Análise Matemática 2 FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO. Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores

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1 FAULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de omputadores Análise Matemática 2 Apontamentos das aulas teóricas - Integrais de Linha 29/21 Maria do Rosário de Pinho Maria Margarida Ferreira

2 INTEGRAIS DE LINHA Neste capítulo estudamos vários tópicos envolvendo funções de várias variáveis. Na primeira parte e para simplificar a exposição introduzimos algumas definições. 1 Algumas Noções U R n aberto e conexo U é aberto e é possível unir quaisquer dois pontos de U por uma curva completamente contida em U. U R n é um domínio U é um aberto conexo. Dizemos que uma curva em R n é suave se pode ser parametrizada por uma função γ : [a, b] R n tal que γ tem derivada contínua. O ponto A γ(a) diz-se o ponto inicial da curva e B γ(b) diz-se o ponto final. A curva está assim orientada sendo o seu sentido de A para B. A mesma curva orientada de B para A designa-se por. Seja uma curva que consiste num número finito k de curvas suaves i unidas pelos extremos como na figura. A curva diz-se uma curva suave por bocados ou um caminho. 2

3 Um caminho cujo ponto inicial coincide com o ponto final diz-se um caminho fechado. Seja F : R n R n uma função diferenciável num aberto U. É uma função vectorial de variável vectorial em que os espaços de partida e de chagada têm a mesma dimensão. Diz-se que esta função define um campo de vectores em U e, por isso, diz-se, simplificando a linguagem, que F é um campo de vectores. Vejamos porquê. onsidere uma função F : R 2 R 2. Em cada ponto (x, y) R 2 marque um vector com a direcção e sentido do vector F (x, y) com ponto de aplicação em (x, y). Assim, a cada ponto (x, y) associamos um vector F (x, y) (ver figura). Seja F uma função diferenciável de R 3 em R 3. Sejam f 1, f 2 e f 3 as suas funções componentes, i.e., F (x, y, z) (f 1 (x, y, z), f 2 (x, y, z), f 3 (x, y, z)). Então div F f 1 x + f 2 y + f 3 z designa-se por divergência de F ou divergência do campo de vectores definido por F. ( Sendo o operador x, y, ) escreve-se: z div F F. Seja f uma função continuamente diferenciável de R 3 em R. Então div ( f) 2 f x f y f z 2. Diz-se que a divergência do gradiente de f é o Laplaciano de f e escreve-se 3

4 2 f div ( f). Seja F : R 3 R 3 tal que F (x, y, z) (f 1 (x, y, z), f 2 (x, y, z), f 3 (x, y, z)). Sejam ( i, j, k) os vectores da base canónica de R 3. Então o rotacional de F é rot F F det i j k x y z f 1 f 2 f 3 ( f3 y f ) ( 2 f1 i + z z f ) ( 3 f2 j + x x f ) 1 k. y Seja F uma função tal que F (x, y) f(x, y) para alguma função f 1. A função F diz-se um campo de gradientes. 2 Integrais de Linha onsideremos uma força F constante (em direcção e magnitude) que actua sobre uma partícula obrigando-a a deslocar-se em R 2 ao longo de um segmento de recta como na figura. Note-se que A e B são respectivamente a posição inicial e posição final da partícula. São ambos pontos da recta sobre a qual a partícula se move. Dizemos então que o trabalho realizado por essa força é dado por W F R, ou seja, o trabalho W é o produto interno de F sobre R e R é o vector R B A. Suponhamos agora que criamos um campo de forças variável sobre uma placa, ou seja, a força exercida por esse campo em cada ponto varia. Nessa placa largamos uma partícula. Verifica-se que sobre a acção desse campo a partícula desloca-se na placa descrevendo uma curva. onsidere-se um referencial nessa placa. ada ponto da placa corresponde a um par (x, y). Seja { i, j} a base canónica de R 2. Podemos então dizer que a força F é da forma F (x, y) (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) f 1 (x, y) i + f 2 (x, y) j. 4

