Cálculo 3. Integrais de Linha Resumo e Exercícios P2

Transcrição

1 Cálculo 3 Integrais de Linha Resumo e Exercícios P2

2 Integrais de Linhas de Campos Vetoriais Calculo pelo produto escalar Dado um campo vetorial F e uma curva γ e sua orientação com parametrização γ t a < t < b calculamos a integral de linha de F sobre a curva γ a partir da fórmula: = F γ t γ 1 t dt Ao aplicar este método basta seguir a receita: Identificar o campo F e a curva γ Parametrizar a curva γ de acordo com a orientação dada obtendo γ(t) com a < t < b Calcular F γ t e γ 1 t Calcular a integral F γ t γ 1 t dt Muitas vezes a integral é dada na forma (P Q R) Pdx + Qdy + Rdz onde F = Campos Conservativos Dado um campo F = P Q R temos que: rot F = i j k x y z P Q R 1

3 D. S. C Dominio simplismente conexo "sem furos" rot F = e D. S. C F é conservativo rot F F não é conservativo rot F = e D. N. S. C F não é conservativo Propriedades de Campos Conservativos F = f onde f é a função potencial de F A integral de linha entre os pontos A e B de uma curva γ vale f B f(a) ou seja = f B f(a) A integral de linha sobre uma curva fechada vale ou seja = Z Teorema de Green = rot F k dxdy [ Integral de Linha Integral Dupla Neste caso γ é uma curva fechada e D é o interior de γ ou seja γ é a fronteira da região D Só se aplica quando (ambas) as seguintes condições são obedecidas: Quando γ estiver orientada positivamente Quando D pertencer ao domínio de F 2

4 O que é orientada positivamente? As curvas que compõe uma região precisam estar orientadas da seguinte forma: Fronteira exterior no sentido anti-horário Fronteira(s) interior(es) no sentido horário Integrais de Linhas de Campos Escalares Cálculo das Integrais Dado um campo escalar f e uma curva com parametrização γ t a < t < b calculamos a integral de linha de f sobre a curva γ a partir da fórmula: fds = f γ t γ 1 (t) dt Aplicações das Integrais de Campos Escalares Comprimento de fio Dado um fio delgado γ = γ t a t b o comprimento do fio é dado por: ds = γ 1 (t) dt Massa do fio Dado um fio delgado γ = γ t a t b com densidade f a massa do fio é dada por: fds = f γ t γ 1 (t) dt 3

5 Centro de Massa de um fio: Dado um fio delgado γ = γ t a t b com densidade f as coordenadas do centro de massa do fio ficam dadas por: Ø Coordenada x = Ø Coordenada y = Ø Coordenada z = a ]^_` b`` a c^_` b`` a d^_` b`` Exercícios 1. Integrais de Linha de Campos Vetoriais Produto Escalar Lista Questão 5 - a pontos 111 onde F = x e + y 7yz 2xz e e γ t = t t e t h ligando os 2. Integrais de Linha de Campos Vetoriais Produto Escalar Lista Questão 6 - b onde F = 2 x + y i + x y j e γ é a circunferência de raio 2 centrada na origem percorrida uma vez no sentido horário 3. Integrais de Linha de Campos Vetoriais Produto Escalar Lista Questão 8 c 4

6 ydx + xdy onde γ é a fronteira da região limitada por x = y = 1 e y = x e percorrida uma vez no sentido horário 4. Integrais de Linha de Campos Vetoriais Produto Escalar Lista Questão 8 c x e dx + xdy + zdz onde γ é intersecção das superfícies z = ]j e z = k 1 cj orientada de modo que sua projeção no plano Oxy seja percorrida uma l vez no sentido anti-horário 5. Campos Conservativos e suas Propriedades Lista Questão 23 Os campos F x y = x x e F x y = 2xe c + y i + x e e c + x 2y j conservativos? Se sim determine as funções potencias de cada campo. são 6. Campos Conservativos e suas Propriedades Lista Questão 23 onde F x y = 2xe c + y i + x e e c + x 2y j e γ é a elipse completa percorrida no sentido horário dada pela intersecção entre as superfícies z = 3x e + 2y e e z = x e + y e Campos Conservativos e suas Propriedades Lista Questão 23 e]c j ] j op percorrida de 1 p e dx + 2y ln 1 + x e dy onde γ é a elipse 4x e + y e = 1 5

7 8. Teorema de Green Lista Questão 1 - g xy + e ]j dx + x e ln 1 + y dy onde γ é o segmento de reta que liga π e o arco y = sin x orientada no sentido horário 9. Teorema de Green Construção do autor c w] ] j ocj dx + dy onde γ é uma circunferência qualquer centrada ] j oc j na origem. Em seguida calcule a mesma integral quando γ é uma curva qualquer que enlaça a origem. 1. Integrais de Linha de Campos Escalares Lista Questão 1 - c (x 2y e )ds onde γ é o arco de parábola y = x e que liga os pontos 11. Integrais de Linha de Campos Escalares Aplicações Lista Questão 2 - a a massa de um arame cujo formato é γ t = 2t t e t e onde < t < 1 e a densidade pontual é f x y z = x 6

8 Exercícios de Provas: 1. Questão 1 P2 215 a) e ] dx + xzdy + zydz onde γ é a intersecção das superfícies x e y e + z e = 1 e y + x = 2 percorrida de b) Seja F x y = y e 2xy c j op xe + 2xy ec (i) F é conservativo? Justifique (ii) a integral de linha de F sobre γ t = t h t e ]j 1 onde t 1 2. Questão 2 P2 215 sin x e y e dx + xy + y h dy onde γ é a curva x e 2x + y e 2y = 7 com x 1e percorrida no sentido anti-horário 3. Questão 3 P2 215 c Seja o campo F x y = + xy + sin y x e + x cos y ]wp j olc j ]wp j olc j e seja γ a fronteira da região limitada pelo gráfico das funções y = 8 + 2x x e e ]wp y = x e 4 percorrida no sentido horário. 7

9 Gabarito dos Exercícios π π 5. Apenas o segundo campo. f x y = x 2 y + xy y π 9. 2π ou 2π Gabarito das Provas 1. a) e b) sim; π π