PARTE 4. ESFERAS E SUPERFÍCIES QUÁDRICAS EM GERAL (Leitura para Casa)

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1 PARTE 4 REVISÃO DE PLANOS, CILINDROS, SUPERFÍCIES DE REVOLUÇÃO, ESFERAS E SUPERFÍCIES QUÁDRICAS EM GERAL (Leitura para Casa) Vamos agora faer uma revisão de planos, cilindros, superfícies de revolução, esferas e superfícies quádricas em geral. 4.1 Revisão de Planos Dado um ponto P 0 = ( 0, 0, 0 ) pertencente a um plano que é perpendicular ao vetor não-nulo v = (a, b, c), temos que um ponto P = (,, ) pertence a este plano se e somente se o vetor P 0 P for perpendicular ao vetor v. Em outras palavras, P pertence ao plano se e somente se v P 0 P = 0. Como P 0 P = ( 0, 0, 0 ), temos que P pertence ao plano se e somente se o que equivale a (a, b, c) ( 0, 0, 0 ) = 0, a( 0 ) + b( 0 ) + c( 0 ) = 0. Temos assim que a equação do plano que contém o ponto P 0 = ( 0, 0, 0 ) e é perpendicular ao vetor não-nulo v = (a, b, c) é dado por a( 0 ) + b( 0 ) + c( 0 ) = 0. Observe ainda que a equação acima pode ser escrita como a + b + c = d, onde d = a 0 + b 0 + c 0. Reciprocamente, é fácil verificar que toda equação da forma a + b + c = d, se a, b e c não forem todos nulos, representa um plano cujo vetor 47

2 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise normal é dado por (a, b, c). 4.2 Revisão de Cilindros Dada uma curva C em um plano e uma reta l que não está contida no plano da curva C, chamamos o conjunto de pontos formado por todas as retas que interceptam C e são paralelas a l de cilindro. A curva C é chamada de diretri do cilindro e a cada reta paralela a l que intercepta C é chamada de geratri. O cilindro que mais estamos acostumados é aquele obtido tomando-se como curva C uma circunferência no plano e como l uma reta perpendicular a este plano. Este cilindro é conhecido como cilindro circular reto. De um modo geral, trabalhamos com mais frequência com cilindros cuja curva diretri C está contida em um dos planos coordenados e a reta geratri l é perpendicular ao plano coordenado que contém C. Observe que, nesta situação, a curva C é função apenas duas variáveis. Desta forma, temos que a superfície em R 3 cuja equação contém apenas as variáveis e é um cilindro cuja geratatri é paralela ao eio. Da mesma forma, temos que a superfície em R 3 cuja equação contém apenas as variáveis e é um cilindro cuja geratri é paralela ao eio. E, finalmente, temos que a superfície em R 3 cuja equação contém apenas as variáveis e é um cilindro cuja geratri é paralela ao eio. Observe que se a curva C for, por eemplo, a reta a + b = c, o cilindro gerado trata-se de um plano cujo vetor perpendicular é o vetor (a, b, 0). Desta forma, podemos ver os planos como cilindros especiais. Eemplo 4.2.1: Esboce as superfícies em R 3 dadas pelas equações abaio. a) = 1 b) = 2 c) = 3 d) = sen e) = Solução: a) Neste caso, observe que, no plano, a equação = 1, é a equação de uma elipse com centro na origem e a = 2 e b = 1. Portanto, em R 3, a equação = 1 é a equação de um cilindro cuja diretri é a elipse = 1, no plano, e cuja geratri

3 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise é paralela ao eio. Este cilindro é chamado de cilindro eliptico (figuras abaio). b) Neste caso, observe que, no plano, a equação = 2, é a equação de uma parábola. Portanto, em R 3, a equação = 2 é a equação de um cilindro cuja diretri é a parábola = 2, no plano, e cuja geratri é paralela ao eio. Este cilindro é chamado de cilindro parabólico (figura ao lado). c) Neste caso, observe que, no plano, a equação = 3, é a equação de uma rai cúbica. Portanto, em R 3, a equação = 3 é a equação de um cilindro cuja diretri é a rai cúbica = 3, no plano, e cuja geratri é paralela ao eio. (figuras abaio).

