Departamento de Matemática Faculdade de Ciências e Tecnologia Universidade de Coimbra Cálculo III - Engenharia Electrotécnica Caderno de Exercícios

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1 Departamento de Matemática Faculdade de iências e Tecnologia Universidade de oimbra álculo III - Engenharia Electrotécnica aderno de Exercícios álculo Integral álculo do integral triplo em coordenadas cartesianas. () alcule os seguintes integrais triplos: (a) D (x + y + z + ) dv com D = {(x, y, z) 3 R3 + : x + y + z }; (b) y dxdydz onde D é limitado pelas superfícies de equações y = x + z e D y = x z ; (c) (x + y) dv onde D = {(x, y, z) R 3 : 4z x + y x + y + z } ; D (d) z dv onde D = {(x, y, z) R 3 : x + y + z 9 x + y + z 6z}. D () Em cada um dos seguintes exercícios identifique o domínio de integração, escreva, se possível, os integrais dados por uma ordem de integração diferente e calcule-os. (a) (b) x (xy + xyz) dz dx dy; 4x y x dz dy dx; Mudança de variável no integral triplo. (c) (d) x +x +y 4 x 6 z 3x dy dz dx. dz dy dx; (3) Usando uma mudança de variável conveniente calcule os seguintes integrais triplos: (a) dv com D = {(x, y, z) R 3 : x + y z x y }; D ( x y ) 3 (b) dv com D = {(x, y, z) R 3 : 4 x + y + z 9}; D (x + y + z ) 3 (c) x + y + z dxdydz com D = {(x, y, z) R 3 : x + y + z x + D y + (z ) }. (d) y dv com D = {(x, y, z) R 3 : x + y + z z x + y } ; D (e) z dv com D = {(x, y, z) R 3 : x + y z z x y } ; D (f) ( x D 4 + y + z 9 ) dv com D = {(x, y, z) R3 : 9x + 36y + 4z 36}; (g) ((y + z) x ) dv com D = {(x, y, z) R 3 : x + y + z e D x + y + z 4 e 3x + z 3}. (4) onsidere o integral triplo I escrito na seguinte forma I = π rcosθ r 4r sin θ dz dr dθ. (a) Represente graficamente o domínio E de integração; (b) alcule o valor de I;

2 (c) Escreva I como um integral iterado usando coordenadas cartesianas. álculo de volumes usando integrais triplos. (5) Usando integrais triplos, calcule o volume das regiões de R 3 definidas por: (a) x + y + z r, r > ; (e) x + y z x + y ; (b) x + y, z ; (f) x + y + z 8, z x + y ; (c) x + y (z ), z ; (g) x + y + z 4, x + y + (z ) 4; (d) z, x + y z ; (h) x + y + z z, x + y + z 3, y x. (6) eja Q = {(x, y, z) R 3 : + x + y z x + y }. (a) alcule o volume de Q; (b) alcule o volume de T (Q), onde T : R 3 R 3 é definida por T (x, y, z) = (x y, y + z, z x). Integral curvilíneo de funções escalares. (7) alcule o f(x, y, z) ds, onde: (a) f(x, y, z) = x + y + z e é a curva de equações paramétricas x = sin t, y = cos t, z = t, t [, π]; (b) f(x, y, z) = x cos z e é a curva de equações paramétricas x = t, y = t, z =, t [, ]. (8) eja f : D R 3 R uma função contínua e uma curva seccionalmente regular contida em D, de representação paramétrica r(t), t [a, b]. endo a curva formada pelos mesmos pontos de, mas percorrida em sentido contrário, prove que f ds = f ds. (9) alcule: (a) x y ds, em que é o segmento de recta de equação y = x, compreendido entre os pontos A(, ) e B(4, ); (b) x y ds, onde = {(x, y) R : (y = x y = 4) x }. () ejam e as curvas de equações paramétricas x = cos t, y = sin t, t [, π], e x = cos 4t, y = sin 4t, t [, π], respectivamente. Faça um esboço das curvas e e calcule o comprimento de cada uma delas. () Pretendem-se caiar