VETORES. DEFINIÇÃO DE GRANDEZA É tudo aquilo que pode ser medido Exemplos: Comprimento Aceleração Força Velocidade

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Matheus Jardim Beppler
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1 1 DEFINIÇÃO DE GRANDEZA É tudo aquilo que pode ser medido Exemplos: Comprimento Aceleração Força Velocidade GRANDEZAS ESCALARES São grandezas que se caracterizam apenas por um valor acompanhado uma unidade de medida. Exemplos: Massa (a massa de uma pessoa é 57 kg); Temperatura (a temperatura da sala de aula é 7 C); Tempo (uma aula tem duração de 50min). GRANDEZAS VETORIAIS São grandezas que para serem definidas precisam de um módulo (valor + unidade de medida), direção e sentido. Exemplos: Velocidade (Um corpo foi lançado com uma velocidade de 30 m/s); Aceleração (Um carro manteve uma aceleração de 5 m/s²); Força (Foi aplicada uma força de 50 N). VETORES Um vetor é uma ficção, uma entidade criada para descrever coisas no mundo que têm direção e sentido.

2 EXEMPLOS: O vento; O fluxo de HO de um rio; A emissão puntiforme de luz; Um campo elétrico; A velocidade de um trem bala; O movimento dos planetas (aliás, a teoria de Newton não explica por que os planetas se movem todos num mesmo sentido), etc. REPRESENTAÇÃO SISTEMAS DE COORDENADAS A representação gráfica de um vetor é a de uma flecha apontando para algum lugar. Propriedades - direção - sentido - magnitude Para bem determinar a posição de um vetor é necessário a escolha de um sistema de coordenadas. Sistema de coordenadas retangulares ou cartesianas Define-se um sistema de coordenadas cartesianas quando é dada uma unidade linear para medir os comprimentos e dois eixos perpendiculares ordenados numa ordem qualquer. O ponto P(X,Y) significa que o ponto P tem por abscissa o nº x e por ordenada o n.º y. Representa-se um vetor por um segmento de reta orientado. A origem e a extremidade do vetor pode ser representado por duas letras maiúsculas (A = origem; B = extremidade) A lei da gravitação universal, de Newton, permitiu compreender e calcular as forças de atração existentes entre corpos celestes de diferentes massas e tamanhos. Partindo-se dela, completamos a compreensão e podemos calcular as acelerações gravitacionais de superfície, as velocidades de escape e as relações entre massa, períodos e raios orbitais de sistemas. Sabemos que os planetas descrevem órbitas elípticas ao redor do Sol e que os satélites naturais de cada planeta também o fazem ao redor do planeta. Como estas órbitas são uma elipse, existirão momentos em que os corpos estarão mais próximos entre si e momentos em que estarão mais afastados.

3 3 Por convenção, para saber que estamos falando de vetores e não de variáveis ou outro ente matemático qualquer, designamos o vetor por uma letra e utilizamos uma flecha sobre a letra. u r Mas há outras maneiras de representar um vetor. Imagine, por exemplo, um vetor no plano: ESPAÇO VETORIAL Um conjunto que satisfaz essas propriedades é chamado de espaço vetorial real. REPRESENTAÇÃO SIMBÓLICA A sua origem e a sua extremidade podem ser associadas a pontos no plano xy Assim, o vetor acima pode ser representado como o segmento orientado e seu comprimento é dado por B A. As coordenadas de A são (x1, y1) e as coordenadas de B são (x, y). Logo, o comprimento do vetor AB é dado por B A = (x - x1, y - y1)

4 4 EXEMPLO Podemos associar a o segmento de reta orientado com ponto inicial A(1,) e ponto final B(3,4). u r = B A = (3-1, 4-) =>(,) Considere vetores: e. u r u r v r v r u r v r A resultante + é obtida pela chamada lei do paralelogramo. Construímos um paralelogramo unindo a origem dos dois vetores e traçando retas paralelas a e a partir de suas extremidades. u r v r

5 5 LEI DO PARALELOGRAMO Explicando com um exemplo Dados os vetores abaixo, determine o vetor soma (resultante) método do paralelogramo. pelo Coloque a origem dos dois vetores em um mesmo ponto e, em seguida, trace pelas extremidades de cada um deles, uma paralela ao outro, com linha pontilhada. Unindo os pontos indicados e colocando a seta conforme a figura acima, você obterá o vetor que é o vetor soma ou o vetor resultante. Sendo β o ângulo entre os dois vetores, pode-se determinar o módulo ou intensidade do vetor pela lei dos cossenos: SOMA ALGÉBRICA Em termos de suas coordenadas, a soma se dá componente a componente

6 6 DIFERENÇA PRODUTO DE UM VETOR POR UM ESCALAR Considere que o vetor w r tem a magnitude de uma unidade. Se multiplicarmos esse vetor por um número real qualquer, por exemplo, 3, o vetor wr tem sua magnitude aumentada para 3 unidades. A direção é conservada se o escalar for 0, caso contrário, o vetor assume a direção oposta. PRODUTO DE UM VETOR POR UM ESCALAR FORMA ALGÉBRICA PRODUTO ESCALAR

7 7 COMPRIMENTO OU NORMA DE UM VETOR ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES O produto escalar entre dois vetores resulta num número que mede a tendência de outro vetor apontar na mesma direção e é dado por:

8 8 ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES ORTOGONALIDADE VERSOR OU VETOR UNITÁRIO

9 9 PRODUTO VETORIAL Diferentemente do produto escalar, que dá como resultado um número, o produto vetorial tem como resultado, um outro vetor. Produto vetorial A igualdade anterior também pode ser escrita da seguinte forma: b c a c a b u r v r =. i. j +. k b c a c a b

10 10 EXERCÍCIOS 1) Calcular o ângulo entre os vetores abaixo a) u = (1,1,4) ; v = (-1,,) b) u = (,) ; v = (0,3) c) u = (1,-,) ; v = (-3,6-6) ) Calcular a distância entre os pontos A e B a) A(,-1) B(-1,3) b) A(1,) B(3,) c) A(4,1) B(4,3) d) A reta é a figura geométrica constituída por uma linha que estabelece a menor distância entre duas posições. Essa possui características de dimensão, comprimento e não possui início e fim. Sabendo desses conceitos determine a distância do ponto A(a, 1) ao ponto B(0,) e represente graficamente a reta. e) Determinar a distância entre os pontos P(0,-) e Q(-6,-10) f) Determinar a distância entre os pontos C(-3,-1) e D(9,4) g) Determinar a distância entre os pontos C(,5) e F(4,-3)

11 11 h) Obtenha o valor de m sabendo que a distância de entre os pontos A(1,-) e B(m,-) é igual a 5. i) Determinar a distância entre os pontos A(1,) e B(3,5) e represente graficamente. j) Determinar a distância entre os pontos A(5,5) e B(1,7) l) Determinar a distância entre os pontos C(-3,-4) e D(5,) m) Calcule o valor de x sabendo que a distância entre os pontos A( 5,) e B( 64, x) é igual a 10.

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