Teorema da Divergência

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1 Instituto Superior Técnico epartamento de atemática Secção de Álgebra e Análise Prof. Gabriel Pires Teorema da ivergência Nestas notas apresentaremos o teorema da divergência em R 3 (Teorema de Gauss devido ao interesse das suas aplicações. O caso geral pode ser visto em [2]. Fluo de um Campo Vectorial. Eemplos Seja R 3 uma variedade-2 (superfície, definida por uma vizinhança de coordenadas e seja g : T R 3 uma parametrização. Seja F : S R 3 um campo vectorial em que S R 3 é um aberto tal que S. Ao integral F ν = F(g(t ν(g(t detg(t t g(tdt T em que ν( designa a normal (unitária a no ponto, chamamos fluo do campo vectorial F através de segundo a normal ν. Nota. Sejam A = (a, a 2, a 3 e = (b, b 2, b 3 dois vectores em R 3 e consideremos o produto eterno de A por definido por A = (a 2 b 3 a 3 b 2, a 3 b a b 3, a b 2 a 2 b Facilmente se verificam as seguintes propriedades esignando por e, e 2, e 3 os vectores da base canónica de R 3 (ver figura, temos A = A A é ortogonal a A e a. e e 2 = e 3 ; e 2 e 3 = e ; e 3 e = e 2 A = det t em que é a matriz cujas colunas são os vectores A e. z e 3 A e e 2 Figura : Produto eterno em R 3 A

2 Portanto, se designarmos por g(t e 2 g(t, respectivamente, a primeira e a segunda colunas da matriz g(t, então o produto eterno g(t 2 g(t é um vector normal a no ponto = g(t porque as colunas da matriz g(t geram o espaço tangente a no ponto = g(t. Assim, temos Uma normal unitária em = g(t é dada por detg(t t g(t = g(t 2 g(t e, portanto, ou seja, o fluo de F é dado por F ν = ν(g(t = g(t 2 g(t g(t 2 g(t ν(g(t det g(t t g(t = g(t 2 g(t T F(g(t g(t 2 g(tdt Eemplo. Consideremos o campo vectorial F : R 3 R 3 definido por Seja S 2 a superfície esférica F(,, z = (,, z S 2 = {(,, z R 3 : z 2 = } cuja normal ν no ponto (,, tem segunda componente positiva, tal como se representa na figura 2. z S 2 (,, z ν(,, z (,, ν(,, Figura 2: Superfície esférica S 2 Para calcular o fluo de F através de S 2 segundo a normal ν seja T = {(θ, φ : < θ < 2π ; < φ < π} 2

3 e g : T R 3 a parametrização de S 2 \ N dada por em que N = {(,, z : }. Então, e, portanto, g(θ, φ = (sen φcosθ, senφsen θ, cosφ g(θ, φ = ( sen φsen θ, senφcos θ, 2 g(θ, φ = (cos φcosθ, cosφsen θ, senφ g(θ, φ 2 g(θ, φ = ( sen 2 φcosθ, sen 2 φsen θ, sen φcosφ No ponto (,, = g( π 2, π 2 temos g( π 2, π 2 2g( π 2, π = (,, 2 ou seja, a normal a considerar é dada por 2 g(θ, φ g(θ, φ. Assim, o fluo de F através de S 2 segundo a normal ν é dado por 2π ( π F(g(θ, φ ( g(θ, φ 2 g(θ, φdφ dθ S 2 F ν = = 2π = 4π ( π sen φdφ dθ Podemos calcular o fluo de F de outra forma. Sendo S 2 dada pela equação G(,, z = z 2 = então, em cada ponto (,, z S 2, a normal unitária é dada por ν(,, z = G(,, z (2, 2, 2z = G(,, z 2 = (,, z z2 e, portanto, ou seja, F(,, z ν(,, z = z 2 = F ν = vol 2 (S 2 = 4π S 2 Eemplo.2 Seja F(,, z = (,, z e consideremos a superfície cilíndrica definida pela equação = e tal que < z < 2. Seja ν a normal unitária a que no ponto (,, tem segunda componente positiva tal como se representa na figura 3. a equação =, obtemos a normal (2, 2, ν(,, z = 2 = (,,

