Figura6.1: A regiãoàesquerdanão ésimples;adadireitaésimples..

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1 apítulo 6 TEOREMA E GREEN Nesta seção apresentaremos uma versão simplificada de um dos teoremas clássicos da Análise Vetorial, o teorema de Green. Utilizaremos alguns argumentos intuitivos aceitavéis, que formulados rigorosamente fogem dos objetivos destas notas. efinição 6.. Uma região fechada e limitada R é simples se = é uma curva fechada simples. Figura6.: A regiãoàesquerdanão ésimples;adadireitaésimples.. Notamos que, em geral, uma região simples pode ser bastante "complicada". A seguir daremos a idéia intuitiva (imprecisa) de como orientar a curva efinição 6.. A curva = está orientada positivamente se é percorrida no sentido anti-horário. ( ficaàesquerda, aose percorrer = ). 49

2 5 APÍTULO 6. TEOREMA E GREEN + Figura 6.: Regiões orientadas. Teorema 6.. (Green) Sejam A R um conjuntoaberto, uma região simples, = orientada positivamente, tal que A e F : A R um campo de vetores de classe, com funções coordenadas (F,F ). Se = tem uma parametrização de classe por partes e está orientada positivamente em relação a, então: [ F x F ] dxdy Nós provaremos no apêndice o teorema de Green, numa versão particular, para regiões chamadas elementares. orolário 6.. Nas hipóteses do teorema de Green, se F é um campo conservativo, então A prova segue diretamente do teorema de Green. orolário 6.3. Nashipóteses doteorema de Green, aárea da região édada por: ou ou A() = xdy ii)a() = y dx A() = xdy y dx Prova: Bastaconsiderarocampo F(x,y) = ( y,x)eaplicar oteoremadegreenparaobter: A() = xdy y dx.

3 5 Exemplo 6.. [] Utilizando o teorema de Green, calcule as seguintes integrais de linha:. y dx + xdy, onde éacurva formada pelasretas x =, y = eaparábola y = x, no sentido anti-horário.. y dx + x dy, onde é a curva formada pelas retas x =, y = e y x =, no sentido anti-horário.. F (x,y) = y e F (x,y) = x;logo: F x F = ( x ) ; então, y y dx + xdy = ( x y ) dxdy, onde é aregiãodetipoi: = {(x,y) R / x, y x } Figura 6.3: Exemplo[]. Logo: ( x y ) dxdy = y dx + xdy = 3. ( x ( x y )dy ) dx = ( x 3 x ) dx = 3.. F (x,y) = y e F (x,y) = x ;logo: F x F y dx + x dy = = x ; então, (x )dxdy, onde é aregiãodetipoi: = {(x,y) R / x, y x }.

4 5 APÍTULO 6. TEOREMA E GREEN Logo, y dx + x dy = [] alcule (x )dxdy = Figura 6.4: Exemplo[]. ( x (x )dy ) dx = (x x )dx = 5 3. e x sen(y)dx + (e x cos(y) + x)dy,onde éocírculoderaio centradonaorigem, no primeiro e segundo quadrantes. Figura 6.5: Exemplo[] OteoremadeGreennãopodeseraplicado,poisacurvanãoéfronteiradeumaregiãofechada. ParapoderaplicaroteoremadeGreen,consideramosaseguintecurva β =,diferenciável por partes, orientada no sentido anti-hórario, como no seguinte desenho: Figura 6.6:

5 53 A região étal que = β. Aplicamos o teoremadegreen considerandoacurva β. Sejam F (x,y) = e x sen(y)ef (x,y) = e x cos(y) + x;logo, F x F = ;então: β e x sen(y)dx + (e x cos(y) + x)dy = dxdy = A(), onde A() = π é aáreadosemi-círculo deraio. Por outrolado: logo, β F + F; π F. Só falta calcular e x sen(y)dx + (e x cos(y) + x)dy, onde é o segmento de reta entre os pontos (,) e (,). Umaparametrização de é: Então: [3] alcule { x(t) = t y(t) =, t [,], e x sen(y)dx + (e x cos(y) + x)dy = e x sen(y)dx + (e x cos(y) + x)dy = π. dx = dt dy = dt. (t + e t )dt =. (y e x y + xy cos(x y))dx + (xe x y + x cos(x y))dy, onde é a curva formada pelosarcos dasseguintescurvas y = x 3 x e y = x x 3, x Figura 6.7: Exemplo[3].