ambos os lados de uma cerca que tem por base a curva = { (x, y) R : (x/3) /3 + (y/3) /3 = e y } e em que a altura é dada em cada ponto (x, y) por a(x, y) = +y/3. Desprezando os encargos com a cal, e sabendo que o pintor leva $ por caiar 5 u.a., determine o preço a que fica o trabalho. Integral curvilíneo de campos de vectores. () alcule F d r onde (a) F (x, y) = (x y )î + xĵ e é o arco da circunferência de equação x + y = 4, orientada no sentido directo, que vai de A(, ) a B(, ); (b) F (x, y, z) = (y + z)î + (x + z)ĵ + (x + y)ˆk e é o arco da curva de equação y = x, z = x 4 que une os pontos A(,, ) e B(,, ) e orientada de A para B;

3 (c) F (x, y, z) = (x z)î + yĵ + xˆk e é a curva que se obtem por justaposição do segmento de recta de extremos (,, ) e (,, ) com a curva parametrizada por x = cos t, y = sin t, z = t/π, t [, π]; (d) F (x, y, z) = yî + xĵ + zˆk e é a curva definida pela condições x + y + z =, z = x + y e está orientada no sentido directo. (3) alcule os seguintes integrais curvilíneos: (a) (y sin x) dx + cos x dy, onde é o triângulo de vértices P (, ), Q(π/, ) e (b) R(π/, ), orientado no sentido positivo; (y + ) dx x dy, onde = {(x, y) R : (y = x y = 4) x [, ]} está orientada no sentido directo. (4) endo Q = {(x, y, z) R 3 : x + y z e x + y } e a curva fechada definida pela intersecção de Q com o plano z = e orientada no sentido directo, calcule y dx + x dy + z dz. (5) Determine o trabalho realizado pelo campo de forças F (x, y, z) = xî + yĵ zˆk, no deslocamento ao longo da curva definida por: z = y 4, x = desde (,, ) a (,, ). (6) onsidere as duas superfícies de equações : x + y + z = 4 e : z = 3, e seja Γ a linha de intersecção de com. alcule o trabalho realizado pelo campo G(x, y, z) = y î + xyĵ + (z + )ˆk, para deslocar uma partícula material ao longo da curva Γ, orientada no sentido directo. (7) alcule e x sin y dx + e x cos y dy, onde é uma curva entre o ponto P (, ), e o ponto Q(π/, π/). (8) alcule (y x ) dx + x dy, onde = {(x, y) R : (y = x x x ) (x + 3y = 4 x 4)} e está orientada no sentido directo. y dx x dy (9) alcule o integral onde é uma curva simples, fechada e parcialmente suave, que não intersecta o eixo das abcissas. Teorema de Green. () Por aplicação do Teorema de Green, calcule o integral y a circunferência de equação x + y = r, orientada no sentido directo. x y dx + xy dy, onde é () endo R = {(x, y) R : x y e x y / + }, use o Teorema de Green para calcular o integral y dxdy. R () eja K = y dx + e y y dy onde é a fronteira, orientada no sentido directo, da região plana R determinada pelas condições x e y (x + ). Apresente o valor da área de R em função de K. (3) eja Γ a curva que se obtém por justaposição da curva definida por x + y = 4 e x e y, orientada de A(, ) para B(, ), coma curva definida parametricamente por x = t, y = 4t 8t, t [, ]. alcule e x dx + ( + y ) dy. (4) onsidere a região plana R = {(x, y) R : y x e x + y x}. (a) alcule o valor da constante k dada por k = y da. R Γ 3