4 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise d) Neste caso, observe que, no plano, a equação = sen, é a equação de uma senóide. Portanto, em R 3, a equação = sen é a equação de um cilindro cuja diretri é a senóide = sen, no plano, e cuja geratri é paralela ao eio. (figura ao lado). e) Neste caso, observe que, no plano, a equação =, é a equação da função módulo. Portanto, em R 3, a equação = é a equação de um cilindro cuja diretri é o gráfico da função módulo = 2 =, no plano, e cuja geratri é paralela ao eio (figura ao lado). 4.3 Revisão de Superfícies de Revolução

5 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Um outro tipo de superfícies comumente encontradas são as superfícies de revolução. Uma superfície de revolução é uma superfície obtida pela rotação de uma curva plana C ( C está contida em um plano), no espaço, em torno de uma reta l, contida no plano da curva. A reta l é chamada de eio de revolução ou rotação. Neste caso, observe que as interseções de uma superfície de revolução com planos perpendiculares ao eio de revolução, quando não é vaia, fornecem pontos ou circunferências. Portanto, se a superfície de revolução é o gráfico de uma função, temos que suas curvas de nível ou são pontos ou são circunferências. Vamos apenas tratar aqui de algumas superfícies de revolução de são obtidas pela rotação de curvas dadas na forma implícita ao redor de um dos eios do plano coordenado. Além disto, vamos supor que que a curva não intercepta o eio de rotação em mais de um ponto. Como eemplos deste tipos que trataremos, temos: curva dada pela equação f(, ) = 0 girada em torno do eio ou do eio ; curva dada pela equação f(, ) = 0 girada em torno do eio ou do eio e curva dada pela equação f() = 0 girada em torno do eio ou do eio. Para ilustrar o processo, suponha que a curva no plano dada pela equação f(, ) = 0 (ou a curva no plano dada pela equação f(, ) = 0) tenha sido girada em torno do eio. Neste caso, temos que um ponto P = (,, ) qualquer contido na superfície resultou da rotação de um ponto Q particular contido na curva, cujas coordenadas ( 0, 0 ) satisfaem a equação f( 0, 0 ) = 0 (ou cujas coordenadas ( 0, 0 ) satisfaem a equação f( 0, 0 ) = 0). Contudo, analisando o processo de rotação, podemos observar que = 0 e 0 = 2 + 2, se 0 > 0 ou 0 = 2 + 2, se 0 < 0 ou ( = 0 e 0 = 2 + 2, se 0 > 0 ou 0 = 2 + 2, se 0 < 0). Desta forma, temos que ou f( 2 + 2, ) = f( 0, 0 ) = 0, 0 > 0 (ou f( 2 + 2, ) = f( 0, 0 ) = 0, 0 > 0) f( 2 + 2, ) = f( 0, 0 ) = 0, 0 < 0 (ou f( 2 + 2, ) = f( 0, 0 ) = 0, 0 < 0). Como P é um ponto arbitrário na superfície, uma forma de reconhecer se uma dada equação representa uma superfície de revolução de uma curva f(, ) = 0 no plano em torno do eio (ou de uma curva f(, ) = 0 no plano em torno do eio ) é verificar se esta equação só apresenta as variáveis e na forma E, sendo assim, para descobrir a equação f(, ) = 0 que originou a superfície, basta substituir o termo por (ou, então, para descobrir a equação f(, ) = 0 que originou a superfície, basta substituir o termo por ). Analogamente, uma forma de reconhecer se uma dada equação representa uma superfície de revolução de uma curva f(, ) = 0 no plano (ou de uma curva f(, ) = 0 no plano ) em torno do eio é verificar se esta equação só apresenta as variáveis e na forma E, sendo assim, para descobrir a equação f(, ) = 0 que originou a superfície, basta substituir o termo por (ou, então, para descobrir a equação f(, ) = 0 que originou a superfície, basta substituir o termo por ).