6 54 APÍTULO 6. TEOREMA E GREEN é uma curva fechada e F(x,y) = (y e x y + xy cos(x y),xe x y + x cos(x y)) é um campo conservativo,com potencial f(x,y) = e x y + sen(x y) + c;logo: (y e x y + xy cos(x y))dx + (xe x y + x cos(x y))dy =. [4] etermineaáreadaregião limitada pelascurvas 4x + y = 4e x 9 + y 4 =. Pela simetria da região, calculamos a área da região no primeiro quadrante e multiplicamos o resultado por Figura 6.8: A nova região é uma região fechada simples tal que = 3, onde é o arco da elipse 4x + y = 4, é o segmento de reta que liga os pontos (,) e (3,) e 3 é o arco da elipse x 9 + y 4 =. 3 Figura 6.9: Parametrizações: A() = xdy = xdy + xdy + xdy. 3 i) 4x + y = 4éparametrizada por (t) = (cos(t),sen(t)), t [, π ]. ii) O segmento de reta que liga os pontos (,) e (3,) é parametrizado por (t) = (t,), t [,3].

7 6.. EXTENSÃO O TEOREMA E GREEN 55 iii) x 9 + y 4 = éparametrizada por 3 (t) = (3cos( π t),sen ( π t) ), t [, π i) xdy = ii) xdy =. iii) xdy = 3 π xdy = cos (t)dt = π Logo,aárea totalé4π u.a. 6sen (t)dt = π π (cos(t) + )dt = π (3 3cos(t))dt = 3π. ]. Então: 6. Extensão do Teorema de Green O teoremade Green ainda é válido para regiõesmais gerais de que as estudadasno parágrafo anterior. Teorema 6.4. Seja uma região no plano tal que =... n. ada curva da fronteira de éorientada deformaque tenhaorientaçãopositiva. Sejam U R umconjuntoaberto tal que U e F : U R um campo de vetores de classe, com funções coordenadas (F,F ). Então: n [ F x F ] dxdy. i= + i A seguinteregiãoétal que + = Figura 6.: Por exemplo consideremos a seguinte região :

8 56 APÍTULO 6. TEOREMA E GREEN Figura 6.: + = +. Subdividamos aregião em 4subregiões = 3 4 : 4 3 Figura 6.: i) Seja tal que + = + L+ 4 L+ ; onde i é o arco da curva i, ( i ) na região. ii) Seja tal que + = + L+ L ; onde i é o arco da curva i, ( i ) na região. iii) Seja 3 tal que + 3 = + 3 L 3 L+ 3 ; onde i é o arco da curva i, ( i ) na região 3. iv) Seja 4 tal que + 4 = + 4 L 3 4 L 4 ; onde i é o arco da curva i, ( i ) na região 4.

9 6.. EXTENSÃO O TEOREMA E GREEN L 4 L 3 L L Figura 6.3: i) Aplicando oteoremadegreenem : [ F x F ] dxdy = + ii) Aplicando o teoremadegreen em : [ F x F ] dxdy = + iii) Aplicando oteoremadegreenem 3 : 3 [ F x F ] dxdy = + 3 iv) Aplicando oteoremadegreen em 4 : 4 Então,dei), ii), iii) eiv): [ F x F ] dxdy = i= i F + L + 4 F + L + F + L F + L 3 [ F x F ] dxdy = + F + F + L + F + F + L F + F + 3 L + 3 F + F + 4 L 4 F + F. F. F. F. F. Exemplo 6.. [] Seja a região limitada pela curva x + y = 9 externa ao retângulo de vértices (, ), (, ), (, ) e (, ), orientada positivamente. alcule (x y 3 )dx xy dy. +

10 58 APÍTULO 6. TEOREMA E GREEN Figura 6.4: Exemplo[]. + = + ; então: (x y 3 )dx xy dy = + + (x y 3 )dx xy dy (x y 3 )dx xy dy. + i) Seja a região limitada pela curva x + y = 9; + = +. Seja F (x,y) = x y 3 e F (x,y) = xy. Aplicando o teorema de Green a, utilizando a parametrização usual do círculo: (x y 3 )dx xy dy = (3y y)dxdy + = π ( 3 (3r sen (t) r sen(t))r dr ) dt = 43π 4. ii) Seja a região limitada pelo retângulo; + = +. Seja F (x,y) = x y 3 e F (x,y) = xy. AplicandooteoremadeGreena : + (x y 3 )dx xy dy = (3y y)dxdy = ( (3y y)dx ) dy =. e i) eii): (x y 3 )dx xy dy = 43π + 4. [] alcule anti-hórario. F,onde F(x,y) = ( y x x + y, x + y + x) e éacurva x 4 + y 9 = nosentido Não podemos aplicar o teorema de Green, pois F não é definido na origem. Seja a região limitada pelacurva x 4 + y 9 =, externaao círculo deraio, centradona origem:

11 6.. ARATERIZAÇÃO OS AMPOS ONSERVATIVOS NO PLANO = +. Sejam F (x,y) = teorema anterior: + F + Figura 6.5: Exemplo[]. y x + y e F (x,y) = x x + x; então, aplicando o + y [ F x F ] dxdy = dxdy = A() = π. Logo: + π π + + F. Usando a parametrização usual do círculo: então: + + π ( + 4)π = 4π. (sen (t) + 3cos (t))dt = π ( + cos (t))dt = 4π; 6. aracterização dos ampos onservativos no Plano efinição 6.3. Seja A R umconjuntoaberto.. A édito umdomíniopoligonal separa todo x, y A existe umapoligonal ligando x e y em A.. A é dito simplesmente conexo se, para toda curva fechada A, a região limitada por está contida em A. Intuitivamente, A é simplesmente conexo quando não tem "buracos". A seguinte região tal que =, não ésimplesmenteconexa.

12 6 APÍTULO 6. TEOREMA E GREEN Figura 6.6:. Teorema6.5. Seja F umcampodevetores declasse,definidonumdomíniopoligonal, simplesmente conexo, aberto A. São equivalentes as seguintes afirmações:.,onde A éumacurvafechada de classe por partes, arbitrária.. A integral de linha de F do ponto P até o ponto P, denotada por: curvas de classe por partes queligam P e P. P P F, é independente das 3. F é conservativo. 4. F x (x,y) = F (x,y),para todo (x,y) A. Prova: () (). Sejam e duascurvas ligando P e P em A. U P P Seja talque + = + ;então: = logo, + + Figura 6.7: F + + F, quaisquerquesejamascurvas e ligando P e P em A. () (3). Sejam (x,y ) e (x,y) A. efinamosafunção f em A, doseguintemodo: F;

13 6.. ARATERIZAÇÃO OS AMPOS ONSERVATIVOS NO PLANO 6 onsideremosocaminho poligonalligando (x,y )e(x,y): ( x, y) ( x, y ) Figura 6.8: Parametrizando estos caminhos: (t) = (x,t), y t y e (t) = (t,y ), x t x; definamos f por: f(x,y) = x x F (t,y)dt + y y F (x,t)dt. Estafunção é bemdefinida,poisindependedacurva queliga ospontos (x,y ) e (x,y) A. E segue diretamente da definição que: f x (x,y) = F (x,y) e f (x,y) = F (x,y). (3) (4). omo f(x,y) = F(x,y), segueque: para todo (x,y) A. F x (x,y) = F (x,y), (4) (). Seguedo teoremade Green. e fato, podemosaplicar o teoremade Green pois se A é simplesmente conexo, a região limitada por qualquer curva fechada está contida em A. Exemplo 6.3. [] alcule F, onde F(x,y) = ( y x ) x + y, se: x + y i) équalquer curvafechada simples,bordodeumaregiãoquenão contemaorigem. ii) é qualquer curva fechada simples, bordo de uma região que contem a origem. i) Seja + comono desenho:

14 6 APÍTULO 6. TEOREMA E GREEN Figura 6.9: F éum campo conservativo em talque =. PeloTeoremadeGreen. + ii) Seja umaregiãoquecontemaorigemtalque = e umcírculo aoredordaorigem (de raio suficientemente pequeno), como no desenho: Figura 6.: enotemospor aregião obtidade talque = +. Pelo TeoremadeGreen: +. enotemospor aregião obtidade talque = + ;calculando diretamente, + + π.,omo =,temos: [] alcule π. F, onde F(x,y) = (3x y + y,x 3 + 4xy + ) e a curva é parametrizada por (t) = (cos 3 (t),sen 3 (t)), t [, π ].

