Força elétrica e Campo Elétrico

Transcrição

1 Força elétrica e Campo Elétrico 1

2 Antes de Física III, um pouco de Física I... Massas e Campo Gravitacional 2

3 Força Gravitacional: Força radial agindo entre duas massas, m 1 e m 2. : vetor unitário (versor) 3

4 Vetor posição: Vetor unitário (ou versor): tal que: 4

5 Coordenadas esféricas: 5

6 1. Força atuando em m 1 : 2. Força atuando em m 2 : : apontando de m 2 para m 1. : apontando de m 1 para m 2. 6

7 Campo Gravitacional gerado por uma massa M: Por exemplo, o campo gravitacional terrestre: M : Massa da Terra Na superfície, fazendo r igual ao raio da Terra, obtemos o módulo de g aproximadamente igual a 9,81 m/s 2. 7

8 Campo Gravitacional: Força Gravitacional: Criado por M Sentida por m Força gravitacional entre as massas m e M. 8

9 Princípio da Superposição O Campo Gravitacional líquido no ponto P é igual à soma vetorial dos campos produzidos por m 1 e m 2. Exemplo: 2 De uma forma geral: 1 9

10 2 1 10

11 2 1 11

12 Princípio da Superposição Vamos supor que uma massa m 3 é colocada no ponto P. A Força Gravitacional líquida sentida por m 3 em consequência da presença de m 1 e m 2 será:

13 Cargas elétricas e Campo Elétrico 13

14 Carga Elétrica Em 600 a.c., os gregos descobriram que, atritado com a lã, o âmbar adquiria a propriedade de atrair outros objetos. âmbar Hoje, podemos afirmar que o âmbar adquiria uma carga elétrica ou se tornava carregado. O termo elétrico deriva-se da palavra grega elektron, que significa âmbar. 14

15 Experimento com bastões de plástico e vidro, atritados com pele e seda. 15

16 Esse tipo de experimento mostra que existem dois tipos de carga elétrica: O tipo de carga elétrica acumulada no bastão de plástico atritado com pele. O tipo de carga elétrica acumulada no bastão de vidro atritado com seda. - Benjamin Franklin ( ) sugeriu denominar de cargas negativas e positivas. + Perceba! Existe uma força de repulsão elétrica entre cargas do mesmo tipo e uma força de atração elétrica entre cargas opostas. 16

17 17

18 Fonte: 18

19 Processos de eletrização: Havendo contato: Não Havendo contato por indução: 19

20 Na época de Benjamin Franklin, a carga elétrica era considerada como um fluido contínuo. Entretanto, sabemos agora que mesmo os fluidos, como a água e o ar, não são contínuos, mas sim formados de átomos: a matéria é discreta. A carga é quantizada: a experiência mostra que o fluido elétrico também não é contínuo, mas constituído de múltiplos de uma certa carga elementar. Isto é, qualquer carga positiva ou negativa q que possa ser detectada pode ser escrita como: q = n e n = ±1, ±2, ±3, em que e, a carga elementar, tem o seguinte valor: e = 1,6 x C Unidade SI de carga: Coulomb C. 20

21 Estrutura dos átomos: 1. elétron, que possui carga elétrica negativa igual a -e; 2. próton, de carga elétrica positiva igual a +e; 3. nêutron, que não possui carga elétrica. Os elétrons são mantidos no interior de um átomo pela força de atração elétrica entre o núcleo positivo e os elétrons negativos. 21

22 Lei de Coulomb Charles Augustin de Coulomb ( ): O módulo da força elétrica entre duas cargas puntiformes é diretamente proporcional ao produto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre as cargas. 22

23 Força radial: 23

24 1. Força atuando em q 1 : 2. Força atuando em q 2 : : apontando de q 2 para q 1. : apontando de q 1 para q 2. 24

25 1. Força atuando em q 1 : 2. Força atuando em q 2 : : apontando de q 2 para q 1. : apontando de q 1 para q 2. 25

26 Lembram da Força Gravitacional?? m F g G r Mm rˆ 2 M Portanto, a Força Elétrica (Lei de Coulomb) apresenta a mesma dependência com a distância que a Força Gravitacional: são leis de força simétricas!! Apenas trocamos as massas pelas cargas e a constante G pela constante k. Uma distinção importante: massas sempre se atraem. Cargas, não: de sinais opostos se atraem e de mesmo sinal se repelem. 26