6 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Finalmente, uma forma de reconhecer se uma dada equação representa uma superfície de revolução de uma curva f(, ) = 0 no plano (ou de uma curva f(, ) = 0 no plano ) em torno do eio é verificar se esta equação só apresenta as variáveis e na forma E, sendo assim, para descobrir a equação f(, ) = 0 que originou a superfície, basta substituir o termo por (ou, então, para descobrir a equação f(, ) = 0 que originou a superfície, basta substituir o termo por ). Eemplo 4.3.1: Esboce as superfícies de revolução dadas pelas equações abaio, identificando a curva e o eio de revolução. a) = e (2 + 2 ) b) = e 22 Solução: a) Neste caso, observe que, as variáveis e só aparece na forma ( ) 2. Estamos portanto diante de uma superfície de revolução gerada pela rotação de uma curva no plano (ou ) em torno do eio. Além disso, como = f(, ), temos que a curva no plano é o gráfico de uma função = g() (ou = h()). Desta forma, para descobrir a função = g() (ou = h()), cuja rotação do gráfico resultou na superfície em questão, vamos substituir o termo ( ) na equação da superfície por 2 (ou por 2 ). Encontramos assim, a função = g() = e 2. Temos então que esta superfície é a superfície gerada pela rotação do gráfico da função = g() = e 2, no plano, em torno do eio (ou, o que dá no mesmo, a rotação da curva = h() = e 2, no plano, em torno do eio ) (figura ao lado). (ou ) b) Neste caso, observe que, as variáveis e só aparece na forma ( ) 2. Estamos portanto diante de uma superfície de revolução gerada pela rotação de uma curva no plano (ou ) em torno do eio. Portanto, conforme vimos, vamos substituir o termo ( ) na equação da superfície por 2 (ou por 2 ) para descobrir a equação da curva no plano (ou ), cuja rotação em torno do eio gerou a superfície dada. Desta forma, encontramos a equação 2 = e 22, o que corresponde a = g 1 () = e 2 ou = g 2 () = e 2. Como a rotação é em torno do eio, podemos escolher uma das duas equações, pois o resultado da rotação de ambas será o mesmo. Vamos escolher = g 1 () = e 2. Temos então que esta superfície é superfície gerada pela rotação do gráfico da função = g 1 () = e 2, no plano, em torno do eio (ou, o que dá no mesmo, a rotação do gráfico da função = h 1 () = e 2, no plano em torno do eio

7 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise ) (figuras abaio). (ou ) 4.4 Revisão de Esferas Considere dois pontos P 0 = ( 0, 0, 0 ) e P 1 = ( 1, 1, 1 ) em R 3. Sabemos que distância entre estes dois pontos P 0 e P 1 é dada por d(p 0, P ) = P 0 P 1 = ( 1 0 ) 2 + ( 1 0 ) 2 + ( 1 0 ) 2. Portanto, se P = (,, ) é um ponto em R 3 que satisfa a equação ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 = a 2, onde a > 0, temos que a distância de P ao ponto P 0 é constante e igual a a. Temos portanto que o conjunto de pontos que satisfa a equação acima é o conjunto formado por todos os pontos que distam de P 0 uma distância igual a a. Desta forma, geometricamente, temos então que a equação ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 = a 2 é a equação de uma esfera com centro em P 0 = ( 0, 0, 0 ) e raio a. Eemplo 4.4.1: Identifique a superfície dada pela equação = 11. Solução: Reagrupando os termos e completando os quadrados, temos que = = 0 ( + 1) ( 2) ( + 3) = 0

