Cálculo III-A Módulo 10

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1 Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada Cálculo III-A Módulo 10 Aula 19 Superfícies Parametriadas Objetivo Estudar as superfícies parametriadas, visando as integrais de superfície. Superfícies parametriadas efinição: iemos que S R 3 é uma superfície parametriada se eistir uma função vetorial contínua tal que S = ϕ(). ϕ : R 2 R 3 (u,v) ϕ(u,v) = ( (u,v),(u,v),(u,v) ) v S = ϕ() (u, v) ϕ ϕ(u, v) u As funções = (u,v), = (u,v), = (u,v) são chamadas equações paramétricas de S. Se ϕ for diferenciável em (u 0,v 0 ), fiando v = v 0, obtemos uma curva diferenciável C 1 : γ(u) = ϕ(u,v 0 ) = ( (u,v 0 ),(u,v 0 ),(u,v 0 ) ) (Veja a figura a seguir).

2 Cálculo III-A Módulo 10 2 v ϕ v (u 0,v 0 ) ϕ u (u 0,v 0 ) S = ϕ() (u 0,v 0 ) ϕ ϕ(u 0,v 0 ) C 1 u C 2 Se γ (u 0 ) = ϕ ( u (u 0,v 0 ) = ϕ u (u 0,v 0 ) = u (u 0,v 0 ), u (u 0,v 0 ), ) u (u 0,v 0 ) 0, segue que ϕ u (u 0,v 0 ) é um vetor tangente a C 1 em ϕ(u 0,v 0 ). Analogamente, se ϕ v (u 0,v 0 ) = ϕ v (u 0,v 0 ) = então este vetor é um vetor tangente a C 2 em ϕ(u 0,v 0 ). Se o vetor ( v (u 0,v 0 ), v (u 0,v 0 ), ) v (u 0,v 0 ) 0, N = N(u0,v 0 ) = ϕ u (u 0,v 0 ) ϕ v (u 0,v 0 ) = ϕ u (u 0,v 0 ) ϕ v (u 0,v 0 ) 0, então N é um vetor normal a S em ϕ(u 0,v 0 ). O vetor n = N é um vetor normal unitário a S N em ϕ(u 0,v 0 ). iemos que S é regular em ϕ(u 0,v 0 ) se N(u 0,v 0 ) 0. O plano tangente a S em ϕ(u 0,v 0 ) é dado por [ (,,) ϕ(u0,v 0 ) ] N(u 0,v 0 ) = 0. Apresentaremos, agora, parametriações das principais superfícies. 1) Plano S Sejam P 0 S, a e b não paralelos contido no plano S. Seja P S. Então, eistem escalares u e v, tais que P 0 P = u a +v b P = P 0 +u a +v b. Então, uma parametriação de S é dada por ϕ(u,v) = P 0 +u a +v b com (u,v) R 2.

3 Cálculo III-A Módulo 10 3 a Geometria Anaĺıtica, vemos que um vetor normal a S em P 0 é: N = a b. S N P 0 a b 2) S = gráfico de = f(,), com (,) e f(,) de classe C 1 N S : = f(,) Uma parametriação natural (ou canônica) de S = G f (gráfico de f) é dada por ϕ(,) = (,,f(,) ), com (,). Um vetor normal é dado por ϕ ϕ N = (,) (,) = ϕ (,) ϕ (,) = ( f (,), f (,),1 ). Verifique! Como N(,) 0, para todo (,), segue que S = G f é uma superfície regular. 3) Cilindro = a 2, a > 0 Utiliamos as coordenadas ciĺındricas para parametriar um cilindro de raio a. Tem-se = acosθ = asenθ =

4 Cálculo III-A Módulo 10 4 Então, ϕ(θ,) = (acosθ,asenθ,) com (θ,) : 0 θ 2π, R é uma parametriação de S. Verifique que N = ϕ θ (θ,) ϕ (θ,) = (acosθ,asenθ,0). Logo, N = (,,0) é um vetor normal eterior a S em cada (,,) S, portanto n = (,,0) a é o vetor unitário normal eterior a S. 4) Esfera = a 2, a > 0 Utiliamos as coordenadas esféricas para parametriar a esfera. Tem-se = asenφcosθ = asenφsenθ = acosφ com 0 φ π e 0 θ 2π. Então, ϕ(φ,θ) = (asenφcosθ,asenφsenθ,acosφ) com Verifique que Logo, (φ,θ) : { 0 φ π 0 θ 2π. ϕ N = φ ϕ θ = ( a 2 sen 2 φcosθ,a 2 sen 2 φsenθ,a 2 senφcosφ ) N = a 2 senφ. N n = N = ϕ(φ,θ) = (,,), a a isto é, n = (,,) a é o vetor unitário normal eterior à esfera. 5) Superfície de revolução S a) Seja C uma curva no plano dada por = 0 C : = (t) = (t) com a t b e (t) 0 em [a,b].