4 z 2 (,, ν Figura 3: Superfície cilíndrica e, portanto, F(,, z ν(,, z = = Assim, o fluo de F através de segundo a normal ν é dado por F ν = vol 2 ( = 4π Eemplo.3 Consideremos o campo vectorial e o cone F(,, z = (,, = {(,, z R 3 : z 2 = ; < z < } Seja ν a normal unitária que em cada ponto de tem terceira componente negativa tal como se representa na figura 4. Em coordenadas cilíndricas (ρ, θ, z o cone é dado pela equação z = ρ. Então, consideremos a função g : T R 3 definida por em que g(ρ, θ = (ρ cosθ, ρ sen θ, ρ T =], [ ], 2π[ Facilmente se verifica que g é uma parametrização de \ N em que é uma linha sobre. Então N = {(,, z : = ; } g(ρ, θ = (cos θ, senθ, 2 g(ρ, θ = ( ρ sen θ, ρ cosθ, e, portanto, 2 g(ρ, θ g(ρ, θ = (ρ cosθ, ρ senθ, ρ 4

5 z (,, z ν Figura 4: O cone e o fluo de F através de segundo a normal ν é dada por F ν = \N F ν = = = ( 2π ( 2π F(g(ρ, θ 2 g(ρ, θ g(ρ, θdθ dρ ( ρ senθ, ρ cosθ, (ρ cosθ, ρ sen θ, ρdθ dρ Note-se que, da equação G(,, z = z 2 = que define, podemos calcular a normal unitária G(,, z ν(,, z = G(,, z = (2, 2, 2z z 2 Então F(,, z ν(,, z = (,, (2, 2, 2z z 2 = e, portanto, o fluo de F através de segundo a normal ν é nulo. Eemplo.4 Seja F(,, z = (,, e consideremos a superfície definida por = {(,, z R 3 : z = 2 + 2, z < Seja ν a normal a que no ponto (,, tem terceira componente negativa tal como se representa na figura 5. Em coordenadas cilíndricas (ρ, θ, z, a superfície é dada pela equação z = ρ 2. Então, seja g :], [ ], 2π[ R 3 dada por g(ρ, θ = (ρ cosθ, ρ sen θ, ρ 2 Facilmente se verifica que g é uma parametrização de \ N em que N = {(,, z : = ; } 5

6 z (,, z ν ν(,, Figura 5: Parabolóide é uma linha sobre e Assim, g(ρ, θ = (cos θ, senθ, 2ρ 2 g(ρ, θ = ( ρ sen θ, ρ cosθ, 2 g(ρ, θ g(ρ, θ = (2ρ 2 cosθ, 2ρ 2 sen θ, ρ Portanto, o fluo de F através de segundo a normal ν é dado por 2π ( F ν = F(g(ρ, θ 2 g(ρ, θ g(ρ, θdρ dθ = = 2π 2π = π ( ( ρ senθ, ρ cosθ, (2ρ 2 cosθ, 2ρ 2 senθ, ρdρ dθ ( ρ dρ dθ Eemplo.5 Seja S a superfície esférica centrada na origem de R 3 e com raio R. Consideremos o campo vectorial F : R 3 \ {(,, } R 3 definido por F(,, z = (,, z ( z 2 3/2 Em coordenadas esféricas S é descrita pela equação r = R e, portanto, consideremos a parametrização g :], 2π[ ], π[ R 3 definida por Então g(θ, φ = (R senφcos θ, R sen φsen θ, R cosφ g(θ, φ = ( R sen φsen θ, R sen φcosθ, 2 g(θ, φ = (R cosφcosθ, R cosφsen θ, R senφ g(θ, φ 2 g(θ, φ = ( R 2 sen 2 φcosθ, R 2 sen 2 φsen θ, R 2 sen φcosφ 6

7 e, portanto, o fluo de F através de S segundo a normal que em cada ponto se dirige para a origem é dado por 2π ( π F ν = F(g(θ, φ g(θ, φ 2 g(θ, φdφ dθ S = 2π = 4π ( π 2 Teorema da ivergência sen φdφ dθ Seja R 3 um conjunto aberto e limitado e seja (,, z um ponto sobre a fronteira. Suponhamos que eiste uma vizinhança V de (,, z tal que V é uma superfície. z n(,, z (,, z n(,, z Figura 6: Normal eterior Seja n(,, z a normal a V no ponto (,, z e suponhamos que eiste ǫ > tal que (,, z + t n(,, z R 3 \ ; < t < ǫ (,, z t n(,, z ; < t < ǫ Então, diz-se que a normal n(,, z é eterior a. Em cada ponto (,, z a normal n(,, z drige-se do interior para o eterior de, tal como se representa na figura 6. Nota 2. Suponhamos que V é um conjunto de nível de uma função H : V R tal que V = {(,, z : H(,, z < } (R 3 \ V = {(,, z : H(,, z > } Então, a normal n(,, z = H(,, z é eterior a. e facto, se considerarmos a função ψ(t = H((,, z + t n(,, z, então ψ( = (,, z ; ψ ( = H(,, z H(,, z = H(,, z 2 > donde se conclui que eiste ǫ > tal que H((,, z + t n(,, z > ; < t < ǫ H((,, z t n(,, z < ; < t < ǫ 7

