Aquele lembrete que você de Exatas já deve estar cansado de saber e, por isso, aprofundaremos algumas coisinhas já já...

Transcrição

1 Vetores RESUMO Lembrex! Aquele lembrete que você de Exatas já deve estar cansado de saber e, por isso, aprofundaremos algumas coisinhas já já... Primeiramente, gostaria de alertar que o estudo de Vetores é muito mais complexo do que será apresentado nesse resumo, podendo ser aprofundado em Geometria Analítica e Álgebra Linear. Dito isso, vamos a uma definição razoável para prosseguirmos tranquilamente nos nossos estudos. Vetor: ente matemático que possui 3 características. 1) Módulo: Nº + (possível)* unidade de medida. 2) Direção: Da reta suporte. 3) Sentido: Obs.1: Vale lembrar que isso já foi apresentado inicialmente no nosso primeiro módulo de Conceitos Básicos da Física. Obs.2: Para ficar mais completo, na verdade, a direção é dada pelo ângulo que a reta suporte faz com a horizontal. Obs.3: Formalmente não se diz seta! Toda essa representação acima deve ser chamada de imagem geométrica de um vetor. Obs.4: Uma pequena consideração concernente à representação do módulo do vetor. Veja abaixo: Física 1 1

2 Representação: A = 2u B = 2u C = 2u Ou ainda: A = 2u B = 2u C = 2u O módulo, pois, é uma comparação do vetor com unidade de medida padrão respectiva de cada grandeza física. Rigorosamente, levando em conta as 3 características de um vetor, os vetores acima são diferentes devido às diferenças na direção e sentido, tendo eles apenas módulos iguais. Tipos de Vetores A) Vetores iguais ou equipolentes: Mesmo módulo Mesma direção Mesmo sentido. Notação: u = v u = v Obs.1: Vetores paralelos. Obs.2: Diferentes representações do mesmo vetor. B) Vetores opostos: Mesmo módulo Mesma direção Sentidos contrários! Física 1 2

3 Notação: A B A = B Obs.1: É claro que eu ainda poderia escrever: A = B ou ainda A = B Mas aí estamos nos referindo ao módulo dos vetores Obs.2: Vetores antiparalelos. C) Vetores concorrentes: Vetores cuja reta suporte se interceptam em um ponto. D) Vetor nulo: Origem = Extremidade Notação: N = 0 Obs.: Você poderá se deparar com o seguinte abuso de linguagem. N = 0 Tecnicamente errado, pois não se pode ter um vetor em cima de um escalar! Se liga! Versor vetor cujo módulo vale 1, ou como gostamos de chamá-lo, vetor unitário. Física 1 3

4 Obs.: Alguns candangos gostam de anotar o vetor unitário da seguinte maneira: e são os vetores unitários. Veremos mais adiante o quão importante são os versores, principalmente na hora da notação. Soma de Vetores A) Método do Polígono...puramente geométrico!...é li S = A + B + C B) Método do Paralelogramo...método geométrico e analítico....utilizado de 2 a 2 vetores....desenho final é um balãozinho de São João! Física 1 4

5 Obs.1: Se o desenho final for um triângulo retângulo PIT neles! Ah, PIT é Pitágoras! Obs.2: E se não for triângulo retângulo Teorema dos cossenos Resumindo, temos que: Se liga! na fórmula do Teorema dos cossenos, já te dou um empurrãozinho lá para a base da base sobre a distinção do uso dessa ferramenta na Matemática e na Física. Física 1 5

6 Subtração de Vetores Ex.: Se temos que fazer x y Vamos, primeiramente, rescrever essa operação de maneira a entendermos o que significa subtrair vetores. E o que é isso, ora bolas? Subtrair é somar com o vetor oposto (ou simétrico). Bota o olhão aqui embaixo nessas representações geométricas: Não sei se você percebeu meu e minha camarada, mas nós utilizamos as mesmas regras de adição supracitadas. Só não podemos esquecer de executá-las com o vetor oposto. Com o tempo e a prática, perceberás rapidamente que a subtração é a diagonal inversa do paralelogramo àquela que seria resultante da soma dos vetores: Multiplicação do vetor por um escalar -----Escalar Ex.: 2a Acho que vale lembrar que uma multiplicação não deixa de ser uma adição, ou seja, no caso aqui, teremos que 2a = a + a Física 1 6

7 Ex.: 1 2 a Nesses casos, em relação ao escalar n podemos constatar que: n R\{0,1} direção e sentido são conservados Traduzindo é que: Para todo escalar n, excetuando o 0 e o 1, a única coisa que muda no vetor resultante é o seu módulo. Veja: -----Escalar Ex.: 3 2 b Se o vetor era 3 2 b e queremos 3 2 b, fazemos: Só mais alguns exemplos: Física 1 7

8 E tcharam!!!!! Projeção ortogonal de vetores... é a sombra do vetor no eixo desejado. vetor u = u = AB = B A = (x f, y f ) (x i, y i ) Física 1 8

9 u = x 2 + y² Física 1 9

10 a a = (a x, a y, a z ) a = a x i + a y j + a z k a 2 = a x 2 + a y 2 + a z 2 Física 1 10

11 A = Acosθ A _ _ = Asenθ v = v v 2 2, onde v R W = ( 1) ,24 dist(g, L) = GL = (c a) 2 + (d b)² Física 1 11

12 dist(p, Q) = (3 1)² + (1 2)² = 5 u = (x 1, y 1, z 1 ) e v = (x 2, y 2, z 2 ) u v = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 < u, v > v w = ( 2) ( 1) = 9 v w = v w cosθ θ Física 1 12

13 Física 1 13

14 A e B A B i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1) A B ou A B u = (5,4,3) v = (1,0,1) u v Física 1 14

15 u v = 4i 2j 4k Física 1 15

16 u v u e v θ u v = u v senθ u v u v u e v, e u v θ Física 1 16

17 u v u v v [u, v, w ] u (v w ) Física 1 17

18 Física 1 18