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1 1 Superfícies Definição Chamamos Superfície parametrizada em R n : uma função contínua : B R n (n 3) onde B R 2. Superfície: a imagem de, equação paramêtrica/vetorial da superfície: a lei Seja p 0 = (s 0, t 0 ) B : se é contínua com derivadas contínuas em p 0 e s (p 0 ), s (p 0 ) 0 então s (p 0 ) é um vetor tangente à superfície, no ponto (p 0 ). t (p 0 ) é um vetor tangente à superfície, no ponto (p 0 ). se s (p 0 ), t (p 0 ) são linearmente independentes então definem um plano que passa pelo ponto (p 0 ): π(q, r) = (s 0, t 0 ) + s (s 0, t 0 )q + t (s 0, t 0 )r Dizemos que a superfície é regular se é contínua com derivadas contínuas, e as derivadas parciais s, t são linearmente independentes em cada ponto (s, t) B. Neste caso o plano π é o plano tangente à superfície, no ponto (p 0 ). Se n = 3, n(p 0 ) = s(p 0 ) t (p 0 ) s (p 0 ) t (p 0 ) superfície, no ponto (p 0 ). é um vetor unitário perpendicular à 1

2 Cálculo III, 7 de Junho de Area de uma superfície e integral de superfície Seja : B R 3 uma superfície regular onde B R 2 é mensurável. Então a área da imagem de é A = s (s, t) t (s, t) ds dt B Seja f : A R com Im() A R 3 contínua, definimos a integral de f sobre a superfície (integral de superfície) f d := f((s, t)) s (s, t) t (s, t) ds dt B Seja F : A R 3 com Im() A R 3 um campo contínuo, definimos a fluxo de F através da superfície, na direção da normal n = s t [F n] d = (o fluxo na direção oposta será o oposto.) B F ((s, t)) [ s (s, t) t (s, t)] ds dt s t : Outras notações: f d = f ds = f ds =... [F n] d = [F n] ds = F ds = F d = F d Observação. Dizemos que uma superfície é regular por partes se pode ser decomposta em um número finito de regulares. Neste caso podemos definir a integral somando cada parte

3 Cálculo III, 7 de Junho de Alguns exemplos de superfícies Gráfico de f : A R com A R 2 : : A R 3 : (x, y) (x, y, f(x, y)) x y = (1, 0, f x (x, y)) (0, 1, f y (x, y)) = ( f x (x, y), f y (x, y), 1) x x = 1 + [f x (x, y)] 2 + [f y (x, y)] 2 Esfera de raio R: : [0, π] [0, 2π] R 3 : (ϕ, θ) R( cos(θ)sin(ϕ), sin(θ)sin(ϕ), cos(ϕ) ) ϕ = R( cos(θ)cos(ϕ), sin(θ)cos(ϕ), sin(ϕ) ) θ = R( sin(θ)sin(ϕ), cos(θ)sin(ϕ), 0 ) ϕ θ = R 2 ( cos(θ)sin 2 (ϕ), sin(θ)sin 2 (ϕ), cos(ϕ)sin(ϕ) ) ϕ θ = R 2 sin(ϕ) Toro de raios r < R: : [0, 2π] [0, 2π] R 3 (ϕ, θ) ( cos(θ)[r + rcos(ϕ)], sin(θ)[r + rcos(ϕ)], rsin(ϕ) ) ϕ = ( cos(θ)rsin(ϕ), sin(θ)rsin(ϕ), rcos(ϕ) ) θ = ( sin(θ)[r + rcos(ϕ)], cos(θ)[r + rcos(ϕ)], 0 ) ϕ θ = r[r + rcos(ϕ)]( cos(θ)cos(ϕ), sin(θ)cos(ϕ), sin(ϕ) ) ϕ θ = r[r + rcos(ϕ)]

4 Cálculo III, 7 de Junho de Stokes e Gauss no espaço Teorema 3.1 (Teorema de Stokes em R 3 ). Seja : B R 3 uma superfície parametrizada, regular e com também derivadas segundas contínuas, onde B é como no Teorema de Green. Seja F : A R 3 com Im() A R 3 um campo contínuo com derivadas contínuas. Então [rotf n] d = F ds, onde + = ( B) orientada de forma que esteja sempre a esquerda de quem olha da ponta de n na direção de t (em particular, se n = s t s t então + = ( + B)) analogamente: o vetor v = t n aponta para fora da superfície. Teorema 3.2 (Teorema de Gauss em R 3 ). Seja V R 3 uma região limitada. Seja F : A R 3 com V A R 3 um campo contínuo com derivadas contínuas. Então divf dv = [F n ext ] d. V Precisam algumas hipóteses complicadas. Suponhamos que V possa ser decomposta em um número finito de regiões que podem ser vistas na forma V + V = {x 1, x 2 C, f(x 1, x 2 ) x 3 g(x 1, x 2 )} onde f, g são contínuas com derivadas contínuas e C é come no teorema de Green. Isso para qualquer (todas) ordem das variáveis! Chamamos de superfície fechada a borda de uma região assim.