8 Seja S R 3 um aberto. ado um campo vectorial F : S R 3 de classe C, a ivergência de F é o campo escalar divf : S R, definido por divf = F + F 2 + F 3 z Seja R 3 um aberto e limitado. iz-se que é um domínio elementar (ver [3, ] se for definido, simultaneamente, das três formas seguintes: a = {(,, z R 3 : φ (, < z < φ 2 (, ; (, T } em que φ, φ 2 : T R são funções de classe C e definidas num aberto limitado T R 2 cuja fronteira é uma linha regular Γ. Portanto, na direcção z, o conjunto encontra-se entre dois gráficos de classe C (variedades-2. b = {(,, z R 3 : ψ (, z < < ψ 2 (, z; (, z T 2 } em que ψ, ψ 2 : T 2 R são funções de classe C e definidas num aberto limitado T 2 R 2 cuja fronteira é uma linha regular Γ 2. Portanto, na direcção, o conjunto encontra-se entre dois gráficos de classe C (variedades-2. c = {(,, z R 3 : η (, z < < η 2 (, z; (, z T 3 } em que η, η 2 : T 3 R são funções de classe C e definidas num aberto limitado T 3 R 2 cuja fronteira é uma linha regular Γ 3. Portanto, na direcção, o conjunto encontra-se entre dois gráficos de classe C (variedades-2. z 2 z = φ 2 (, 3 T Γ z = φ (, = Figura 7: descrito na forma a Suponhamos que o campo F é dado por F = (,, F 3 e consideremos o domínio definido como em a e tal como se representa na figura 7. Então, a fronteira de é constituída por três porções de superfície: = {(,, z : z = φ (, ; (, T } 2 = {(,, z : z = φ 2 (, ; (, T } 3 = {(,, z : (, Γ ; φ (, < z < φ 2 (, } 8

9 em que Γ designa a linha regular que limita T. Na figura 7 considera-se o caso em que φ (, =. Note-se que 3 é uma superfície vertical e, portanto, em cada um dos seus pontos, a normal ν tem terceira componente nula. Assim, o fluo de F = (,, F 3 através de 3 segundo a normal ν é nulo. Seja g : T R 3 a parametrização de definida por Então, e o vector g (, = (,, φ (, g (, = (,, φ 2 g (, = (,, φ 2 g (, g (, = ( φ, φ, é a normal eterior a no ponto g (,. O fluo de F através de segundo a normal unitária eterior é dado por F ν = F(g (, 2 g (, g (, dd T = F 3 (,, φ (, dd T o mesmo modo se calcula o fluo de F através de 2 segundo a normal unitária eterior F ν = F(g 2 (, g (, 2 g (, dd 2 T = F 3 (,, φ 2 (, dd T Portanto, o fluo de F através da fronteira de segundo a normal eterior é a soma dos fluos sobre, 2, 3 : F ν = F 3 (,, φ 2 (, dd F 3 (,, φ (, dd T T Por outro lado, o integral da divergência de F em é dado por ( φ2(, F 3 divf dddz = T φ (, z dz dd = [F 3 (,, φ 2 (, F 3 (,, φ (, ] dd T Para um campo F = (F,, consideramos descrito como em b e para um campo F = (, F 2, consideramos descrito como em c. Tendo em conta a linearidade do integral e da derivada, fica estabelecida a igualdade divf = F ν para um domínio elementar. Sem grande dificuldade se mostra que o mesmo acontece para um domínio que pode ser decomposto numa união finita de domínios elementares e a que chamaremos domínio regular. 9