27 Magnitudes: Força elétrica x Força Gravitacional Exemplo1 : considere duas partículas alfa separadas por uma distância r. Isso explica porque a força gravitacional é praticamente desprezível na descrição de elétrons orbitando um núcleo! 27

28 Exemplo 2: sistema Terra - Lua Entre dois corpos do tamanho de uma pessoa ou de um planeta, em geral a carga líquida positiva é aproximadamente igual à carga líquida negativa, tal que a Força Elétrica é muito menor do que a Força Gravitacional. 28

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30 Superposição de forças determinando forças resultantes. Exemplo 1: três cargas. Determinar a força elétrica resultante na carga q 3 30

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32 Lembram do exemplo da Força Gravitacional?

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34 Mas, a força líquida sobre q 3 é nula, então: Essa é outra posição em que as magnitudes das forças sobre q 3 são iguais, porém, apontam no mesmo sentido nessa posição (da esquerda para a direita), não podendo ter resultante nula. 34

35 Carga da esquerda: 35

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37 Campo Gravitacional x Campo elétrico Campo gravitacional criado por uma massa M : Por exemplo, o campo gravitacional terrestre: M : Massa da Terra Força Gravitacional sentida por uma massa m, como consequência do campo gravitacional gerado por M: 37

38 Campo elétrico: simetria! Campo Elétrico gerado por uma carga puntiforme Q: 38

39 Linhas de Campo Elétrico: Cargas positivas: Cargas negativas: 39

40 Linhas de Campo Elétrico para configurações com duas cargas (de mesmo módulo): A cada ponto no espaço, o vetor do campo elétrico é tangente à linha de campo que passa pelo ponto considerado. 40

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42 Força Elétrica sentida por uma carga q, como consequência do campo elétrico gerado por Q: Unidade de Campo Elétrico: Newton/Coulomb = N/C 42

43 Exemplo: Campo elétrico resultante no ponto 3, como consequência das cargas q 1 e q 2. 3 Vimos que se posicionarmos uma carga q 3 no ponto 3, a força resultante sobre ela será: Portanto, o campo elétrico gerado pelas cargas q 1 e q 2 no ponto 3 será: 43

44 Elétron em um Campo Elétrico uniforme: Um elétron é lançado horizontalmente no interior de um campo elétrico uniforme, com velocidade inicial v 0. Determine a equação da trajetória do elétron (despreze qualquer ação da gravidade). Devido ao campo elétrico, o elétron sofrerá a ação de uma força exclusivamente na vertical, dando origem a uma aceleração constante para baixo, cujo módulo é escrito como: 44

45 Assim, as equações de movimento serão: em que admitimos que o elétron parte da origem e não possui velocidade inicial na vertical. Portanto: 45

46 Campo Elétrico de distribuições contínuas de carga Para uma carga Q puntiforme, sabemos que o campo elétrico é dado por: Mas, como determinar o campo elétrico, por exemplo, de uma barra carregada com carga Q? Dois exemplos: (a) determinar o campo elétrico em um ponto P ao longo da horizontal; (b) determinar o campo elétrico em um ponto P ao longo de uma linha na vertical cortando o centro da barra. Carga Q uniformemente distribuída ao longo de uma barra de comprimento L. 46

47 Caso do tipo (a): determinar o campo elétrico no ponto P, passando por uma linha horizontal ao longo da barra, a uma distância b. Uma carga positiva Q está uniformemente distribuída ao longo da barra. Indroduzimos a densidade linear de carga : Se a carga Q estiver uniformemente distribuída ao longo da barra de comprimento L, teremos: 47

48 Assim: Situação limite: Carga Q puntiforme a uma distância. 48

49 Caso do tipo (b): determinar o campo elétrico no ponto P, passando por uma linha na vertical cortando o centro da barra de comprimento L. Uma carga positiva Q está uniformemente distribuída ao longo da barra. 49

