2 - VETORES. Geométricamente, vetores são representados por segmentos orientados no plano ou no espaço. Figura 1: Vetor

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1 2 - VETORES Geométricamente, vetores são representados por segmentos orientados no plano ou no espaço. Figura 1: Vetor

2 Segmentos orientados com mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento representam o mesmo vetor. Figura 2: Vetores iguais

3 2.1 Direção e Sentido Dois vetores v e u não nulos têm a mesma direção se as retas suportes desses vetores são paralelas ou coincidentes. Dois vetores opostos, que possuem a mesma direção, têm sentidos contrários. u r s u v r~s v r//s Figura 3a: Vetores u e v com mesma direção e mesmo sentido.

4 2.1 Direção e Sentido Dois vetores v e u não nulos têm a mesma direção se as retas suportes desses vetores são paralelas ou coincidentes. Dois vetores opostos, que possuem a mesma direção, têm sentidos contrários. u r s u v r~s v r//s Figura 3b: Vetores u e v com mesma direção e sentidos contrários.

5 2.2 Vetor unitário:

6 2.2 Vetor unitário: 2.3 Vetores colineares: Dois vetores u e v são colineares se tiverem a mesma direção.

7 2.2 Vetor unitário: 2.3 Vetores colineares: Dois vetores u e v são colineares se tiverem a mesma direção. 2.4 Vetores coplanares: Dois vetores u e v quaisquer são sempre coplanares. Três vetores poderão ou não ser coplanares.

8 u v w Figura 4a: u, v e w são coplanares

9 u v w Figura 4a: u, v e w são coplanares u v w Figura 4b: u, v e w não são coplanares

10 u 2.5 Soma de Vetores

11 2.5 Soma de Vetores u v

12 2.5 Soma de Vetores u v u+v Figura 5a: Soma de vetores

13 2.5 Soma de Vetores u v u u+v = v+u v u+v Figura 5a: Soma de vetores v u

14 A soma u+v é a diagonal do paralelogramo determinado por u e v. Figura 5b: Soma de vetores

15 A soma u+v é a diagonal do paralelogramo determinado por u e v. u Figura 5b: Soma de vetores

16 A soma u+v é a diagonal do paralelogramo determinado por u e v. u v Figura 5b: Soma de vetores

17 A soma u+v é a diagonal do paralelogramo determinado por u e v. v u w Figura 5b: Soma de vetores

18 A soma u+v é a diagonal do paralelogramo determinado por u e v. v u u+v w Figura 5b: Soma de vetores

19 A soma u+v é a diagonal do paralelogramo determinado por u e v. v u u+v (u+v)+w w Figura 5b: Soma de vetores

20 A soma u+v é a diagonal do paralelogramo determinado por u e v. v u v+w w Figura 5b: Soma de vetores

21 A soma u+v é a diagonal do paralelogramo determinado por u e v. v u v+w w u+(v+w) Figura 5b: Soma de vetores

22 A soma u+v é a diagonal do paralelogramo determinado por u e v. v u u+v v+w w (u+v)+w = u+(v+w) Figura 5b: Soma de vetores

23 Propriedades:

24 v + (-u) = v - u v Figura 6: Diferença de vetores

25 v + (-u) = v - u v u Figura 6: Diferença de vetores

26 v + (-u) = v - u v -u u Figura 6: Diferença de vetores

27 v + (-u) = v - u v -u u Figura 6: Diferença de vetores

28 v + (-u) = v - u v + (-u) = v - u v -u u Figura 6: Diferença de vetores

29 v + (-u) = v - u v + (-u) = v - u v v -u u u Figura 6: Diferença de vetores

30 v + (-u) = v - u v + (-u) = v - u v v v - u -u u u Figura 6: Diferença de vetores

31 2.6 Multiplicação por um escalar

32 2.6 Multiplicação por um escalar

33 2.6 Multiplicação por um escalar

34 2.6 Multiplicação por um escalar

35 2.6 Multiplicação por um escalar

36 2.6 Multiplicação por um escalar

37 2.6 Multiplicação por um escalar

38 2.6 Multiplicação por um escalar v Figura 7: Multiplicação de vetor por escalar

39 2.6 Multiplicação por um escalar v 2v Figura 7: Multiplicação de vetor por escalar

40 2.6 Multiplicação por um escalar v 2v -1.5v Figura 7: Multiplicação de vetor por escalar

41 2.6 Multiplicação por um escalar v 2v -1.5v 0.5v Figura 7: Multiplicação de vetor por escalar

42 2.7 Ângulo entre vetores A. v u O. v u. B

43 2.7 Ângulo entre vetores A. v u O. v u Figura 8: Ângulo entre vetores. B v u

44 u v

45 u v v u u+v u. v

46 2.8 Vetores no Figura 9: Decomposição de um vetor no plano

47

48 y (0,1) (1,0) 0 x Figura 10: Base canônica

49 y 0 x Figura 11: Decomposição de um vetor no plano xy

50 y y. 0 x Figura 12: 0 x Figura 13:

51 3 y. P(2,3) 0 2 x

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54

55

56 y 0 x Figura 14: Soma de vetores

57 y 0 x Figura 14: Soma de vetores

58 y x

59 y x

60 y 0 x Figura 15: Multiplicação de um vetor por um escalar

61 y 0 x Figura 15: Multiplicação de um vetor por um escalar

62 y x

63 y x

64 y x

65 y x -9

66

67

68 y. A. B O x Figura 16: Vetor B - A

69 y. A. B O x Figura 16: Vetor B - A

70 A. y C. B. D P. O x

71 A. y C. B. D P. O x

72

73 C. M.. N A.. B

74 y 0 x Figura 17: Vetor no plano

75 y x

76 y 0 x

77 y 0 x

78 y 0 x

79 Placa

80 y Placa 0 x

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82 REFERÊNCIAS [1] GEOMETRIA ANALÍTICA; Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle. [2] GEOMETRIA ANALÍTICA; Fabiano José dos Santos, Silvimar Fábio Ferreira. [3] MATRIZES, VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA; Reginaldo J. Santos, Departamento de Matemática-ICEx Universidade Federal de Minas Gerais