5 Suponhamos que a força F é uma função contínua em R 2. A curva descrita pela partícula sobre a acção de F pode ser parametrizada pela função γ(t) (x(t), y(t)), onde t [, t f ] e γ é uma função contínua em [, t f ], derivável em ], t f [ e com derivada contínua. Qual o trabalho realizado pela força ao longo da curva? onsidere-se uma partição P do intervalo [, t f ] com n + 1 pontos. Ou seja, P {t,..., t n } onde t, t n t f e t i 1 < t i para todo o i {1,..., n}. Seja P i γ(t i ), i, 1,..., n 1 e R i o vector definido por R i P i+1 P i, i, 1,..., n 1. Sendo n um número muito grande e sendo t i t i+1 t i muito pequeno para cada i, podemos dizer que o comprimento de arco sobre a curva entre os instantes t i e t i+1 é aproximadamente igual ao comprimento do vector R i. omo F é contínua, podemos também afirmar que F é aproximadamente constante ao longo do vector R i. Seja F i esse valor constante que aproxima o valor de F ao longo de R i (note-se que F i é um vector em R 2 ). oncluímos assim que o trabalho W efectuado pela força ao longo da curva é aproximadamente igual a n 1 F i R i. i Quanto maior é n mais próximo está R i do comprimento de arco percorrido pela curva entre os instantes t i e t i+1. Além disso, quanto maior é n mais o vector R i se aproxima do vector tangente á curva no instante t i, γ (t i ). 5

6 omo base nesta análise concluímos que O integral de linha W F dγ é definido como n 1 lim n + i F i R i. n 1 lim n + i F i R i. Sabemos já que γ(t) (x(t), y(t)) x(t) i + y(t) j. Ora dγ dt (x (t), y (t)) dx dt i + dy dt j. Usando a notação de Leibniz para derivadas podemos escrever ( dx dγ dt i + dy ) dt j dt dx i + dy j. omo F (x, y) f 1 (x, y) i + f 2 (x, y) j obtemos f 1 (x, y)dx + f 2 (x, y)dy (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) (dx, dy) [f 1 (x(t), y(t))dx + f 2 (x(t), y(t))dy] tf tf [ f 1 (x(t), y(t)) dx dt + f 2(x(t), y(t)) dy ] dt dt F (γ(t)) γ (t)dt Obtemos assim uma fórmula para determinar o trabalho realizado por F ao deslocar a partícula. Nota Importante: onsideremos a função γ parametrizada pelo comprimento de arco s. Recorde-se que o vector tangente unitário T (s) é T (s) dγ ds. Logo dγ T (s)ds e escrevemos F T ds. Assim o integral de linha F dγ pode ser visto como o integral da componente tangencial da força F ao longo da curva. 6

7 Definição 2.1 Seja uma curva parametrizada por uma função γ : [a, b] R 2 de classe 1 ( é uma curva suave). Seja γ(t) (x(t), y(t)). Seja U um aberto de R 2 tal que γ(t) U para todo o t [a, b]. Seja F : U R 2 uma função contínua tal que F (x, y) (f 1 (x, y), f 2 (x, y)). Então tf [ f 1 (x(t), y(t)) dx dt + f 2(x(t), y(t)) dy ] tf dt F (γ(t)) γ (t)dt. dt Exemplo 2.2 alcule o integral de linha xdx + (x 2y)dy onde é a porção da parábola de equação y x 2 entre os pontos (, ) e (1, 1). omeçamos por parametrizar a curva. Seja γ(t) (t, t 2 ) onde t [, 1]. Neste caso temos x(t) t e y(t) t 2. alculamos dx e dy. Temos dx dt 1 e dy dt 2t. Logo dx dt e dy 2tdt. Substituímos x, y, dx e dy no integral de linha. alculamos o integral. (xdx + (x 2y)dy 1 [ tdt + (t 2t 2 )2tdt ] 1 (t + 2t 2 4t 3 )dt. 1 [ t (t + 2t 2 4t 3 2 )dt 2 + 2t3 3 t4 ] t1 t Exercício Seja F (x, y) (f 1 (x), ) onde f 1 é uma função derivável. Seja o segmento de recta que une os pontos (2, ) e (4, ). alcule F dγ. 2. onsidere o integral percorrida no sentido inverso. Mostre que 3. Verifique que os pontos (1, 1) e (, ). F dγ. Seja γ(t) uma parametrização de com t [a, b]. Seja a curva F dγ. xdx + (x 2y)dy 1 6 onde é agora a porção da parábola de equação y x2 entre 7

