TRANSFORMAÇÕES LINEARES

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1 1 TRANSFORMAÇÕES LINEARES Cristianeguedes.pro.br/cefet

2 Transformação Linear 2 Definição: Sejam U e V dois espaços vetoriais reais. Uma função T (ou aplicação) é denominada Transformação Linear de U em V se: T u1 u2 T u1 T u2, u1, u2 U T u T u u U a) b), R, U V Obs: Se então a transformação linear é chamada de Operador Linear.

3 Eemplos 3 1) Transformação Linear Nula T(v) =, v 2) Operador Linear Identidade T(v) = v, v 3) 4) 5) tal que T : U V T u u R u U, fio, 2 3 T : R R dada por T, 2,, T : n n P R P R T f f definida por f

4 Contra-eemplo 4 T : R R definida por 2, T R pois temos que: T u u u u u 2u u u T u T u u u

5 Propriedades 5 Sejam dois espaços vetoriais reais e uma transformação linear entre eles. Então: P1) T P2) T u T u, u U P3),, T u v T u T v u vu P4) Se U é um subespaço de V, então a imagem de U pela transformação linear é um subespaço vetorial de V, isto é, T(U) é subespaço vetorial real. n P 5) T u T u n i i i i i1 i1

6 Eercício 6 Verificar se as funções abaio são transformações lineares e determinar seus núcleos e imagens: a) T : dada por T, R R b) c) T : P R R definida por , 2 1,3 T a a a a a a a a T : tal que 2 R M R 2 T, 2

7 Núcleo e Imagem 7 Dados dois espaços vetoriais reais e uma transformação linear entre eles, denomina-se Núcleo da Transformação o subconjunto do domínio da função dado por: ker( T) N( T) u U T( u) Dados dois espaços vetoriais reais e uma transformação linear entre eles, denomina-se Imagem da Transformação o subconjunto do contra-domínio da função dado por: Im( T) vv u U onde T( u) v

8 Função Injetora e Função Sobrejetora 8 Definição: Uma Função do conjunto A no conjunto B é dita: 1. Injetora se: a, a A, a a então F( a1) F( a2) ou seja, a, a A, F a F a a a 2. Sobrejetora se: b B, a A tal que F a ou seja, Im F B. b

9 Teorema 9 Proposição: Uma transformação linear é injetora se e somente se N T Teorema do Núcleo e da Imagem: Dados dois espaços vetoriais reais de dimensão finita. Dada uma transformação linear entre eles, então: N T T dim U dim dim Im

10 Proposição 1 Proposição: Dada uma transformação linear, temos que se base de U U u, u,..., u então 1 2 n T T u T u T u Im,,..., 1 2 As imagens de uma base geram o conjunto Imagem. n

11 Determinação de uma TL 11 Uma transformação linear L:R 2 R 2 fica completamente determinada quando se conhecem L(e 1 ) e L(e 2 ), onde (e 1, e 2 ) formam uma base do R 2. L(e 1 ) = ae 1 + be 2, L(e 2 ) = ce 1 + de 2 p = e 1 + e 2 L(p) = L(e 1 )+L(e 2 ) = = (ae 1 +be 2 )+(ce 1 +de 2 ) = (a+c)e 1 + (b+d)e 2 Matriz da transformação a b c d L(e 1 ) L(e 2 )

12 Transformações Geométricas no R 2 12 O mais comum é representar uma transformação linear com respeito à base canônica do R 2 : e 1 = (1, ), e 2 = (,1). L(e 2 ) e 2 L(e 1 ) e 1 Transformações lineares preservam elementos lineares (retas, planos, etc)

13 Algumas transformações lineares correspondem a transformações geométricas importantes. Escalas. Refleões. Rotações. Cisalhamento. 13

14 Escala Redução (< s <1), Aumento (s >1) c b s s s s a a 14

15 Espelhamento = -1. = 1 1 Espelhamento em relação ao eio p p 15

16 Rotação ) ( ) ( r r r r r r r r r r p p R ), ( 16

17 Cisalhamento 1 tan 1 tan 17

18 Eemplo 18 Considerando B 1 a base canônica e : Seja B 2 a base que se obtém a partir de uma rotação de =6 em B 1. v B Determinar: v B 2 Resp:

19 Transformações 3D tz t t z z z s s s z z Translação z z 1 Escala Rotação ao redor do eio z 19

20 Rotação ao redor do eio z Rotação ao redor do eio R z R sen ( ) : sen 1 ( ) : sen sen 1 Rotação ao redor do eio R ( ) : 1 sen sen 2

21 Matriz de uma TL 21 Dados dois espaços vetoriais reais e uma transformação linear entre eles temos: B u1, u2,..., un T u 1 11v1 12v pvp T u 2 21v1 22v pv... T u v v... v n n1 1 n2 2 np p U Bases G v1, v2,..., vp p V

22 Assim T BG, n n2 1p 2p np É dita Matriz da Transformação Linear T em relação às bases B e G. OBS: As colunas dessa matriz são as coordenadas das imagens dos vetores da base B em relação à base G. 22

23 Eercícios: 23 1) Seja a TL T(v) = u v. Sabendo que u = (1, 1, 1), escreva a forma matricial da transformação. 2) Escreva a matriz da TL tal que: T(1,, 1) = (,, 1) T(1, 1, 1) = (1,, 1) T(,, 1) = (1, 1, 1) 3) Verifique se as seguintes TL admitem inversa: T(, ) = (2, +) T(,, z) = (2++z, ++z, )

24 4) Dada a matriz da TL abaio, determine, se eistir, a matriz da TL inversa. T 1 1 5) Dada a TL : T(1, 1, ) = (1, 1, ), T(, 1, ) = (1, 1, 1) e T(1, 1, 1) = (, 1, ), determine: a) A matriz da TL. b) A Imagem da TL. c) O vetor u, tal que T(u) =. d) A matriz da TL inversa, se eistir