Cálculo III-A Lista 10

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1 Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada Cálculo III-A Lista Eercício : eja a parte do cilindro + entre os planos e +. a) Parametrie e esboce. b) Calcule d. olução: a) A superfície é mostrada na figura que se segue. Usamos θ e { como parâmetros para parametriar. Temos : ϕθ,) cosθ,senθ,), onde θ π θ,) : + +cosθ. b) Temos ϕ θ ϕ i j k senθ cosθ cosθ,senθ,) e ϕθ ϕ cos θ+sen θ.

2 Cálculo III-A Lista 9 Então, π d ϕθ ϕ dθd π +cosθ) dθ [ θ +senθ+ π θ + senθ +cosθ ddθ +cosθ+cos θ ) dθ )] π π + ) π π. Eercício : Calcule f,,)d, onde f,,) + e : + +,. olução: O esboço de está representado na figura que se segue. φ Observe que tgφ / implica φ π/. Uma parametriação de é dada por ϕφ,θ) senφcosθ,senφsenθ,cosφ) com φ,θ) : φ π/ e θ π. Já vimos que, no caso da esfera, + + a e d a senφdφdθ. Logo, d senφdφdθ. Assim, f,,)d f ϕφ,θ))senφdφdθ 6 sen φcos θ+sen φsen θ)senφdφdθ π/ π sen φsenφdφdθ 6 cos φ)senφ dθdφ π π/ [ π ) [ cos φ) dcosφ) π )] π. cosφ cos φ ] π/

3 Cálculo III-A Lista 5 Eercício :Calculeamassa da superfície, parte do plano dentro do cilindro +, sendo a densidade dada por δ,,). olução: O esboço de está representado na figura que se segue. A superfície é descrita por : f,), com,) : +. Como d +f ) +f ) dd, temos d + ) + dd dd. Temos M δ,,)d d dd dd. Usando coordenadas polares, temos dd r sen θ)rdrdθ r sen θdrdθ rθ rθ Logo, π sen θ r drdθ π M sen θdθ [ θ senθ π u.m. ] π π.

4 Cálculo III-A Lista 5 Eercício :Umalâminatemaformadapartedoplano recortadapelocilindro ) +. etermine a massa dessa lâmina se a densidade no ponto,,) é proporcional à distância desse ponto ao plano. olução: As figuras que se seguem mostram a lâmina e a sua projeção sobre o plano. é dada por :,), onde,) : ) +. Temos ) ) dd d dd dd. A densidade f,,) é dada por f,,) k, onde k é uma constante de proporcionalidade. Como M f,,)d temos M k d k dd k dd. Passando para coordenadas polares, temos

5 Cálculo III-A Lista 5 M k π/ cosθ rcosθrdrdθ k π/ cosθ r cosθdrdθ π/ π/ k π/ [ r cosθ π/ 8k k ] cosθ π/ +cosθ π/ π/ π/ k [ θ+senθ+ dθ 8k ) dθ k π/ π/ π/ π/ +cosθ +cos θ ) dθ) θ + senθ )] π/ π/ cos θdθ +cosθ+cos θ ) dθ k π +π) k π u.m. Eercício 5: eja uma superfície fechada tal que, onde e são as superfícies de revolução obtidas pela rotação em torno do eio das curvas C :, e C :, com, respectivamente. e ρ,,) + é a função que fornece a densidade massa por unidade de área) em cada ponto,,), calcule a massa de. olução: O esboço de está representado na figura que se segue. C C

6 Cálculo III-A Lista 5 Tem-se Cálculo de + d M ρ,,) d + d + d + + d. Uma parametriação da curva C é t) t t) t) t com t. Logo, t) t raio de uma circunferência transversal t) t altura dessa circunferência. Então, uma parametriação de é dada por ϕt,θ) tcosθ,tsenθ, t), com t,θ) : { t θ π. Tem-se ϕ t cosθ,senθ, ) ϕ θ tsenθ,tcosθ,) portanto i j k ϕ t ϕ θ cosθ senθ tsenθ tcosθ ) tcosθ, tsenθ, tcos } θ+tsen {{ θ } t tcosθ,senθ,). Logo ϕt ϕ θ t cos θ +sen θ+ t pois t e, portanto, Então, d ϕ t ϕ θ dtdθ t dtdθ.

7 Cálculo III-A Lista 5 + d t cos θ+t sen θ t dtdθ t dtdθ t π dθdt π t dt Cálculo de [ t π + d ] π. A superfície é dada por : f,), com,) : +. Como d +f ) +f ) dd, temos d ++ dd ou d dd. Observação: e é uma porção do plano ou c c constante), segue que d dd memorie este resultado). Logo, + d + dd. Passando para coordenadas polares, tem-se: rcosθ rsenθ dd rdrdθ + r e rθ : { r θ π. Logo, + d r r drdθ r drdθ rθ rθ Assim, ou r π dθdr π M π [ r r dr π + π M π + ) u.m. ] π.

