2 o Roteiro de Atividades: reforço da primeira parte do curso de Cálculo II Instituto de Astronomia e Geofísica

Transcrição

1 o Roteiro de Atividades: reforço da primeira parte do curso de Cálculo II Instituto de Astronomia e Geofísica Objetivo do Roteiro Pesquisa e Atividades: Critérios de Convergência e divergência de integrais impróprias, Laplace e função Gama e curvas de nível. Eercícios: Integrais definidas e aplicações: comprimento do gráfico e volume de sólido obtidos por rotação. Funções integráveis. Função dada por uma integral. Integrais Impróprias. Curvas no plano e no espaço. Parametrização de curvas dadas pela intersecção de superfícies. Reta tangente e comprimento de curva. Funções reais com duas e três variáveis: definição, gráfico e curvas de nível. Integrais definidas e aplicações. Aplicação dos conceitos se,,. Verifique se a função f() =, se = é integrável. Justifique.. Calculea e os conjuntos 3 f() dondef : [,3] IRcontínuacomf(),paratodo [,3], A = {(,y) IR : 3 e y f()} e B = {(,y) IR : 3 e y +3} são tais que a área de A B seja igual a 3 u.a... Eercícios de consolidação. Verifique quais das funções abaio são integráveis. Justifique. se =, ( ) a. f() = b. f() = e, com [,]. sen se < π/

2 se <, c. f() = se =, se < ( ) d. f() = sen se < /π, se =. Calcule as integrais definidas indicadas abaio: a. e d b. + d c. 3 d (3 5) Represente e calcule a área da região R = {(,y) IR : y e y +}. Calcule a área da região plana delimitada pela curva y = 3 e por sua reta tangente no ponto de abscissa =. (Desenhe a regiao) 5. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eio Oy do conjunto: a. A = {(,y) : y e }. b. A = {(,y) : e e y e } 6. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta y = 3 da região delimitada pelas parábolas y = e y =. 7. Calcule o volume da calota esférica de altura h, com h a, de uma esfera de raio a. 8. Um anel esférico é o sólido que permanece após a perfuração de um buraco cilíndrico através do centro de uma esfera sólida. Se a esfera tem o raio R e o anel esférico tem altura h, prove o fato notável de que o volume do anel depende de h, mas não de R. (ver figura)

3 Função integral. Aplicação dos conceitos. Determine a função derivada de: a. F() = t dt b. F() = 3+t8 e t dt c. F() = e t dt. Mostre que F () F() =, para todo IR, onde f é a função em.c. 3. Suponha que sen(π) = f(t)dt, onde f é uma função contínua. Determine o valor de f(), justificando seu cálculo. 3 Integrais Impróprias 3. Pesquisar Fazer um resumo e/ou pesquisar. os critérios de convergência;. os condições sobre k para que as integrais 3. os condições sobre k para que a integral. sobre a função Gama: Γ(k) = + d e e k d convirjam; k d convirja; + k e k d onde k > ; 5. sobre a transformada de Laplace F de uma função f: se f(t) é contínua para t >, a F é definida por F() = e t f(t)dt e o domínio de F é o conjunto de todos os números para os quais a integral converge. 3

4 3. Aplicação dos conceitos. Verifique qual das integrais abaio é definida, qual é imprópria (de a e/ou de a espécie). Justifique, sem preocupar-se com a convergência. a. sent dt b. +t d c. d d. ln(u ) du Observação: Tenha o cuidado de verificar, quando o intervalo de integração é do tipo [a, b], se se trata de integral definida ou imprópria.. Calcule as integrais impróprias indicadas abaio: a. t e t3 dt b. 3 d 3. Estude as integrais abaio, segundo sua convergência/divergência. a. + 3 u5 +7u du b. ( ) d c. + sen 8 d. Prove que se f for de ordem eponencial k,i.e. para todo t >, f(t) Me kt, M > a transformada de Laplace será convergente. Calcule a Transformada de Laplace das seguintes funções: a) f(t) = e t ; b) f(t) = t. 5. Prove que a função Gama Γ(k) = e k d onde k >, é uma integral imprópria convergente. Além disto. Calcule Γ(/) e Γ(); (Dica: Usar que. Mostre que Γ(k +) = kγ(k); 3. Mostre que Γ(k +) = k!. e d = π.) Observe que esta generalização do fatorial nos permite calcular facilmente (usando os resultados acima) que, 5!. Calcule.