4 4 (b) endo a curva com orientação positiva, que é fronteira da região R, mostre que (x + y ) dx + (xy + y ) dy = 3k. (5) onsidere a região plana R = {(x, y) R : y (x + ) } e a curva que é a fronteira de R orientada positivamente. (a) alcule, usando a definição, x dy y dx. (b) Use o resultado anterior para determinar o volume do sólido E = {(x, y, z) R 3 : (x, y) R e z y x}. (6) Recorrendo ao Teorema de Green, determine as equações das superfícies que definem a fronteira do sólido cujo volume é dado por (y 3 + yx ) dx + (x + y x) dy, onde representa a circunferência de equação x + y =, percorrida no sentido directo. (7) eja F (x, y) = y x + y î + x x + y ĵ. (a) Prove que F d r tem sempre o mesmo valor, qualquer que seja a curva fechada, simples, seccionalmente suave e orientada positivamente que circunda a origem. alcule esse valor. (b) Prove ainda que, se a curva não circundar nem passar na origem, então F d r =. Integral de superfície de funções escalares. (8) alcule os seguintes integrais de superfície (a) z d, onde é a porção da superfície cónica z = x + y, limitada pelos planos z = e z = 3; (b) z d, onde é o elipsóide de equação x a + y b + z c = ; (c) (x + y ) d, onde é a superfície esférica de equação x + y + z = a ; (d) (x + y ) d, onde é a reunião da porção do parabolóide z = (x + y ), situada acima do plano XOY, com a porção desse mesmo plano definida por x + y ; { } (e) x d, onde = (x, y, z) R 3 : x + y = x e z x + y. (9) alcule o integral de f(x, y, z) = xyz sobre o rectângulo de vértices (,, ), (,, ), (,, ) e (,, ). (3) onsidere a superfície definida por = {(x, y, z) R 3 : x +y = 4 e z x+3}. alcule os seguintes integrais: (a) x d; (b) (3) alcule a área de superfície de quando: (a) é um cubo de aresta igual a a > ; y d; (b) é uma superfície esférica de raio igual a a > ; (c) z d. (c) é composta pela porção do parabolóide x + y = 4 z, situada acima do plano XOY, e pela porção da superfície esférica x + y + z = 4 situada abaixo desse mesmo plano;

5 (d) é a superfície que limita o sólido Q definido por Q = {(x, y, z) R 3 : x + y (z 6) e z 6}. Integral de superfície de campos vectoriais. (3) alcule F ˆn d quando: (a) F (x, y, z) = yî xĵ + 8ˆk e é a porção do parabolóide z = 9 x y que fica situada acima do plano XOY, com ˆn dirigida para cima; (b) F (x, y, z) = xî ĵ + x ˆk, sendo a porção do parabolóide z = x + y, limitada pelas superfícies x = y e x = y, orientada com a normal ˆn dirigida para baixo; (c) F (x, y, z) = yî + xĵ + z 4ˆk e é a superfície esférica x + y + z = 4, orientada com a normal ˆn dirigida para dentro; (d) F (x, y, z) = xzî + xyĵ + yzˆk, é definida por = {(x, y, z) R 3 : x + y = r x y z h} com r >, h >, e orientada com ˆn a apontar para o exterior. (33) eja F (x, y, z) = xî + x ĵ + yzˆk o campo vectorial que representa a velocidade (em m/s) de uma corrente de fluido. Determine quantos metros cúbicos de fluido atravessam, por segundo, o plano XOY através do quadrado definido por x e y. Teorema de tokes e Teorema da Divergência. (34) Usando o Teorema de tokes, transforme o integral de superfície integral curvilíneo e calcule o seu valor, para cada um dos casos seguintes. 