15 6.. ARATERIZAÇÃO OS AMPOS ONSERVATIVOS NO PLANO 63 Figura 6.: Noteque F x = F = 3x + 4y. Logo, F éconservativo com potencial: f(x,y) = (3x y + y )dx + dy = x 3 y + y x + y; então,aintegraldependeapenasdospontosinicial efinaldacurva: () = (,) e ( π) = (,) f(,) f(,) = =. [3] Seja (F,F ) um campo de vetores tal que F x = F. onsidere a região dada pelo seguintedesenho,demodoque F nãosejadefinidonas regiões A e B. A B 3 Figura 6.: Se e 5, calcule F. 3 Separemos a região delimitada pelas curvas do seguinte modo:

16 64 APÍTULO 6. TEOREMA E GREEN A B 3 3 i) Seja tal que + = + 3, então Figura 6.3: F + F. Aplicando o teorema de Green: ( F + x F ) dxdy =, logo ii) Seja tal que + = + 3, então F F. Aplicando o teorema de Green: + iii) omo 3 + = + 3 3, temos: ( F x F ) dxdy =, logo F 5 =

17 6.3. EXERÍIOS Exercícios. alcule anti-horário: 4y dx + 7xdy,onde éotriângulodevértices (,), (4,) e (,), nosentido (a) diretamante. (b) utilizando o teorema de Green.. alcule as seguintes integrais utilizando o teorema de Green: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) e y x dx + (ey ln(x) + x)dy,onde éafronteiradaregiãolimitada por x = y 4 + e x =. (cos(x) 5y)dx + (4x y )dy, onde é a fronteiradaregião limitada por y + x 9 = ey 5 =. (x y)dx x dy, onde éafronteiradaregião [,] [,]. (e x 3y)dx + (e y + 6x)dy,onde éaelipse x + 4y = 4. (x + y)dx + (y x)dy, onde é ocírculo x + y ax =. (x + y)dx + (y + x )dy,onde éafronteiradaregiãolimitada por x + y = e x + y = 4. arctg(x)dx + 3xdy, onde é a fronteira da região limitada pelo retângulo de vértices (,), (,3), (,) e (3,). xy dx + (y + x)dy,onde éafronteiradaregiãolimitada por x + y =. (y + ln( x + x ))dx + (x + tg(y 3 ))dy, onde é o quadrado de vértices (,), (,), (,) e (,). 3. Utilizando os corolários do teorema de Green, calcule a área da região limitada pelas seguintes curvas: (a) y = x e y = x

18 66 APÍTULO 6. TEOREMA E GREEN (b) y = 4x e y = 6x (c) x a + y =, (a, b > ) b (d) y = x 3 e y = x 4. Seja R uma região nas hipótesesdo teorema de Green. Utilizando o teorema, verifiquequeas coordenadasdocentróidede são dadaspor: onde A = A(). x = A x dy y = A y dx, (a) Ache ocentróidedotriângulo devértices (,), (,) e (,). (b) Ache ocentróidedaregião definidapor x + y talque y. 5. alcule xdy y dx x + y,nosseguintescasos: (a) A origem das coordenadas está fora da curva fechada. (b) A curva fechada encerra a origem das coordenadas. 6. Seja I = x 3 dy y 3 dx, onde é formada pelos lados do triângulo de vértices (,), (4, 3) e (, ( 3) e seja J = x + y ) dxdy, onde R é a região limitada por. Verifiqueque I = 3J. 7. alcule mdemodoque: R xr m y dx x r m y dy com x + y = r, independada curva, fronteira de uma região simplesmente conexa. Escolhaumacurva nas condiçõesdoproblema ecalcule aintegralao longode. 8. Verifique que y dx + (xy 3)dy =, sendo a elipse x + 4y = 4. alcule a integral ao longo do arco dessa elipse, situado no primeiro quadrante.

19 6.3. EXERÍIOS 67 ( 9. alcule x y cos(x) xy sen(x) y e x) dx + ( x sen(x) y e x) dy, onde é a hipociclóide 3 x + 3 y = 3 a.. Ache a área da região limitada pela hipociclóide do item anterior, utilizando o teorema de Green.. Seja uma curva simples e fechada que limita uma região de área A. Verifique que se a, a, a 3, b, b, b 3 R,então: (a x + a y + a 3 )dx + (b x + b y + b 3 )dy = (b a )A.. Sobquecondições,no itemanterior, aintegralao longode ézero?

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