Total. UFRGS - INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT Turma A /1 Prova da área I

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1 UFRG - INTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT Turma A /1 Prova da área I Total Nome: Cartão: Regras Gerais: Não é permitido o uso de calculadoras, telefones ou qualquer outro recurso computacional ou de comunicação. Trabalhe individualmente e sem uso de material de consulta além do fornecido. Devolva o caderno de questões preenchido ao final da prova. Regras para as questões abertas eja sucinto, completo e claro. Justifique todo procedimento usado. Indique identidades matemáticas usadas, em especial, itens da tabela. Use notação matemática consistente. Tabela do operador : f = f(x,y,z e g = g(x,y,z são funções escalares; F = F(x,y,z e G = G(x,y,z são funções vetoriais. 1. (f +g = f + g 2. ( F + G = F + G 3. ( F + G = F + G 4. (fg = f g +g f 5. (f F ( = f F ( +f F 6. (ff = f F +f F 7. f = 2 f = 2 f x f y f z 2, onde 2 = 2 x y é o operador laplaciano z2 8. ( f = 0 9. ( F = 0 ( 10. F = ( F 2 F ( ( 11. ( F G = G F F G ( ( ( F G = G F G F ( ( F G+ F G ( F G ( ( = G F + F G+ + F ( G + G ( F Curvatura, torção e aceleração: Nome Definição d Curvatura κ = T = dt = r (t r (t r (t 3 Torção Módulo da Torção normal tangencial Equações de Frenet-erret: d T d N d B = κ N τ = d B N = ( r (t r (t r (t r (t r (t 2 τ = d B a N = a v v = κ T +τ B = τ N a T = a v v = d B = v2 ρ = κv2 = dv

2 Questão 1 (1.0 ponto Considere as curvas C 1, C 2, C 3 e C 4, com curvaturas κ 1, κ 2, κ 3 e κ 4, respectivamente. A curva C 3 é dada pela equação y = x e as curvas C 2 e C 4 são simétricas com respeito a curva C 3. Na primeira coluna, marque o item que apresenta todas as curvas com curvatura constante e, na segunda, a magnitude das curvaturas nos pontos de encontro entre as curvas C 2, C 3 e C 4. Curvas com curvatura constante ( omente C 3. (X omente C 3 e C 1. ( omente C 3 e C 2. ( omente C 1 e C 4. ( omente C 1 e C 2. ( omente C 2 e C 4. Curvaturas nos pontos de encontro de C 2, C 3 e C 4 ( κ 2 > κ 3 > κ 4. ( κ 2 < κ 3 < κ 4. ( κ 3 < κ 2 < κ 4. (X κ 2 = κ 4 > κ 3. ( κ 2 = κ 4 < κ 3. ( κ 2 < κ 4 = κ C 1 C 2 C C 4 Questão 2 (1.0 ponto Considere três pontos sobre a curva ao lado, nomeados de P 1, P 2 e P 3, dispostos respectivamente no sentido positivo da curva, e em cada ponto o esboço do triedro de Frenet-erret. Considere um partícula se deslocando sobre a curva no sentido positivo com velocidade escalar constante de 2 m/s. Marque na primeira coluna o correto item sobre a aceleração da partícula e, na segunda, a correta afirmação sobre o sinal da torção em cada pedaço da curva. ( A aceleração é o vetor nulo. ( A componente normal da aceleração é nula. (X A componente tangencial da aceleração é nula. ( A norma do vetor aceleração é zero em todos os pontos. ( A norma do vetor aceleração tem derivada zero em todos os pontos. Torção (X A torção é sempre positiva. ( A torção é sempre negativa. ( A torção é positiva entre P 1 e P 2 e negativa entre P 2 e P 3. ( A torção é negativa entre P 1 e P 2 e positiva entre P 2 e P 3. ( A torção é zero nos pontos P 1, P 2 e P 3. Questão 3 (1.0 ponto Considere os campos dados por F = x i + xe y j + xyz k, G = F e a esfera unitária centrada na origem orientada para dentro. Marque na primeira coluna o campo G e, na segunda, o valor de G nd. (X xz i yz j +e y k (X 0 ( yz i xz j +e y k ( 1 ( xz i+yz j e y k ( 1 ( e y i z j +z k ( 2 ( e y i+xz j yz k ( 2