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51 51

52 Situação limite: Carga Q puntiforme a uma distância. 52

53 Caso geral: 53

54 54

55 Situação particular 1: 55

56 Situação particular 2: 56

57 Determinar o campo elétrico no ponto P, posicionado no centro de um semicírculo de raio R. Uma carga positiva Q está uniformemente distribuída ao longo do semicírculo. Se a carga Q estiver uniformemente distribuída ao longo do anel, teremos: 57

58 58

59 Determinar o campo elétrico no ponto P, passando por uma linha na vertical cortando o centro de um anel de raio R. Uma carga positiva Q está uniformemente distribuída ao longo do anel. 59

60 Podemos utilizar a simetria do problema! Semelhante ao que observamos no caso da barra de comprimento L, aqui ocorrerá o cancelamento mútuo dos campos elétricos nas direções x e y (ou seja, no plano do anel). Assim, restará apenas a componente ao longo da direção z. Se a carga Q estiver uniformemente distribuída ao longo do anel, teremos: Situações limite: Carga Q puntiforme a uma distância. Campo no centro (no plano do anel) 60

61 Considere que o anel de raio R do exemplo anterior é mantido fixo e está positivamente carregado (carga uniformemente distribuída). Uma partícula de carga negativa q é colocada no centro do anel (posição x=y=z=0). A partícula, ajustada para ser restrita a se mover ao longo do eixo z, é então deslocada por uma pequena distância z (com z<<r). Mostre que a partícula descreverá um movimento harmônico simples com frequência de oscilação dada por: O campo elétrico em uma posição z é dado por: Portanto, a partícula estará submetida a uma força dada por: 61

62 \ \ \ 62

63 Determinar o campo elétrico no ponto P, passando por uma linha na vertical cortando o centro de um disco de raio R. Uma carga positiva Q está uniformemente distribuída ao longo do disco. 63

64 Mais uma vez, utilizando a simetria do problema, restará apenas a componente ao longo da direção z: Indroduzimos a densidade superficial de carga : Se a carga Q estiver uniformemente distribuída, teremos: 64

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66 Situação limite: Série de Taylor em torno de x=a: Portanto, considerando a expansão em torno de x=0: Carga Q puntiforme a uma distância. 66

67 Alternativamente, como ponto de partida, podemos utilizar o resultado do caso anterior, de um anel carregado. Assim, o campo elétrico resultante para o disco será a soma dos campos elétricos de anéis infinitesimais de raio r. Campo elétrico de um anel infinitesimal de raio r, carregado com uma carga dq: Indroduzimos a densidade superficial de carga : 67

68 Campo Elétrico de um Dipolo Elétrico: Denomina-se Dipolo Elétrico um conjunto de duas cargas iguais, porém de sinais contrários, separadas por uma distância d. 68

69 Módulo do Momento de Dipolo Elétrico. Situação limite: Perceba a dependência com!! Motivo: cargas de sinais contrários. 69

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71 Para um sistema com duas cargas idênticas e positivas (o que não pode ser chamado de dipolo elétrico), teríamos: 71

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73 E se as cargas não tiverem o mesmo módulo (o que também não pode ser chamado de dipolo elétrico)... 73

74 Torque sobre um dipolo elétrico : vetor orientado da carga negativa para a positiva. 74

75 Trabalho associado: Torque atua diminuindo. Energia potencial para um dipolo em um campo elétrico 75

76 Problema: considere duas barras idênticas de comprimento L. Uma carga positiva Q está uniformemente distribuída ao longo de cada barra. As barras estão sobre o eixo x e seus centros são separados por uma distância b > L. Determine a força elétrica que a barra da esquerda exerce sobre a barra da direita. Como já vimos, o campo elétrico gerado pela barra da esquerda a uma distância x de sua extremidade direita é dado por: 76

77 A força elétrica sobre um elemento diferencial de carga dq da barra à direita será então dada por: 77

78 A barra da direita exercerá uma força de mesmo módulo sobre a barra da esquerda, porém, com sentido contrário. 78

79 O resultado anterior pode ser reescrito como: Situação limite: b >> L Série de Taylor em torno de x=a: Portanto, considerando a expansão em torno de x=0: Força entre duas cargas Q puntiformes 79 separadas por uma distância b.