5 Cálculo III, 7 de Junho de Usando os teorema de Stokes e de Gauss em R 3 podemos obter a seguinte interpretação do significado do rotacional e do divergente de um campo tridimensional F : F ds [rotf (p)] v = lim + Cr v (p) r 0 A C v r (p) onde Cr v (p) é o disco de raio r, centro p e normal v. [F n ext ] d divf (p) = lim B r (p) r 0 B r (p) onde B r (p) é a bola de raio r e centro p.

6 Cálculo III, 7 de Junho de Campos solenoidais Seja F : A R 3 contínuas). (A R 3 ) um campo regular derivável com derivadas Lembrete: F é conservativo se F = ϕ para algum ϕ : A R. Isso implica F d s não depende do caminho (só dos extremos: = ϕ(x 2 ) ϕ(x 1 )) γ F d s = 0 (em curvas fechadas) γ rotf = 0 (campo irrotacional) viceversa, se rotf = 0 e A é simplesmente conexo então F = ϕ. se rotf = 0 mas A não é simplesmente conexo então F poderia não ser conservativo. Suponha F = rotg para algum G : A R 3. Isso implica (a). F ds não depende da superfície (só da borda: = + G d s) (b). F d S = 0 (em superfícies fechadas) (c). divf = 0 (campo solenoidal) viceversa, se divf = 0 e A é fortemente conexo então valem (a) e (b) e F = rotg. se divf = 0 mas A não é fortemente conexo então (a) e (b) poderiam não valer e logo F não seria o rotacional de um campo. Nesta situação G é dito potencial-vetor do campo solenoidal F. Existem infinitos: G + ψ também é.

7 Cálculo III, 7 de Junho de Definição 4.1. Um conjunto A R 3 é dito fortemente conexo se é conexo por caminhos e vale uma das seguintes condições equivalentes: toda superfície fechada contida em A pode ser deformada a um ponto sem sair de A, dadas duas superfícies contidas em A que tenham a mesma borda, uma pode ser deformada até a outra sem sair de A, toda superfície fechada contida em A é a borda de uma região contida em A. Exemplo 4.2. São fortemente conexos: R 3, R 3 menos uma reta, R 3 menos um plano, paralelepípedos,.. Não são fortemente conexos: R 3 menos um ponto.

8 Cálculo III, 7 de Junho de Eq. de Maxwell Eq. de Maxwell Lei de Gaus (para o campo elétrico) dive = ρ/ε 0 (ρ densidade de carga (escalar)). Integrando: E ds = Q V /ε 0 V O fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total na região interior. No vácuo, o fluxo elétrico através de uma superfície E ds depende apenas da + Lei de Gaus para o campo magnético Integrando divb = 0 V B d S = 0 O fluxo magnético através de uma superfície fechada é sempre igual a zero. O fluxo magnético através de uma superfície B ds depende apenas da +. O campo B admite um potencial-vetor (em conjuntos fortemente conexos)

9 Cálculo III, 7 de Junho de Lei de Ampere (caso estático - sem correção de Maxwell) rotb = µ 0 j ( j densidade de corrente (Campo Vetorial)). Integrando B d s = µ 0 j ds = µ 0 J + A circuitação de B ao longo da curva fechada + é igual ao fluxo de corrente por. Lei de Ampere (caso geral - com correção de Maxwell) + B d s = µ 0 rotb = µ 0 j + µ 0 ε 0 E t j d S + µ 0 ε 0 t E d S = µ 0 J + µ 0 ε 0 t Φ (E) A circuitação de B ao longo da curva fechada + é igual ao fluxo de corrente por mais a derivada temporal do fluxo de E por. Lei de Faraday (indução eletromagnética) + E d s = t rote = B t B d S = t Φ (B) A circuitação de E ao longo da curva fechada + é igual ao oposto da derivada do fluxo de B por A força eletromotriz induzida em qualquer circuito fechado é igual ao oposto da variação do fluxo magnético com o tempo na área delimitada pelo circuito a igualdade é sempre através de alguma constante de proporcionalidade.

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