5 3.3 Eercícios de consolidação. Calcule as integrais impróprias indicadas abaio:. 5.. e 3 d. ue u du 3. d 6. lnt dt 7. e /t t dt. d. (ln) lnt t dt. 9 + d 8. d 3 9 d. Seja a região R = {(,y) IR : e y e / }. Calcule a área de R e o volume do sólido obtido pela sua rotação em torno do eio O. 3. Calcule as integrais abaio: + d. 5. ln d 5. t dt +t 6. + d 3. ln 3 d d 7. + d e / d. Estude as integrais abaio, segundo sua convergência/divergência t +t dt. d e / d 3. d d. e cos(+ ) d cos d Curvas. Faça um esboço do traço (ou trajetória) das seguintes curvas planas parametrizadas: a. γ(t) = (,t) b. γ(t) = (t t,t) c. γ(t) = (t,t) d. γ(t) = (3t+,t ), t [,] e. γ(t) = (cos t,sen t) f. γ(θ) = (sen θ,cos θ) g. γ(t) = (e t cos t, e t sen t), t h. γ(t) = (sen t,sen t) i. γ(t) = (+cos t,3+sen t). Faça um esboço do traço (ou trajetória) das seguintes curvas espaciais: a. γ(t) = (,,t), t b. γ(t) = (,t,t), t c. γ(t) = (t,t, t ), t > d. γ(t) = (cos t,sen t,) e. γ(t) = (t,t,cos t), t 5

6 3. Relacione as equações paramétricas com os gráficos. Eplique a razão das escolhas. a. F(t) = (cost, t, sint) b. F(t) = (t, t 3, t +) c. F(t) = (t,, t ) +t d. F(t) = (sin3tcost, sin3tsint, t) e. F(t) = (cost, sint, sin5t) f. F(t) = (cost, sint, ln t). Dê uma parametrização para cada umas das curvas planas abaio: a. +y = b. 9 + y = c. (+) +y = 3 5. Determine a reta tangente à trajetória de cada curva dada, no ponto indicado. a. γ(t) = (sen t, cos t, t), no ponto γ(π/6). b. γ(t) = ( t, t, t), no ponto γ(). 6. a. Encontre uma parametrização para a curva γ : [,π] IR 3, obtida pela intersecção do cilindro +y = com o plano z = y. 7. Mostre que a curva γ(t) = (cos t, sen t cos t) tem duas retas tangentes em (,) e ache suas equações. 6

7 5 Funções de duas ou mais variáveis. Determine e represente graficamente o domínio de cada uma das funções abaio. a. f(,y) = ln( +y y ) b. f(,y) = c. z = y y + y d. z = ln(y 3 ) e. f(,y) = y. Esboce a família de curvas de nível das funções f (Determine o domínio de f) a. f(,y) = +y b. f(,y) = y c. f(,y) = y d. f(,y) = y e. f(,y) = ( y) f. f(,y) = y +y 3. Esboce os gráficos das funções abaio: g. f(,y) = y h. f(,y) = y a. z = y b. z = y c. z = y + d. z = +y 5. Sejam a função f(,y) = +y + e a curva γ(t) = (t cos t,t sen t, t +), t. Mostre que a trajetória (ou a imagem) da γ está contida no gráfico de f e faça um esboço dessa trajetória. 6. Dadas as funções abaio, determine o domínio de cada uma delas e descreva as suas superfícies de nível. a. f(,y,z) = y z b. f(,y,z) = 3 z c. f(,y,z) = y +z 7. São dadas a seguir as curvas de nível e os gráficos de seis funções de duas variáveis reais. Decida quais curvas de nível correspondem a quais gráficos. y y (I) (II) y y (III) (IV) 7

8 y.5.5 (V) y (VI) (a) (b) (c) (d) (e) (f) 8