8 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise ( + 1) 2 + ( 2) 2 + ( + 3) 2 = 25. Temos portanto que a superfície dada trata-se de uma esfera de centro em (1, 2, 3) e raio igual a Revisão de Superfícies Quádricas Uma equação do segundo grau nas variáveis, e mais geral tem a forma A 2 + B 2 + C 2 + D + E + F + G + H + I + J = 0, onde admitimos que nem todos os coeficientes A, B,..., F são nulos. A representação geométrica do conjunto de pontos no espaço que satisfa a equação acima é chamada de superfície quádrica. Já vimos algumas superfícies quádricas como esferas, cilindros parabólicos, elipticos e hiperbólicos. Ecluindo os cilindros, é possível mostrar que por meio de rotações e translações convenientes dos eios coordenados, podemos colocar a equação do segundo grau apresentada acima em certas formas canônicas e mostrar que eistem seis tipos distintos de superfícies quádricas não-degeneradas: elipsóide, hiperbolóide de uma folha, hiperbolóide de duas folhas, cone elíptico, parabolóide elíptico e parabolóide hiperbólico. Vamos trabalhar apenas com superfícies quádricas nas formas canônicas: No caso de elipsóides, hiperbolóides de uma folha e hiperbolóides de duas folhas temos a seguinte forma canônica onde a, b e c são constantes positivas. ± 2 a ± 2 2 b ± 2 = 1, (1) 2 c2 No caso de cones elípticos temos que a seguinte forma canônica ± 2 a ± 2 2 b ± 2 = 0, (2) 2 c2 onde a, b e c são constantes positivas e nem todos os sinais do lado esquerdo da equação são iguais. No caso de parabolóides elípticos e parabolóides hiperbólicos temos uma das seguintes formas canônicas = ± 2 a ± 2 2 b 2 onde a, b e c são constantes positivas., = ± 2 a 2 ± 2 b 2 e = ± 2 a 2 ± 2 b 2. (3)

9 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Para visualiar e esboçar uma superfície é de grande utilidade se valer das interseções das mesmas com os planos coordenados e com planos paralelos aos planos coordenados. Chamamos as interseções de uma superfície com os planos coordenados de traços e as interseções de uma superfície com os planos paralelos aos planos coordenados chamamos de seções. Cabe observar que toda seção de segundo grau de uma superfície quádrica qualquer é uma cônica. Também ajuda bastante no processo de visualiar e esboçar a superfície, verificar a eistência de simetrias. Vamos a seguir ver separadamente cada uma das quádricas mencionadas acima Elipsóide Neste caso, temos que todos os sinais do lado esquerdo da equação (1) são positivos. A equação canônica de um elipsóide é portanto dada por onde a, b e c são constantes positivas. 2 a b c 2 = 1, Os traços do elipsóide nos planos coordenados, e estão dados abaio: Traço no Plano : elipse 2 a b 2 = 1; Traço no Plano : elipse 2 a c 2 = 1; Traço no Plano : elipse 2 b c 2 = 1. Na figura ao lado temos o elipsóide e seus traços e nas figuras abaio temos os três traços em separado. As seções do elipsóide nos planos = k, = k e = k estão dadas abaio: Seções no plano = k: Para k > c não temos interseções; Para k < c temos as elipses 2 a b 2 = 1 k2 c 2 ;

10 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Para k = c temos os pontos (0, 0, c) e (0, 0, c). Observação : as seções no plano = k e = k se comportam de forma análoga às seções no plano = k. Observação : Se a = b = c 0, a superfície é uma esfera. Observação : A equação ( 0) 2 + ( 0) 2 + ( 0) 2 a 2 b 2 c 2 de um elipsóide deslocado, com centro no ponto ( 0, 0, 0 ). = 1 é a equação Hiperbolóide de Uma Folha Neste caso, temos que apenas um dos sinais do lado esquerdo da equação (1) é negativo. Por eemplo, a equação canônica de um hiperbolóide de uma folha, cujo eio é o eio, é dada por a b 2 2 c = 1, 2 onde a, b e c são constantes positivas. 2 Os traços do hiperbolóide de uma folha 2 a b 2 = 1 nos planos coordenados, 2 c2 e estão dados abaio: Traço no Plano : elipse 2 a b 2 = 1; Traço no Plano : hipérbole 2 a 2 2 c 2 = 1; Traço no Plano : hipérbole 2 b 2 2 c 2 = 1. Na figura ao lado temos o hiperbolóide de uma folha e seus traços e nas figuras abaio temos os três traços em separado. As seções do hiperbolóide de uma folha 2 a b 2 2 c 2 = k estão dadas abaio: = 1 nos planos = k, = k e