10 Teorema 2. Sejam R 3 um domínio regular, F : R 3 um campo vectorial de classe C. Então, divf = F ν em que ν é a normal unitária eterior à fronteira de. 3 Eemplos Eemplo 3. Consideremos o campo vectorial dado por F(,, z = (,, z e o domínio definido por = {(,, z R 3 : z 2 < } Então divf = 3 e, portanto, divf = 3 vol 3 ( = 4π o eemplo., o fluo do campo F através da fronteira de segundo a normal unitária e eterior é dado por F ν = 4π e, portanto, divf = F ν Note-se que é um domínio elementar. e facto, temos = {(,, z : 2 2 < z < 2 2 ; < } = {(,, z : 2 z 2 < < 2 z 2 ; 2 + z 2 < } = {(,, z : 2 z 2 < < 2 z 2 ; 2 + z 2 < } Eemplo 3.2 Seja a superfície definida por e F : R 3 R 3 o campo vectorial dado por = {(,, z R 3 : < z = 2 2 } F(,, z = (,, z Para calcular o fluo de F através de segundo a normal que no ponto (,, tem terceira componente positiva, consideremos o teorema da divergência aplicado ao domínio = {(,, z : < z < 2 2 } Facilmente se constata que é um domínio regular cuja fronteira é a união de duas superfícies, e, em que = {(,, z : z = ; < }

11 z ν ν = (,, Figura 8: tal como se representa na figura 8. ado que divf =, do teorema da divergência, obtemos vol( = F ν + F ν as, em temos z = e, portanto, a normal unitária e eterior é o vector ν = (,,. Assim, em, temos F ν = (,, (,, =, ou seja, F ν = Portanto, F ν = vol( = 2π ( ( ρ 2 ρ dz dρ dθ = π 2 Eemplo 3.3 Seja F(,, z = ( 2, 2, e seja a superfície cilíndrica dada pela equação = e limitada pelos planos z = e z =. Vamos usar o teorema da divergência para calcular o fluo de F através de segundo a normal que no ponto (,, tem segunda componente positiva. Seja o domínio elementar limitado por e pelos planos z = e z = = {(,, z : < ; < z < } O integral da divergência de F em pode ser calculado usando coordenadas cilíndricas 2π ( ( divf = ( dddz = ρ 3 dρ dz dθ = π O fluo de F através da fronteira de resulta de três contribuições: F ν = F ν + F ν + F ν em que = {(,, z : z = ; < } C = {(,, z : z = ; < } C

12 z ν C C ν ν Figura 9: tal como se representa na figura 9. Para consideremos a parametrização g :], 2π[ ], [ R 3 dada por e, portanto, g(ρ, θ = (ρ cosθ, ρ sen θ, 2 g(ρ, θ g(ρ, θ = (,, Para C consideremos a parametrização h :], 2π[ ], [ R 3 dada por e, portanto, Assim, temos C h(ρ, θ = (ρ cosθ, ρ sen θ, h(ρ, θ 2 h(ρ, θ = (,, F ν = F ν = 2π 2π ( ρ senθ dρ dθ = ( ρ sen θ dρ dθ = Aplicando o teorema da divergência ao domínio, obtemos F ν = divf F ν F ν = π Eemplo 3.4 Seja R 3 um domínio regular e consideremos o campo vectorial F : R 3 \ {(,, } R 3 definido por F(,, z = C (,, z ( z 2 3/2 Suponhamos que o ponto de coordenadas (,, não se encontra sobre a fronteira de. Então, o fluo do campo vectorial F através da fronteira do conjunto segundo a normal eterior é dado por { 4π se (,, F ν = se (,, / 2

13 ν ν S Figura : Suponhamos que o ponto (,, /. Então o campo F é de classe C em e podemos aplicar o teorema da divergência. Note-se que divf = e, portanto, F ν = Para o caso em que (,,, o campo F não está definido em e, portanto, não podemos aplicar o teorema da divergência directamente. Sendo um conjunto aberto, eiste uma bola de raio ǫ > e centrada na origem e contida em, tal como se representa na figura. Seja S = \. Então, F é de classe C em S e podemos aplicar o teorema da divergência = F ν + F ν em que ν e ν se dirigem, respectivamente, para o eterior de e para o interior de. o eemplo.5, temos F ν = 4π e, portanto, Referências F ν = F ν = 4π [] F. R. ias Agudo. Cálculo Integral em R n. Escolar Editora, 973. [2] Luís T. agalhães. Integrais em Variedades e Aplicações. Teto Editora, 993. [3] J. E. arsden and A. J. Tromba. Vector Calculus. W. H. Freeman and Compan,