3 Questão 4 (1.0 ponto Considere a superfície aberta dada na figura ao lado, limitada pelo curva C. A superfície é dada por uma função z = f(x,y, tem simetria axial em relação ao eixo z e o domínio de f é [ 1,1] [ 1,1]. A superfície está orientada no sentido de k e a curva C está positivamente orientada com respeito a. Considere o campo F = y 2 k e as seguintes integrais: ˆ A = F d r C e B = F nd. Marque na primeira coluna o correto sinal de A e, na segunda, o correto sinal de B. inal de A ( A > 0. (X A = 0. ( A < 0. ( Embora A 0, não é possível saber seu sinal. ( Não há informações suficientes para estimar A. inal de B ( B > 0. ( B = 0. (X B < 0. ( Embora B 0, não é possível saber seu sinal. ( Não há informações suficientes para estimar B. Questão 5 (1.0 ponto Dadoˆo campo conservativo F = (2x + yz i + (2y +xz j + (2z + xy k, marque na primeira coluna o pontecial φ(x,y,z e, na segunda, o valor F d r, onde C é a curva r = cos(2πt i +sen(2πt j +t 2 k, 0 t 1. C (X xyz +x 2 +y 2 +z 2. ( 0. ( x 2 +y 2 +z 2. (X 1. ( xyz. ( 2. ( xyz +xy +yz +zx. ( 3. ( xy +yz +zx. ( 4. Questão 6 (1.0 ponto Considere o campo vetorial F = j + z k e a superfície formada pelas seis faces do cubo de lado 4 (x = ±2, y = ±2 e z = ±2, orientada para fora. Chamamos de 1 apenas a face x = 2 do cubo, orientado no sentido de i. Na primeira coluna marque o item que corresponde F nd e, na segunda, F nd. 1 (X 0 ( 4 ( 2 ( 16 ( 4 ( 32 ( 6 ( 48 ( 8 (X 64

4 Questão 7 (2.0 ponto Calcule o ponto onde a curva y = e x tem curvatura máxima. olução: Começamos calculando a função curvatura, usando a parametrização r(t = t i+e t j: r (t = i+e t j, r (t = 1+e 2t, r (t = e t j, r (t r i j k (t = 1 e t 0 0 e t 0 = et k, r (t r (t = e t, κ(t = e t (1+e 2t 3/2. Agora, vamos calcular o ponto de máximo de κ(t, procurando t tal que κ (t = 0. κ(t = (1 +e2t 3/2 e t e t 3 2 (1+e2t 1/2 2e 2t (1+e 2t 3 = (1 +e2t 1/2 (1 +e 2t 3 ( 1 2e 2t e t = 0 Assim, levando a Portanto, 1 2e 2t = 0, e 2t = 1 2. t = 1 2 ln ( 1 2.

5 Questão 8 (2.0 ponto Considere a superfície aberta dada na figura ao lado, orientada no sentido côncavo-convexo. eja C a curvano plano z = 0que limita. Aequação da superfície é dada por z 2 +z 3 +e 10z = 2 x 2 y 2. Considere o campo F = y i+x j +z k. Calcule F nd. Dica: Use o teorema de tokes. olução: Pelo teorema de tokes, temos: Aqui, C é o corte da superfície com o plano z = 0, isto é, F nd = F d r = F nd, C D e 0 = 2 x 2 y 2. Logo, C é a circunferência x 2 +y 2 = 1. Também, D é o disco no plano z = 0, com limites satisfazendo x 2 +y 2 1. Vamos usar a última expressão do lado direito para calcular o fluxo através da superfície: F nd. D Assim, calculamos o ratocional do campo: Finalmente, temos D F = i j k x y z = 2 k. y x z F nd = 2 k kda = 2 1dA = 2π. D D