka 6 /8, 7ka 6 /8, 7ka 6 /9 se o vértice é (, ) e os lados estão ao longo dos eios positivos. rbh /, rb h/; b/, h/. ra p/6, ra p/6; a/, a/ 5. m p/6, (, 68 ) (, ), 95p I 5p, I 5p, I 5p (a) (b),75 (c) 8, 9. (b) (i) e,,887 (ii) e,8 e,8 e,8 (c), 5. (a),5 (b),6. (a) hh (k/)[ ( ) ( ) ] da, onde é o disco com raio de km centraliado no centro da cidade 8 (b) pk/ 9k, (p/ )k 6k, na borda EXECÍCIOS sen ( ) 7. (p/6)( ) 9. (p/)( ). a (p )., (a),8 (b), ln[( 5 7)/( )] 9.,. (p/6)( ) EXECÍCIOS p/ p/ 9... (a) h h h 6 5 d d d (b) p 5., / / 9. h h h h h h / / h h h h h h h / / h h h / / h h f (,, ) d d d. h h h / f (,, ) d d d h h h / h h h h h / h h h / h h h h f (,, ) d d d f (,, ) d d d f (,, ) d d d f (,, ) d d d f (,, ) d d d f (,, ) d d d f (,, ) d d d f (,, ) d d d f (,, ) d d d f (,, ) d d d 5 9
15 . h h h f (,, ) d d d h h h f (,, ) d d d h h h f (,, ) d d d h h h f (,, ) d d d h h h f (,, ) d d d h h ( ) h f (,, ) d d d 5. h h h f (,, ) d d d h h h f (,, ) d d d h h h f (,, ) d d d h h h f (,, ) d d d h h h f (,, ) d d d h h h f (,, ) d d d p 9., ( 55, 79, 55). a 5, (7a/, 7a/, 7a/). I I I kl 5 5. pkha 7. (a) m h h h d d d (b) (,, ), onde (/m) h h h d d d (/m) h h h d d d (/m)h h h d d d (c) h h h ( ) / d d d 9. (a) p 8 p 8 9p 5p 5p 8 (b) (,, ) (c) (68 5p) 5. (a) (b) (c) 5. L /8 55. (a) A região ligada pelo elipsoide (b) 6p/5 EXECÍCIOS 5.8. (a) (b) (,, ) (,, ). (a) (, p/, ) (b) (, p/, ) 5. Meio-plano vertical pelo eio 7. Paraboloide circular 9. (a) r cos u r (b) r cos u. 8 6 π 576 _ 5p 66 π,, _ π, _, π _ 5. p 7 8p 9. p. p/5. p( ) 5. (a) 6p (b) (,, 5) 7. pka /8, (,, a/) 9.. (a) hhh c h(p)t(p) dv, onde C é o cone (b), 8 J EXECÍCIOS 5.9. (a) (b) (,, ) (,, ). (a) (, p/, p/) (b) (, p/, p/) 5. Meio-cone 7. Esfera, raio, centro (,, ) 9. (a) cos f sen f (b) r (sen f cos u cos f) 9.. π = π 6 5. f p/, cos f 7. (9p/) ( ) 6 π π 6,, = = = π = π π π π π,, = p 6. Coordenadas cilíndricas: 6 r 7, u p, p/ 9. h h h f (r cos u, r sen u, ) r d dr du
16 A8 CÁLCULO..5p/7..688p/5 5. p/8 7. ( )pa / 9. (a) p (b) (,,,) 7. (a) (,, ) (b) Kp/96. (a) (,, 8 a) (b) Kpa 5 /5 5. p ( ), (,, /[8( )]) 7. 5p/6 9. ( 5)/5. 96p/. 5. 6p/99 EXECÍCIOS sen u cos u O paralelogramo com vértices (, ), (6, ), (, ), (6, ) 9. A região ligada pela reta, o eio e por. (v u), (u v) é uma transformação possível, onde S {(u, v) u, v }. u cos v, u sen v é uma transformação possível, onde S {(u, v) u, v p/} p 9. ln. (a) pabc (b) 8 km (c) 5p(a b )abck 8. ln 8 5. sen 7. e e 5 CAPÍTULO 5 EVISÃO Teste Verdadeiro-Falso. Verdadeiro. Verdadeiro 5. Verdadeiro 7. Verdadeiro 9. Falso Eercícios. 6,. e e 5. sen 7. p 9. h h f (r cos u, r sen u) r dr du. A região dentro do circuito da rosa de quatro folhas r sen u no primeiro quadrante. sen 5. e ln p/5. 5. p/ ma / (a) (b) (, 5) (c) I, I ; = /, = / 6 7. (a) (,, h/) (b) pa h/ 9. ln( ) 86 /. 5.,5 5. (a) (b) (c) 5 7. h h h f (,, ) d d d 9. ln 5. POBLEMAS QUENTES.. sen 7. (b), abcp ( ) 5
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