Primeira avaliação - MAT MATEMÁTICA APLICADA II - Turma A

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1 Primeira avaliação - MAT MATEMÁTICA APLICADA II - Turma A Nome: Cartao: Regras a observar: eja sucinto porém completo. Justifique todo procedimento usado. Use notação matemática consistente. Ao usar sistemas de coordenadas curvilíneas (cilíndricas, esféricas etc, indique a correspondência para o sistema de coordenadas cartesianas (x,y,z. Trabalhe individualmente a sem uso de material de consulta além do fornecido. Devolva o caderno de questões preenchido ao final da prova. Não é permitido destacar folhas nem usar folhas adicionais. Não é permitido o uso de calculadoras. Formulário: 1. cosh(x ex +e x. sinh(x ex e x 3. cos(t eit +e it 4. sin(t eit e it i 5. cos(t cos (t sin (t 6. sin(t sin(t cos(t 7. (a + b n n ( j j k a n j b j, ( j k n! (n j!j! 1

2 Questão 1 (.5 Um partícula carregada entra em um ambiente onde há um campo magnético constante e sob a ação desta força passa a descrever a seguinte trajetória: r(t a cos wt i + a sin wt j + cwt k, t onde a e c são constantes positivas e w é a velocidade angular da partícula (uma constante positiva. a (1.5 Calcule a velocidade ( v, a aceleração ( a e suas componentes normal e tangencial. b (1. Use o resultado anterior para obter os vetores unitários T e N. olução item a v(t d dt r(t aw sin(wt i + aw cos(wt j + cw k a(t d dt v(t aw cos(wt i aw sin(wt j a T a v v a w 3 sin(wt cos(wt a w 3 cos(wt sin(wt v Como a T, temos que a a N N e do fato que an, sabemos que olução item b Como a a N N, temos Da definição de T, temos: a N a ( a w 4 cos (wt + a w 4 sin (t 1/ aw N a aw cos(wt i aw sin(wt j a N aw cos(wt i sin(wt j T v v aw sin(wt i + aw cos(wt j + cw k a w + c w a sin(wt i + a cos(wt j + c k a + c

3 Questão (. Um corpo de massa m se move sob a ação exclusiva de uma força central F f(rˆr, onde r r e f(r é uma função diferenciável associada a um potencial central V (r. a (1. Mostre que o momento angular L do corpo dado por é preservado. b (1. Calcule o potencial V (r quando F e λrˆr L m( r v olução item a A fim de mostrar que o momento angular é preservado, mostraremos que a derivada d L dt : dl m d ( dt dt ( r v m r d v dt + d r dt v m r a + v v r F }{{} olução item b Como V (r r (f(r r f(r( r r dv (r dr ˆr e λrˆr, temos V (r dv (r dr e λr, o que implica e λr dr 1 λ e λr + C 3

4 Questão 3 (.5 Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças F xz i + x 3 j + xyz k ao deslocar uma partícula ao longo da circunferência de raio 1 centrada no ponto (,, sobre o plano z orientada no sentido horário. Qual seria o valor do trabalho de o deslocamento acontecesse no sentido contrário? olução Usando o Teorema de tokes, temos: W onde usamos o sistema de coordenadas cilíndricas: C F dr ( F Nd 1 π x ρ cos φ y ρ sin φ. ( F ( kρdφdρ Agora, precisamos calcular F k: F k i j k x y z xz x 3 xyz k 3x 3ρ cos φ E finalmente, temos: W 3 1 π ( ( ( 1 3ρ 3 cos φdφdρ 3 π ( π ρ 3 dρ cos φdφ (1 + cos(φ dφ 3 8 (π 3π 4 Onde foi usada a seguinte identidade trigonométrica: ( e cos iφ + e iφ φ eiφ + + e iφ cos(φ e o deslocamento acontecesse no sentido contrário, o trabalho seria 3π 4. 4

5 Questão 4 (3. Considere o campo vetorial dado por F (1 + z k e a superfície limitada superiormente pela esfera centrada na origem de raio 1 e inferiormente pelo plano z. a (1.5 Calcule o fluxo de F através da superfície orientada para fora através de um parametrização direta da superfície, isto é, usando a definição de fluxo e sem usar o Teorema da Divergência. b (1.5 Calcule o fluxo de F através da superfície orientada para fora através do teorema da divergência. olução item a Fluxo através do hemisfério: G(x, y, z z 1 x y G(x, x y y, z i + j + k 1 x y 1 x y Usamos coordenada cilíndricas com Φ 1 1 π 1 π π F Nds ( x ρ cos(φ y ρ sin(φ. F G(x, y, z 1 + z A F GdA ( x y ρdφdρ ( ρ ρdφdρ π 3 π 1 1 π (ρ ρ 3 dρ (1 + z ρdφdρ Fluxo através da base: Portanto Φ Φ 1 + Φ π. olução do item b Usamos coordenada esféricas com Φ F Nds 1 π 1 π ρdφdρ π x r sin(θ cos(φ y r sin(θ sin(φ z r cos(θ (1 + z ρdφdρ Pelo teorema da divergência, temos: Φ 1 π π/ 1 π π/ 1 π π/ (π(1/4 F z r cos(θ π/ zr sin θdθdφdr r cos θr sin θdθdφdr r 3 sin θ cos θdθdφdr sin θ cos θdθ π/ 1 π sin(θdθ π ( cos(θ π/ π/ 5