5 rot F d num (a) F (x, y, z) = yî + zĵ + 3ˆk e é a superfície do parabolóide z = (x + y ), situada acima do plano XOY, com a orientação canónica. (b) F (x, y, z) = y î + xyĵ + xzˆk e = {(x, y, z) R 3 : x + y + z = e z }, com a orientação canónica. (c) F (x, y, z) = xzî yĵ x yˆk, é composta pelas 3 faces, não situadas no plano XOZ, do tetraedro limitado pelos 3 planos coordenados e pelo plano 3x+y+3z = 6, com orientação determinada pela normal unitária exterior do tetraedro. (35) Usando o Teorema de tokes, mostre que cada um dos seguintes integrais curvilíneos tem o valor indicado. Em cada caso diga em que sentido é que é percorrida a curva para obter o resultado pretendido. (a) (x yz) dx + (y zx) dy + (z xy) dz =, com uma curva simples, fechada e parcialmente suave. (b) y dx + z dy + x dz = π, sendo a circunferência x + y =, z =. (c) y dx + z dy + x dz = π 3, sendo a curva de intersecção da superfície esférica x + y + z = com o plano x + y + z =. (d) (y + z) dx + (z + x) dy + (x + y) dz =, sendo a curva de intersecção da superfície cilíndrica x + y = y com o plano y = z. (36) Utilizando o Teorema da Divergência, calcule:

6 6 (a) (yz cos α + xz cos β + xy cos γ) d onde é composta pelas faces do tetraedro limitado pelos planos x =, y =, z = e x + y + z = 3, e cos α, cos β e cos γ são os cossenos directores da normal unitária exterior a ; (b) (x cos α + y cos β + z cos γ) d onde cos α, cos β e cos γ são os cossenos directores da normal unitária exterior a e (i) é composta pelas faces do cubo de vértices (,, ), (a,, ), (, a, ), (,, a), (a, a, ) e (a, a, a), com a > ; (ii) é a superfície que limita o sólido Q = {(x, y, z) R 3 : x + y + z e z }; (iii) é a superfície que limita o sólido Q = {(x, y, z) R 3 z e z }. : 4(x + y ) (37) onsidere o sólido V definido por V = {(x, y, z) R 3 : x + y + z 5 e z 3}. A superfície que limita V é composta por uma superfície esférica e por outra plana. endo ˆn = cos α î + cos β ĵ + cosγ ˆk a normal unitária exterior a, calcule o valor de (xz cos α + yz cos β + cos γ) d: (a) utilizando a definição; (b) usando o teorema da divergência. (38) eja F (x, y, z) = (x ) î y ĵ e a superfície definida por z = 4 y e x + y. (a) alcule F d supondo com a orientação canónica; (b) Use a alínea anterior para calcular G d r com G(x, y, z) = x î + z ĵ + xy ˆk e a curva definida por x +y =, z = 4 y para ambas as orientações possíveis para. (39) eja a fronteira da região Q de R 3 definida por Q = {(x, y, z) R 3 : x + y 4, z 6 x y e z}. eja ainda F (x, y, z) = exp(xyz) sin x î + cos(x + y + z) exp(x /) ĵ+sin(exp(x +y +z)) ˆk. Determine rot F ˆn d sendo ˆn a normal unitária exterior a. (4) (a) alcule o volume do sólido Q determinado por z x +y +z 4z e x +y z ; (b) eja F (x, y, z) = (x + y ) î + (3y + z 3 ) ĵ + (4z + exp(x 4 )) ˆk e sejam ainda a fronteira do sólido Q e ˆn a normal unitária exterior a. Recorrendo ao resultado obtido na alínea anterior, determine o valor de F ˆn d. (4) eja a fronteira da região D definida por D = {(x, y, z) R 3 : z x + y e x + y + z z}, e suponha orientada pela normal unitária exterior. eja ainda F (x, y, z) = (exp(yz) sin z + x) î + (exp(sin x) 3y) ĵ + (z + z + x sin y exp(xy) ˆk. (a) alcule F ˆn d; (b)alcule 3 rot F ˆn d. Exercícios de Exame (4) eja uma curva do espaço, seccionalmente suave, com ponto inicial (,, c) e ponto final (,, c). alcule (x 3 + y) dx + (y 4 + x) dy + exp( z) dz. (43) eja Q o subconjunto de R 3 definido por Q = {(x, y, z) R 3 : x + y + (z ) 4 e z }. (a) Faça um esboço de Q e calcule o seu volume.