8 Cálculo III-A Lista 55 Eercício 6: etermine o momento de inércia em relação ao eio da superfície parte do cone + entre os planos e, sendo a densidade constante. olução: O esboço de está representado na figura que se segue. Note que o eio de é o eio. Então I + ) ρ,,) d onde ρ,,) ρ. Logo, I ρ + ) d. A superfície pode ser descrita por : + f,), com,) : +. Tem-se f + portanto f +, + ) + ) Como d + ) + ) dd, temos d dd. Tem-se I ρ + ) d ρ + ) dd ρ + ) dd. Passando para coordenadas polares, tem-se: rcosθ { rsenθ θ π e dd rdrdθ rθ : r. + r

9 Cálculo III-A Lista 56 Então, I ρ r r drdθ rθ ρ r π ρ dθdr ρπ ρπ 6 ) 5 ρπ. rθ r drdθ r dr [ r ρ ] Eercício 7: Uma lâmina tem a forma de um hemisfério de raio a. Calcule o momento de inércia dessa lâmina em relação a um eio que passa pelo polo e é perpendicular ao plano que delimita o hemisfério. Considere a densidade no ponto P da lâmina proporcional à distância deste ponto ao plano que delimita o hemisfério. olução: em perda de generalidade, podemos considerar o hemisfério superior centrado em,, ), isto é, + + a, com portanto : ϕφ,θ) asenφcosθ, asenφsenθ, acosφ) onde φ π/ e θ π. Temos d a senφdφdθ. Como o eio que passa pelo polo, perpendicular ao plano, é o eio, temos I + ) f,,)d, com f,,) k e k é uma constante de proporcionalidade. Então, I k + ) d k π/ π ka 5 π/ π a sen φ acosφ a senφ dθdφ sen φcosφ dθdφ π/ kπa 5 sen φcosφ dφ [ ] kπa 5 sen φ π/ kπa5. Eercício 8: Mostre que o momento de inércia em relação ao eio da casca do cone + de altura h, que está no primeiro octante com densidade constante, é I Mh, onde M é a massa total. olução: A superfície pode ser vista na figura que se segue.

10 Cálculo III-A Lista 57 h C h Temos : +, com,) : + h, e portanto d dd. Como I + ) k d temos I k + ) dd k + ) dd. Passando para coordenadas polares, temos Mas I k k π/ h π/ [ r ] h M r r drdθ k dθ h k π/ k d k π/ h r drdθ dθ h k π 8 dd k A). Logo, k πh h k π. I Mh. Eercício 9: Calcule o momento de inércia da superfície homogênea, de massa M e de equação + R, R > ), com, em torno do eio.

11 Cálculo III-A Lista 58 R R olução: O esboço de está representado na figura que se segue. Umaparametriaçãode édadaporϕt,) Rcost,Rsent,), comt,) : Temos ϕ t Rsent,Rcost,) e ϕ,,) portanto i j k ϕ t ϕ Rsent Rcost Rcost,Rsent,) e ϕ t ϕ R. Como d ϕ t ϕ dtd, temos d Rdtd. { t π. Observação: aqui por diante, no caso do cilindro + R, use o fato de que d Rdtd. O momento de inércia é dado por I + )δ,,) d }{{} k π k R cos t+r sen t)rdtd kr Como M ka) kπr) kπr, temos I MR. ddt kπr. Eercício : Encontre a coordenada do centro de massa da superfície homogênea parte do paraboloide + cortada pelo plano. olução: O esboço de está representado na figura que se segue. A superfície é dada por : +, com,) : +. Temos d + ) + ) dd +) +) dd + + dd.

12 Cálculo III-A Lista 59 e é homogênea então A) d. Temos A) d + + dd. Passando para coordenadas polares, temos rcosθ, rsenθ, dd rdrdθ e + r. Logo, A) +r r drdθ rθ Temos também 8 π π d +r ) / 8r) dθdr [+r ) /] + ) d π ). + ) + + dd rθ r +r )/ rdrdθ π r +r ) / rdr. Faendo u + r, temos du 8r dr e r u. Para r, temos u e, para r,

13 Cálculo III-A Lista 6 temos u 5. Logo, 5 d π u u / du 8 π 6 5 u / u /) du π 6 [ 5 u5/ ] 5 u/ π ) Logo, portanto π 5 ) 5 π 5 ) 5+, ).