Isometrias do Plano Euclidiano

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1 Isometrias do Plano Euclidiano Semana do ICE 2013 Semana do ICE 2013 () Isometrias do Plano Euclidiano 1 / 7

2 O Plano Euclidiano E O Plano Euclidiano E é o plano euclidiano da geometria clássica (ensino médio). Semana do ICE 2013 () Isometrias do Plano Euclidiano 2 / 7

3 O Plano Euclidiano E O Plano Euclidiano E é o plano euclidiano da geometria clássica (ensino médio). Noções Básicas Importantes 1 Distância entre pontos. Semana do ICE 2013 () Isometrias do Plano Euclidiano 2 / 7

4 O Plano Euclidiano E O Plano Euclidiano E é o plano euclidiano da geometria clássica (ensino médio). Noções Básicas Importantes 1 Distância entre pontos. 2 Ângulos. Semana do ICE 2013 () Isometrias do Plano Euclidiano 2 / 7

5 O Plano Euclidiano E O Plano Euclidiano E é o plano euclidiano da geometria clássica (ensino médio). Noções Básicas Importantes 1 Distância entre pontos. 2 Ângulos. 3 Orientação no plano. Semana do ICE 2013 () Isometrias do Plano Euclidiano 2 / 7

6 O Plano Euclidiano E Propriedade Sejam A, B e C pontos de E. Então, d(a, B) + d(b, C) = d(a, C) se, e somente se, A, B e C são colineares e B está entre A e C. Semana do ICE 2013 () Isometrias do Plano Euclidiano 3 / 7

7 O Plano Euclidiano E Propriedade Sejam A, B e C pontos de E. Então, d(a, B) + d(b, C) = d(a, C) se, e somente se, A, B e C são colineares e B está entre A e C. Propriedade Um ponto X é determinado quando se conhecem suas distâncias a três pontos não colineares quaisquer. Semana do ICE 2013 () Isometrias do Plano Euclidiano 3 / 7

8 Definição Uma isometria do plano euclidiano é uma aplicação f : E E tal que, quaisquer que sejam os pontos X, Y E, tem-se d(f(x), f(y )) = d(x, Y ). Semana do ICE 2013 () Isometrias do Plano Euclidiano 4 / 7

9 Definição Uma isometria do plano euclidiano é uma aplicação f : E E tal que, quaisquer que sejam os pontos X, Y E, tem-se d(f(x), f(y )) = d(x, Y ). Exemplos 1 Identidade. Semana do ICE 2013 () Isometrias do Plano Euclidiano 4 / 7

10 Definição Uma isometria do plano euclidiano é uma aplicação f : E E tal que, quaisquer que sejam os pontos X, Y E, tem-se d(f(x), f(y )) = d(x, Y ). Exemplos 1 Identidade. 2 Translação determinada pelos pontos A e B. Semana do ICE 2013 () Isometrias do Plano Euclidiano 4 / 7

11 Definição Uma isometria do plano euclidiano é uma aplicação f : E E tal que, quaisquer que sejam os pontos X, Y E, tem-se d(f(x), f(y )) = d(x, Y ). Exemplos 1 Identidade. 2 Translação determinada pelos pontos A e B. 3 Rotação por um ângulo α em torno de um ponto P. Semana do ICE 2013 () Isometrias do Plano Euclidiano 4 / 7

12 Definição Uma isometria do plano euclidiano é uma aplicação f : E E tal que, quaisquer que sejam os pontos X, Y E, tem-se d(f(x), f(y )) = d(x, Y ). Exemplos 1 Identidade. 2 Translação determinada pelos pontos A e B. 3 Rotação por um ângulo α em torno de um ponto P. 4 Reflexão em uma reta r. Semana do ICE 2013 () Isometrias do Plano Euclidiano 4 / 7

13 Propriedades 1 Toda isometria leva retas em retas, preservando a noção de estar entre. Semana do ICE 2013 () Isometrias do Plano Euclidiano 5 / 7

14 Propriedades 1 Toda isometria leva retas em retas, preservando a noção de estar entre. 2 Toda isometria preserva ângulos. Semana do ICE 2013 () Isometrias do Plano Euclidiano 5 / 7

15 Propriedades 1 Toda isometria leva retas em retas, preservando a noção de estar entre. 2 Toda isometria preserva ângulos. 3 Toda isometria é injetora. Semana do ICE 2013 () Isometrias do Plano Euclidiano 5 / 7

16 Propriedades 1 Toda isometria leva retas em retas, preservando a noção de estar entre. 2 Toda isometria preserva ângulos. 3 Toda isometria é injetora. 4 Toda isometria é sobrejetora. Semana do ICE 2013 () Isometrias do Plano Euclidiano 5 / 7

17 Propriedades 1 Toda isometria leva retas em retas, preservando a noção de estar entre. 2 Toda isometria preserva ângulos. 3 Toda isometria é injetora. 4 Toda isometria é sobrejetora. 5 Toda isometria possui uma inversa, que também é uma isometria. Semana do ICE 2013 () Isometrias do Plano Euclidiano 5 / 7

18 Propriedades 1 Toda isometria leva retas em retas, preservando a noção de estar entre. 2 Toda isometria preserva ângulos. 3 Toda isometria é injetora. 4 Toda isometria é sobrejetora. 5 Toda isometria possui uma inversa, que também é uma isometria. 6 A composta de duas isometrias é uma isometria. Semana do ICE 2013 () Isometrias do Plano Euclidiano 5 / 7

19 Propriedades 1 Toda isometria leva retas em retas, preservando a noção de estar entre. 2 Toda isometria preserva ângulos. 3 Toda isometria é injetora. 4 Toda isometria é sobrejetora. 5 Toda isometria possui uma inversa, que também é uma isometria. 6 A composta de duas isometrias é uma isometria. Exemplo Reflexão transladada. Semana do ICE 2013 () Isometrias do Plano Euclidiano 5 / 7

20 Dois Teoremas Fundamentais Teorema 1 Sejam f e g duas isometrias. Se existem três pontos não colineares A, B e C tais que f(a) = g(a), f(b) = g(b) e f(c) = g(c), então f = g. Semana do ICE 2013 () Isometrias do Plano Euclidiano 6 / 7

21 Dois Teoremas Fundamentais Teorema 1 Sejam f e g duas isometrias. Se existem três pontos não colineares A, B e C tais que f(a) = g(a), f(b) = g(b) e f(c) = g(c), então f = g. Teorema 2 Qualquer isometria diferente da identidade é uma composição de, no máximo, três reflexões em retas distintas. Semana do ICE 2013 () Isometrias do Plano Euclidiano 6 / 7

22 Descrição das Isometrias Teorema Seja f uma isometria. Então f é uma das seguintes aplicações: 1 Identidade. 2 Reflexão em uma reta. 3 Rotação em torno de um ponto. 4 Reflexão transladada. Semana do ICE 2013 () Isometrias do Plano Euclidiano 7 / 7