Cálculo III-A Módulo 1 Tutor

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1 Eercício : Calcule as integrais iteradas: Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada Cálculo III-A Módulo Tutor a) e dd b) dd Solução: a) Temos: e dd e e ) d [ e [ e ] d ] e ] [e d e e ) e e ) e e +e. b) Temos: dd + ) d [ + ] dd + 8 ) + ) d [ ] d + ) Eercício : Esboce a região de integração e calcule as integrais: a) dd, {,) R ;, }; b) f,)dd, {,) R ; π/, cos}, f,) sen. Solução: a) O esboço de está representado na figura que se segue.

2 Cálculo III-A Módulo Tutor Temos: dd [ 6] 6 ) d 6 dd 5 d 6 ) 6 ). [ ] d b) O esboço de está representado na figura que se segue. π/ π/ Temos: f,)dd send π/ cos π/ sendd π/ [ ] cos send π/ π/ π/cos dcos) π/ π/ cos send [ ] cos π/ π/ ). 6

3 Cálculo III-A Módulo Tutor Eercício : Esboce a região de integração e inverta a ordem das integrais iteradas em: a) b) f,) dd c) f,) dd d) f,) dd f,) dd Solução: a) A região de integração é dada pelas desigualdades e. Portanto, é do tipo II e está limitada à esquerda pela reta eio ) e à direita pela reta, entre as retas horizontais eio ) e. entra em sai em Para inverter a ordem de integração devemos enquadrar como tipo I. Então imaginemos uma reta vertical através de, orientada como o eio. sai em entra em A reta entra em em e sai de em. Logo,. Como a projeção de sobre o eio é o intervalo [,], temos. Assim, Logo: {,) R ;, }. f,) dd f,) dd. b) A região de integração é dada pelas desigualdades e. Portanto, é do tipo II e está limitada à esquerda pela reta ou ) e à direita pela curva ou, com > ), entre as retas horizontais eio ) e.

4 Cálculo III-A Módulo Tutor entra em sai em Para inverter a ordem de integração devemos enquadrar como tipo I. Então imaginemos uma reta vertical através de, orientada como o eio. Vemos que ela entra em em e sai de em. Vemos também que está compreendida entre as retas e. Então, temos: {,) R ;, }. sai em entra em Logo, f,) dd f,) dd. c) A região de integração é dada pelas desigualdades e. Portanto, é do tipo I e está limitada inferiormente pela curva ou +, com ) e superiormente pela curva ou +, com ), entre as retas e. Assim, o esboço de está representado na figura que se segue.

5 Cálculo III-A Módulo Tutor 5 entra em sai em Para inverter a ordem de integração, devemos definir como tipo II. Então, considerando uma reta horizontal através de, orientada como o eio X, vemos que ela entra em em e sai de em. Vemos, também, que está compreendida entre as retas horizontais e. Então, {,) R ;, }. Logo: f,) dd f,) dd. d) A região de integração é dada pelas desigualdades e. Portanto, é do tipo I e está limitada inferiormente pela reta ou ) e superiormente pela reta ou /), entre as retas verticais eio ) e. Assim, o esboço de está representado na figura que se segue. sai em entra em Na figura vemos que não é do tipo II, pois está limitada à esquerda pelas curvas e /. Para inverter a ordem de integração, devemos decompor a região em duas partes: e, como representado na figura que se segue.

6 Cálculo III-A Módulo Tutor 6 entra em sai em entra em sai em Temos : { { / e : /. Então, f,) dd / f,) dd + / f,) dd. Eercício : Calcule e dd. Solução: Não podemos integrar nessa ordem, pois e d não é uma função elementar, isto é, ela não pode ser escrita como uma soma finita de funções elementares funções estudadas em Cálculo I). Portanto, devemos inverter a ordem de integração. A região de integração é dada pelas desigualdades e. Assim, é do tipo II e está limitada à esquerda pela reta ou /) e à direita pela reta, entre as retas horizontais eio ) e. escrição de como tipo I: Imaginemos uma reta vertical através de, orientada como o eio. Ela entra em em e sai de em /. Vemos que está entre as retas eio ) e a reta. Então, Assim, e dd {,) R ;, / }. / e dd / e dd e d e d.

7 Cálculo III-A Módulo Tutor 7 Fazendo u, temos du d. Para, temos u e, para, temos u. Então, e dd e u du [ e u ] e. 5 5 Eercício 5: Calcule ln dd. Solução: Não podemos integrar nessa ordem, pois ln d não é uma função elementar. Então vamos inverter a ordem de integração. Para isso devemos esboçar a região de integração dada pelas desigualdades 5 e 5. Logo, a região é do tipo I e está limitada inferiormente pela reta e superiormente pela reta 5 e está compreendida entre as retas verticais e 5. 5 entra em sai em escrição de como tipo II: Imaginemos uma reta horizontal, através de, orientada como o eio. Vemos que ela entra em em e sai { de em. Vemos, também que está entre as retas horizontais e 5 5. Assim, :. Então, ln dd 5 ln ln ln) d 5 [ ] ln dd ln d ln 5 [ ln lnd ] 5 d 5 ).

8 Cálculo III-A Módulo Tutor 8 Eercício 6: Use a integral dupla para calcular a área da região limitada pelas curvas e. Solução: e e temos ou ou ), portanto ou. Logo, as interseções são,) e,) e o esboço de está representado na figura que se segue. sai em, ) entra em escrevendo como uma região do tipo I, temos : dd, temos {. Como A) A) dd ) [ d u.a. ) d Eercício 7: Encontre o volume do sólido W limitado pelos planos, z e pelo cilindro parabólico z. Solução: Esboço do sólido W : Inicialmente traçamos, no plano z, a parábola z. Como esta equação é independente da variável, traçamos, por pontos desta parábola, as retas paralelas ao eio. Obtemos assim o cilindro parabólico. Considerando que W está limitado pelos planos, e z, temos o sólido W representado na figura que se segue. ]

9 Cálculo III-A Módulo Tutor 9 z teto W piso Observemos que o teto do sólido W é o cilindro parabólico z f,) e que o piso de W é o quadrado dado pelas desigualdades e. Temos, então, VW) f,)dd ) dd ) dd ) d [ ) dd ] 8 8 ) 8 u.v. Eercício 8: Encontre o volume do sólido W limitado pelas superfícies z, z,, z e. Solução: Esboço do sólido W : Inicialmente traçamos, no plano z, a parábola z, com z. Como esta equação é independente da variável, traçamos, por pontos desta parábola, retas paralelas ao eio, obtendo assim o cilindro parabólico. Para esboçar o plano, traçamos primeiramente no plano a reta. Como esta equação não depende da variável z, traçamos por pontos desta reta, retas paralelas ao eio z. Vemos que os pontos A,,), B,,) e C,,) são comuns às duas superfícies. Ao ligarmos tais pontos, obtemos a curva interseção. Considerando que W é limitado pelos planos e z, temos o sólido W representado na figura que se segue.

10 Cálculo III-A Módulo Tutor B teto z W entra em sai em + C A piso Observemos que o teto do sólido W é a superfície z e que o piso de W é o trapézio, que deve ser olhado como uma região do tipo II. Vemos que a projeção de no eio é o intervalo [,]. Logo,. Vemos, também que uma horizontal qualquer através de entra em em e sai de na{ reta, onde +. Logo, +. Assim, é definido pelas desigualdades :. Temos, então, + VW) f,)dd ) dd + ) dd + ) d + ) ) +)d [ ) 8 u.v. ]