8 Introduzimos a noção de integral de linha no plano. podemos falar de integrais de linha no espaço. Seja então F uma função definida num domínio U de R 3 tal que F (x, y, z) (f 1 (x, y, z), f 2 (x, y, z), f 3 (x, y, z)). Esta definição é facilmente generalizada a R 3 e Seja uma curva suave em R 3 contida em U e seja γ(t) (x(t), y(t), z(t)), com t [, t f ] uma sua parametrização. Então tf tf [ f 1 (x(t), y(t), z(t)) dx dt + f 2(x(t), y(t), z(t)) dy dt + f 3(x(t), y(t), z(t)) dz ] dt dt F (γ(t)) γ (t)dt. Propriedades dos integrais de linha: Seja a um número real qualquer. Sejam F e G duas funções vectoriais contínuas definidas num domínio U. Seja uma curva suave contida em U. Seja a mesma curva percorrida no sentido inverso. As propriedades dos integrais e a definição de integral de linha permitem-nos concluir que: P1: P2: P3: a a F dγ. (F + G) dγ F dγ. F dγ + G dγ. Seja agora uma curva suave por bocados ou caminho (uma curva que consiste num número finito k de curvas suaves i unidas pelos extremos). Facilmente se mostra que: k i1 i F dγ. 8

9 Exemplo 2.4 Seja a curva constituída pelas seguintes curvas: i. curva 1 é o segmento de recta que une (, ) a (1, ); ii. curva 2 é a porção de circunferência x 2 +y 2 1 percorrida no sentido directo unindo os pontos (1, ) e (, 1). Vejamos como se calcula Sabemos já que F dγ onde F (x, y) (y, x + 2y). F dγ F dγ. omeçamos por parametrizar 1 e 2. Seja 1 parametrizada por γ 1 (t) (t, ) com t [, 1] e 2 parametrizada por γ 2 (t) (cos(t), sin(t)) com t [, π/2]. Temos Ora π/2 Logo 1 2 ydx + (x + 2y)dy 1 ydx + (x + 2y)dy 2 ( sin 2 (t) + cos 2 (t) + 2 sin(t) cos(t))dt 1. 3 Independência de aminho 1 π/2 π/2 dt ( sin 2 (t) + cos 2 (t) + 2 sin(t) cos(t))dt sin 2 (t)dt + π/2 sin(t) cos(t) π/2 + t sin2 (t) 1 cos 2 (t)dt + π/2 t Seja F uma função vectorial de variável vectorial contínua num domínio D. quaisquer A, B U, A B. Se o integral F dγ π/2 2 sin(t) cos(t)dt onsideramos dois pontos tem o mesmo valor para qualquer caminho contido em U e que une A a B, então diz-se que esse integral é independente do caminho. De seguida vamos ver que F dγ é independente do caminho F é um campo de gradientes. 9