11 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Seções no plano = k: elipses 2 a b = 1 + k2 2 c. 2 Seções no plano = k: Para k = b temos as retas = c a e = c a ; Para k < b temos as hipérboles 2 a 2 2 c = 1 k2, cujos focos estão no eio ; 2 b2 Para k > b temos as hipérboles 2 c 2 2 a = k2 1, cujos focos estão no eio. 2 b2 Observação : as seções no plano = k se comportam de forma análoga às seções no plano = k. Observação : O eio do hiperbolóide de uma folha corresponde à variável cujo coeficiente é negativo. Observação : Se a = b, o hiperbolóide de uma folha 2 a a 2 2 c = 1 é uma 2 superfície de revolução cujo eio de revolução é o eio. Observação : A equação ( 0) 2 + ( 0) 2 ( 0) 2 = 1 é a equação a 2 b 2 c 2 de um hiperbolóide de uma folha deslocado, com centro no ponto ( 0, 0, 0 ), cujo eio é o eio Hiperbolóide de Duas Folhas Neste caso, temos que dois dos sinais do lado esquerdo da equação (1) são negativos. Por eemplo, a equação canônica de um hiperbolóide de duas folhas, cujo eio é o eio, é dada por c 2 2 a 2 2 b = 1, 2 onde a, b e c são constantes positivas. 2 Os traços do hiperbolóide de duas folha 2 c 2 2 a 2 = 1 nos planos coordenados, 2 b2 e estão dados abaio: Traço no Plano : não há; Traço no Plano : hipérbole 2 c 2 2 a 2 = 1; Traço no Plano : hipérbole 2 c 2 2 b 2 = 1. Na figura ao lado temos o hiperbolóide de duas folhas e seus traços e nas figuras abaio temos os dois traços em separado.

12 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise As seções do hiperbolóide de duas folhas 2 c 2 2 a 2 = 1 nos planos = k, = k e 2 b2 = k estão dadas abaio: Seções no plano = k: Para k = c temos os pontos (0, 0, c) e (0, 0, c); Para k < c a seção é vaia; Para k > c temos as elipses 2 a b 2 = k2 c 2 1. Seções no plano = k: as hipérboles 2 c 2 2 a 2 = 1 + k2 b 2. Seções no plano = k: as hipérboles 2 c 2 2 b 2 = 1 + k2 a 2. Observação : O eio do hiperbolóide de duas folhas corresponde à variável cujo coeficiente é positivo. Não eiste traço no plano coordenado perpendicular ao eio. Observação : Se a = b, o hiperbolóide de duas folhas 2 a 2 2 b 2 2 c = 1 é uma 2 superfície de revolução cujo eio de revolução é o eio. Observação : A equação ( 0) 2 ( 0) 2 ( 0) 2 = 1 é a equação a 2 b 2 c 2 de um hiperbolóide de duas folhas com centro no ponto ( 0, 0, 0 ), cujo eio é o eio Cone Elíptico Neste caso, temos que a forma canônica de um cone elíptico é dada por ± 2 a ± 2 2 b ± 2 = 0, (4) 2 c2 onde a, b e c são constantes positivas e nem todos os sinais do lado esquerdo da equação são iguais. Por eemplo, a equação canônica de um cone elíptico, cujo eio é o eio, é dada por a b 2 2 c = 0, 2 onde a, b e c são constantes positivas. 2