7 (b) eja a porção de superfície esférica que limita Q, orientada pela normal unitária ˆn que em cada ponto aponta para o exterior de Q. endo F (x, y, z) = 3x(x + ) î (6x + 4)y ĵ + 9 ˆk, calcule F ˆn d, em função do volume de Q. (44) alcule xy dx + x dy e diga, justificando, se o campo de vectores G(x, y) = xy î + x ĵ é conservativo. (45) onsidere a região de R 3, E = {(x, y, z) R 3 : z x + y + z 4z}. Descreva a região E em coordenadas esféricas e utilize esse resultado para calcular o volume de E. (46) onsidere a região de R 3 definida por Q = {(x, y, z) R 3 : + x + y z x + y }. (a) Faça um esboço de Q e mostre que xy dxdydz =. Q (b) onsidere o campo de vectores de R 3 dado por F (x, y, z) = (x+x y) î xy ĵ z ˆk. eja a porção de superfície cónica que delimita Q e a porção de parabolóide que delimita Q, ambas com a orientação canónica. Mostre que F d = F d. (47) onsidere a região de R 3 dada por Q = {(x, y, z) R 3 : x + y + z 4, x + y z 3x + 3y e y }. Faça um esboço da região Q, descreva-a em coordenadas esféricas e utilize esse resultado para calcular o seu volume. (48) eja a curva do espaço definida por x + (y ) = z = 9 x y orientada no sentido directo. (a) Parametrize e calcule o valor da constante k dada por k = (e x + y) dx xy dy + yz dz. (b) onsidere a superfície de R 3 definida por z = 9 x y, x + (y ), com a orientação canónica. Use o resultado da alínea anterior para calcular (z î + ( y ) ˆk) d, em função de k. Exercícios de Revisão (49) eja f uma função real definida em R por f(x, y) = xy x + y f(, ) =. (a) Verifique se f é contínua em R. (b) alcule as derivadas parcias de primeira ordem de f em (, ). (c) Justifique que f é diferenciável em R \ {(, )}. 7 se (x, y) (, ) e (d) alcule a derivada direccional de f em (, ), e conclua que f não é diferenciável em (, ). (5) onsidere a seguinte equação diferencial com derivadas parciais verificada por uma função real de duas varáveis reais de classe, f x f t =.

8 8 (a) endo φ : R R definida por φ(x, y) = (x + y, x y), mostre que φ é injectiva e determine φ. (b) Mostre que F (u, v) = f φ(u, v) verifica F u v =. (c) Mostre que existem funções g, h (R) tal que F (u, v) = g(u) + h(v). (d) Determine a solução geral da equação dada. (5) Determine os extremos relativos da função f(x, y, z) = x + y + z sugeitas à condição (x, y, z) R 3 tal que x + y + z + xy + xz + yz = e x + y 3z =. Para tal proceda do seguinte modo: (a) Dê condições necessárias para a existência de extremo e calcule os candidatos a solução do problema. (b) Dê condições suficientes de extremo do problema dado, em termos das derivadas de segunda ordem. Faça o estudo correspondente. (c) Dê uma interpretação geométrica do problema. Para tal, explique o significado de extremar a função f e identifique as superfícies de R 3 dadas. (d) Diga justificando se os candidatos a extremo local obtidos na alínea (a) são extremos globais de f sobre a curva dada. (5) eja F : R 3 R 3 definida por F (x, y, z) = y x + y i + y x + y dx + x x + y dy + e z dz, quando: (a) = {(x, y, z) R 3 : x + y = r, z = e}. x x + y j + e z k. alcule o (b) é uma qualquer curva fechada, simples, parcialmente suave no plano z = e, que contém o ponto (,,e) no seu interior geométrico. Que pode dizer se for uma qualquer curva no espaço que não contiver nenhum ponto do eixo OZ no seu interior geométrico. (53) onsidere os pontos P = (,, ), Q = (,, ), R = (,, ) e = (,, ). (a) Identifique geometricamente o rectângulo de vértices nos pontos P, Q, R,, e escreva a equações paramétricas e cartesianas do plano que passa por estes pontos. Dê um vector normal a esse plano. (b) alcule o integral de arco de superfície de f(x, y, z) = xyz, sobre o rectângulo de vértices P, Q, R,.