5 Cálculo III-A Módulo 10 5 Ao girar o ponto ( 0,(t),(t) ) ao redor do eio, na altura (t), obtemos uma circunferência de raio (t), parametriada por ( (t)cosθ,(t)senθ,(t) ), com 0 θ 2π. Faendo t variar de a até b, a circunferência começa a se deslocar segundo a altura = (t), gerando a superfície de revolução S da figura ao lado. Tem-se S : ϕ(t,θ) = ( (t)cosθ,(t)senθ,(t) ) S (,,) C ( 0,(t),(t) ) onde (t,θ) : { a t b 0 θ 2π. θ Observe que na superfície S tem-se: (t) = raio de uma circunferência transversal (t) = altura desta circunferência. b) Se C é uma curva no plano dada por = (t) C : = 0 = (t) com a t b, então: (t) = raio de uma circunferência transversal (t) = altura dessa circunferência. Logo, uma parametriação da superfície de revolução S, obtida girando C ao redor do eio, é S : ϕ(t,θ) = ( (t)cosθ,(t)senθ,(t) ) com (t,θ) : { a t b 0 θ 2π.

6 Cálculo III-A Módulo 10 6 Aula 20 Área de Superfície Objetivo Estudar as áreas de superfícies parametriadas. Área de superfície Seja S uma superfície parametriada por ϕ(u,v) = ((u,v),(u,v),(u,v)), (u,v) onde é um conjunto compacto e ϕ de classe C 2 em um conjunto aberto contendo. É necessário também que ϕ seja uma função injetora, eceto possivelmente na fronteira de, e que S seja regular, eceto em um número finito de pontos. aqui por diante, até o final do curso, trabalharemos somente com superfícies descritas acima. efinimos a área de S por A(S) = ϕ u (u,v) ϕ v (u,v) dudv. v S = ϕ() ϕ u OBS.: Se S for o gráfico de uma função de classe C 1, = f(,), (,), onde é um conjunto compacto que tem área, então A(S) = 1+(f ) 2 +(f ) 2 dd.

7 Cálculo III-A Módulo 10 7 S = G f (gráfico de S) Eemplo 1 Mostre que a área da esfera S : = a 2, a > 0 é dada por A(S) = 4πa 2. Solução: Usando as coordenadas esféricas com ρ = a, para parametriar a esfera, tem-se ϕ(φ,θ) = (asenφcosθ,asenφsenθ,acosφ) com (φ,θ) : 0 φ π e 0 θ 2π. Calculemos ϕ φ ϕ θ (φ,θ) = ϕ módulo. ϕ φ θ (φ,θ) e seu Tem-se ϕ φ = (acosφcosθ,acosφsenθ, asenφ) e ϕ θ = ( asenφsenθ,asenφcosθ,0), logo ϕ φ ϕ θ = i j k acosφcosθ acosφsenθ asenφ asenφsenθ asenφcosθ 0 = ( ) a 2 sen 2 φcosθ,a 2 sen 2 φsenθ,a 2 senφcosφcos 2 θ+a 2 senφcosφsen 2 θ }{{} =a 2 senφcosφ = asenφ(asenφcosθ,asenφsenθ,acosφ) = (asenφ) ϕ(φ,θ). Esta última epressão mostra que o vetor normal em cada ponto da esfera é radial, isto é, é um múltiplo do vetor posição ϕ(φ,θ). Tem-se ϕ φ ϕ θ (φ,θ) = asenφ ϕ(φ,θ) = a 2 senφ = a 2 senφ pois 0 φ π, isto é, ϕ φ ϕ θ = a 2 senφ (memorie este resultado). Como A(S) = ϕ φ ϕ θ dφdθ, temos π A(S) = a 2 senφdφdθ = a 2 0 2π 0 senφdθdφ = 2πa 2 π 0 senφdφ = 2πa 2[ cosφ ] π 0 = 4πa2 u.a.

8 Cálculo III-A Módulo 10 8 Eemplo 2 Calcule a área da superfície = 2 + 2, 0 1. Solução: O esboço da superfície S é: 1 S 1 1 Temos S : = 2 + }{{} 2 f(,) e f = Logo,, (,) : Também temos f = (f ) 2 +(f ) 2 = = = 2. 2 Como A(S) = 1+(f ) 2 +(f ) 2 dd temos A(S) = 2dd = 2 dd = 2 A() = 2 π 1 2 = π 2 u.a. Eercício 1: Seja S a superfície parametriada por ϕ(u,v) = (u,v,1 v 2 ), com u 0, v 0 e u+v 1. a) esenhe S. b) etermine o plano tangente a S no ponto ϕ(1/2,1/4). c) etermine a área de S. Eercício 2: Esboce e parametrie as superfícies abaio, indicando o domínio dos parâmetros: a) S = {(,,) R 3 ; = 4, 1}.

9 Cálculo III-A Módulo 10 9 b) S = { (,,) R 3 ; = } 3( ), c) S = {(,,) R 3 ; + + = 2, }. { d) S = (,,) R 3 ; = 4, }. 2 e) S = {(,,) R 3 ; = 2, }. Eercício 3: Seja C = { (0,,) R 3 ; 2 +( 2) 2 = 1 }. Ache a área da superfície gerada pela rotação do conjunto C em torno do eio. Eercício 4: Seja S a superfície obtida girando-se o segmento de reta de (0,1,3) a (0,3,1) em torno do eio. a) ê uma parametriação de S. b) Calcule a área de S. Eercício 5: etermine a área do paraboloide = 2( ), abaio do plano = 8. Eercício 6: Calcule a área da superfície S parte do plano + + = a, interior ao cilindro = a 2. Eercício 7: Calcule a área da superfície = 2 + 2, ( 2) Eercício 8: etermine a área da porção da esfera = 4, cortada pela parte superior do cone = 2.