10 Nota Importante: Nesta secção, e para simplificar, restringimos o nosso estudo ao plano, ou seja, consideramos apenas integrais de linha no plano. Os resultados aqui apresentados são válidos também no espaço. Seja F uma função tal que F (x, y) f(x, y) para alguma função f 1. A função F diz-se um campo de gradientes. Observe que muitas funções vectoriais F : R 2 R 2 são campos de gradientes mas nem todas são campos de gradientes. Exemplo Vamos verificar que F (x, y) (y, x 2 + 2y) não é um campo de gradientes. Suponhamos que F é um campo de gradientes. Ou seja, suponhamos que existe uma função f tal que f(x, y) F (x, y). Então devemos ter f x y, f y x2 + 2y. Ora se f y x2 + 2y, então deveremos ter f(x, y) (x 2 + 2y) dy yx 2 + y 2 + k(x) para alguma função k, real de variável real. Observe que ao calcular um qualquer integral escrevemos uma primitiva mais uma constante. omo o integral (x 2 + 2y) dy é em ordem a y, essa constante poderá ser qualquer função de x. Derivando agora a expressão de f obtida, yx 2 + y 2 + k(x), em ordem a x deveremos obter f x que é y. Ora f x 2xy + k (x) y qualquer que seja a função k(x). Quer isto dizer que não existe uma função f tal que F (x, y) seja igual a f(x, y). Logo F não é um campo de gradientes. 2. Vejamos agora que F (x, y) (y, x + 2y) é um campo de gradientes. Suponhamos que existe uma função f tal que f(x, y) F (x, y). Então devemos ter f x y, f y x + 2y. Ora se f x + 2y, então deveremos ter f(x, y) (x + 2y) dy yx + y 2 + k(x) para alguma função y real de variável real K. Ora f x y + k (x) y k (x). Seja então K(x) a onde a é uma constante real qualquer. Então qualquer função da forma f(x, y) yx + y 2 + a é tal que F (x, y) f(x, y), ou seja, F é um campo de gradientes. Os campos de gradientes têm propriedades importantes como veremos no próximo Teorema. Teorema 3.2 Seja U um domínio de R 2. Seja F : U R 2 um campo de gradientes em U definido por uma função f de classe 1 (ou seja, F (x, y) f(x, y)). Seja um caminho contido em U com ponto inicial A e ponto final B. Então f(b) f(a). 1

11 Demonstração. Demonstramos o Teorema no caso da curva suave. Fica ao cargo do aluno fazer a demonstração no caso geral. Seja γ : [a, b] R 2 uma parametrização da curva com γ(t) (x(t), y(t)). Temos γ(a) A e γ(b) B. omo é uma curva suave, a função γ é de classe 1. omo F é um campo de gradientes temos F (x, y) ( ) f f (x, y), (x, y). x y Ora b a b a b a [ f (x(t), y(t))dx x f(γ(t)) γ (t) dt d f(γ(t)) dt dt f(γ(b)) f(γ(a)) f(b) f(a) dt + f y ] (x(t), y(t))dy dt dt É imediato concluir que se é uma curva suave fechada, ou seja, cujo ponto inicial é igual ao ponto final, então. Exercício 3.3 Seja a circunferência de equação (x 1) 2 + y alcule (y, x + 2y). Recorde que F é um campo de gradientes. F dγ onde F (x, y) Mais ainda, prova-se que: Teorema 3.4 Seja U um domínio de R 2. Seja F : U R 2 uma função contínua. Então o integral F dγ é independente do caminho se e só se F f para alguma função f de classe 1 definida em U. Exemplo 3.5 Vamos mostrar que sendo F (x, y) (2x, 4y), então o integral caminho em qualquer domínio U de R 2. F dγ é independente do Pelo Teorema anterior basta mostrar que F é um campo de gradientes. Seja f(x, y) x 2 + 2y 2. Então F (x, y) f(x, y). Logo o integral dado é independente do caminho. 11

12 Seja agora um qualquer caminho em R 2 unindo os pontos ( 1, 2) e (2, 4). Queremos calcular o integral de linha de F ao longo de. omo o integral é independente do caminho, consideramos a curva mais simples que une estes pontos, ou seja, o segmento de recta que une esses dois pontos. Seja então γ(t) (t, 2t) com t [ 1, 2]. Então 2 1 (2t + 16t)dt Teorema de Green O Teorema de Green relaciona integrais de linha no plano com integrais duplos, como veremos. Antes contudo de iniciarmos o estudo do Teorema de Green vamos introduzir mais algumas definições sobre caminhos. Já sabemos que um caminho é uma curva suave por bocados. Um caminho diz-se fechado quando o ponto inicial for igual ao ponto final. Agora precisamos de saber o que é um caminho simples. Um caminho diz-se simples se não se intersecta a si mesmo entre os pontos extremos (ver figura). No que se segue assumimos que um caminho fechado e simples está orientado positivamente, ou seja, o interior do caminho está sempre à esquerda (ver caminho simples e fechado na figura anterior). Seja agora F uma função de classe 1 num domínio U de R 2 tal que F (x, y) (f 1 (x, y), f 2 (x, y)). 12