13 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Os traços do cone elíptico 2 a b 2 = 0 nos planos coordenados, e estão 2 c2 dados abaio: Traço no Plano : o ponto (0, 0, 0); Traço no Plano : temos as retas = c a e = c a ; Traço no Plano : temos as retas = c b e = c b. Na figura ao lado temos o cone elíptico e seus traços e nas figuras abaio temos os três traços em separado. As seções do cone elíptico 2 a b 2 2 c 2 dadas abaio: Seções no plano = k, k 0: as elipses 2 a b 2 = k2 c 2 ; Seções no plano = k, k 0: as hipérboles 2 c 2 2 a 2 = k2 b 2 ; Seções no plano = k, k 0: as hipérboles 2 c 2 2 b 2 = k2 a 2. = 0 nos planos = k, = k e = k estão Observação : O eio do cone elíptico corresponde à variável cujo coeficiente é negativo. Observação : Se a = b, temos o cone circular 2 a a 2 2 c 2 superfície de revolução cujo eio de revolução é o eio. = 1, que é uma Observação : A equação ( 0) 2 + ( 0) 2 ( 0) 2 = 0 é a equação a 2 b 2 c 2 de um cone elíptico deslocado, com centro no ponto ( 0, 0, 0 ), cujo eio é o eio Parabolóide Elíptico Neste caso, temos que as formas canônicas de um parabolóide elíptico são dadas pelas

14 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise equações abaio. ( ) 2 = ± a b 2 onde a, b e c são constantes positivas. ( ) 2, = ± a c 2 ( ) 2 e = ± b + 2. (5) 2 c 2 Por eemplo, a equação canônica de um parabolóide elíptico com concavidade voltada para cima, cujo eio é o eio, é dada por onde a e b são constantes positivas. = 2 a b 2, Os traços do parabolóide elíptico = 2 a b 2 estão dados abaio: nos planos coordenados, e Traço no plano : o ponto (0, 0, 0); Traço no plano : temos a parábola = 2 b 2 ; Traço no plano : temos a parábola = 2 a 2. Na figura ao lado temos o parabolóide elíptico e seus traços e nas figuras abaio temos os três traços em separado. As seções do parabolóide elíptico = 2 a b 2 dadas abaio: Seções no plano = k, k 0: Para k > 0 temos as elipses 2 a b = k; 2 Para k < 0 a seção é vaia; Seções no plano = k: as parábolas = 2 a 2 + k2 b 2. Seções no plano = k: as parábolas = 2 b 2 + k2 a 2. nos planos = k, = k e = k estão

15 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Observação : O eio do parabolóide elíptico corresponde à variável cujo epoente é igual a um. Observação : Se a = b, temos o parabolóide circular = 2 a + 2, que é uma 2 a2 superfície de revolução cujo eio de revolução é o eio. Observação : A equação 0 = ( 0) 2 + ( 0) 2 é a equação de a 2 b 2 um parabolóide elíptico com concavidade voltada para cima deslocado, com centro no ponto ( 0, 0, 0 ), cujo eio é o eio Parabolóide Hiperbólico Neste caso, temos que as formas canônicas de um parabolóide hiperbólico são dadas pelas equações abaio. ( ) ( ) ( ) 2 = ± a 2 2, = ± 2 b 2 a 2 2 e = ± 2 b 2 a 2. (6) 2 b 2 onde a, b e c são constantes positivas. Por eemplo, a equação canônica de um parabolóide hiperbólico é dada por onde a e b são constantes positivas. = 2 b 2 2 a 2, Os traços do parabolóide hiperbólico = 2 b 2 nos planos coordenados, e 2 a2 estão dados abaio: Traço no plano : temos as retas = b a e = b a ; Traço no plano : temos as parábolas = 2 b 2 ; Traço no plano : temos as parábolas = 2 a 2. Na figura ao lado temos o parabolóide hiperbólico e seus traços e nas figuras abaio temos os três traços em separado.

16 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise As seções do parabolóide hiperbólico = 2 b 2 2 a 2 estão dadas abaio: nos planos = k, = k e = k Seções no plano = k, k 0: Para k > 0 temos as hipérboles 2 a 2 = k, cujos focos estão no eio ; 2 b2 Para k < 0 temos as hipérboles 2 a 2 = k, cujos focos estão no eio ; 2 b2 Seções no plano = k: as parábolas = 2 a + k2 2 b 2 (concavidade para baio). Seções no plano = k: as parábolas = 2 b k2 (concavidade para cima). 2 a2 Observação : A equação 0 = ( 0) 2 ( 0) 2 é a equação de um b 2 a 2 parabolóide hiperbólico deslocado, com centro no ponto ( 0, 0, 0 ).