13 Vamos agora calcular o integral de linha Note-se que é um caminho simples e fechado. F dγ onde é um rectângulo como se mostra na figura seguinte. O caminho é constituído por 4 curvas suaves, 1, 2, 3 e 4. onsideremos a curvas 1 e 2 parametrizadas respectivamente por γ 1 (x) (x, c) com x [a, b], onsideramos as curvas 3 e 4 parametrizadas por γ 3 (t) (x, d) com x [a, b], Atendendo a que F dγ temos i i Ora sabemos já que γ 2 (y) (b, y) com y [c, d]. γ 4 (t) (a, y) com y [c, d]. F dγ + 1 F dγ 2 F dγ 3 F dγ 4 b a d c f 1 (x, c)dx + Tal permite-nos escrever (1) na forma d c f 2 (b, y)dy (f 2 (b, y) f 2 (a, y)) dy f 2 (b, y) f 2 (a, y) f 1 (x, d) f 1 (x, c) d b c R a b a b a f 1 (x, d)dx d (f 1 (x, d) f 1 (x, c)) dx. b a d c f 2 x dx, f 1 y dy. b d f 2 dx dy x a c [ f2 x f ] 1 dxdy. y f 1 y c dy dx f 2 (a, y)dy (1) 13

14 Este é um caso particular do Teorema de Green que de seguida apresentamos. Teorema 4.1 (Teorema de Green.) Se é uma curva suave por bocados contida num domínio U, simples, fechada, orientada positivamente e limitando uma região R U e se F (x, y) (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) é uma função de classe 1 no domínio U, então [ f2 x f ] 1 dxdy. y A demonstração deste Teorema sai do âmbito desta disciplina. R Importa salientar que o Teorema de Green exige que o caminho e o interior do caminho, região designada por R, estejam ambos contidos no domínio U. Exemplo 4.2 Utilizando o Teorema de Green vamos agora calcular o integral de linha da função F (x, y) (3x y, 2x + 2y) ao longo da circunferência parametrizada por γ(t) (cos(t), sin(t)), com t [, 2π]. Seja R o círculo limitado por essa circunferência. Temos f 1 y 1, f 2 x 2. Logo 3 dxdy 3π. R Vamos agora verificar este resultado: 2π (3 cos(t) sin(t)) sin(t)dt + 2 2π 3π. 2π (sin 2 (t) + 2 cos 2 (t) sin(t) cos(t)) dt [ 1 2 cos(t) sin(t) t 1 2 sin2 (t) ] t2π Exercício 4.3 Usando o Teorema de Green calcule o integral de linha 1. F (x, y) (ye x, e x ) e é a circunferência (x 1) 2 + y F (x, y) (2y x 2, 5x e y2 ) e a circunferência x 2 + y F (x, y) (2x, 2y) e é o losango de vértices (, ), (1, 1), (2, ) e (1, 1). t (cos(t) + sin(t)) cos(t) dt F dγ quando onsideremos agora uma função F satisfazendo as condições do Teorema de Green. Suponhamos que adicionalmente esta função é tal que f 1 y f 2 x em todos os pontos do domínio U. Neste caso, o Teorema de Green garante que o integral de linha F dγ é. 14

15 Será que podemos concluir que F é um campo de gradientes? Do Teorema 3.4 deduz-se que F será um campo de gradientes se e só se o integral de linha F dγ é zero ao longo de qualquer caminho fechado contido em U. O que o Teorema de Green nos garante é que o integral é zero ao longo de qualquer caminho fechado cujo interior está contido em U. Se U é um domínio como o da figura seguinte, então podemos definir caminhos contidos em U cujo interior está contido em U e outros caminhos cujo interior NÃO está contido em U. O domínio U é simplesmente conexo se todo o caminho simples e fechado definido em U tem interior contido em U. 15

16 Teorema 4.4 Se F (x, y) (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) é uma função de classe 1 no domínio U e U é simplesmente conexo, então F é campo de gradientes f 1 y f 2 x em U. 16