superfície que envolve a distribuição de cargas superfície gaussiana

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2 Para a determinação do campo elétrico produzido por um corpo, é possível considerar um elemento de carga dq e assim calcular o campo infinitesimal de gerado. A partir desse princípio, o campo total em um ponto qualquer do espaço é obtido somando-se os n de considerados. Esse tipo de estratégia se torna mais fácil quando há alguma simetria na distribuição de cargas que produz o campo elétrico, conforme observado ao medir o campo produzido por um dipolo, um anel ou um disco carregados uniformemente.

3 A Lei de Gauss fornece um aporte diferente para o cálculo do campo elétrico, porém também aproveita a simetria. Nesse caso, considera-se uma superfície que envolve a distribuição de cargas, calculando-se o campo elétrico nessa superfície. Por exemplo, se a distribuição de cargas é esférica, considera-se uma superfície esférica ao redor dessa distribuição. A superfície que envolve as cargas elétricas é chamada de superfície gaussiana.

4 Também é possível utilizar a Lei de Gauss no sentido inverso: conhecendo-se o campo elétrico em uma superfície gaussiana, pode-se determinar a quantidade de carga elétrica presente na distribuição.

5 Fluxo O conceito de fluxo deriva do estudo dos fluidos. Na figura abaixo, considere uma espira quadrada de área A sendo atravessada por um vento com velocidade v: O ângulo entre o vento e a espira é fundamental para determinar a vazão do ar. Se o vento sopra paralelamente à espira, não há vazão, uma vez que o ar não atravessaria a área A da espira. Portanto, deve haver entre o vento e a espira um ângulo θ 0.

6 O componente perpendicular da velocidade do vento que passa pela espira é fornecida por v cosθ, o que permite definir o escomento atraves do produto: Φ = vcosθ A Onde Φ é o fluxo. Nesse caso, a unidade de fluxo será o metro cúbico por segundo [m³/s], motivo pelo qual é chamado de fluxo volumétrico.

7 Ainda é possível reescrever o fluxo através de sua forma vetorial. Define-se um vetor área A, com módulo igual à área de uma superfície plana e direção perpendicular à essa superfície. Por consequência, a equação do fluxo descreve o produto escalar entre os vetores v e A. Portanto: Φ = vacosθ Φ = v A Onde θ é o ângulo entre os vetores.

8 Fluxo de um Campo Elétrico Na figura, uma superfície gaussiana de formato arbitrário é atravessada por um campo elétrico E. Ela é dividida em porções de área A, a partir das quais se analisa o fluxo em cada parte.

9 Considerando cada interação entre o campo elétrico e os elementos de área, o fluxo total será fornecido pelo somatório de cada contribuição: Φ = E A Tomando a área de cada porção tendendo a zero, se tem a área diferencial da. Dessa maneira, o fluxo torna-se: Φ = E da Indicando que a integrando é tomada em uma superfície fechada. A unidade de medida do fluxo de campo elétrico Φ é o Newton vezes metro quadrado por Coulomb [N.m²/C].

10 EXEMPLO 1

11 EXEMPLO 2

12 Lei de Gauss Relaciona o fluxo total de um campo elétrico Φ através de uma superfície gaussiana com a carga total envolvida pela superfície q env : ε 0 Φ = q env Sendo Φ = E da: ε 0 E da = q env Ambas formas da Lei de Gauss são válidas para situações na qual o meio envolvido seja o vácuo ou o ar

13 Cargas que estejam fora da superfície gaussiana não são inclusas na Lei de Gauss, no entanto o campo elétrico produzido por elas é considerado. Entretanto, o fluxo através da superfície causado por um campo externo será nulo, uma vez que o número de linhas de campo que entra na superfície é o mesmo que sai.

14 Superfície S 1 : linhas apontam para fora na superfície fluxo positivo e carga também positiva; Superfície S 2 : linhas que apontam para dentro na superfície fluxo negativo e carga também negativa; Superfície S 3 : fluxo nulo linhas que entram são as mesmas que saem; Superfície S 4 : carga total envolvida é nula fluxo também se anula.

15 EXEMPLO 3

16 EXEMPLO 4

17 Lei de Coulomb e Lei de Gauss Na figura, da e E têm a mesma orientação, portanto θ = 0. Assim, pela Lei de Gauss: ε 0 E da = ε 0 EcosθdA = ε 0 EdA = q env Nessa situação, q env = q e o campo elétrico é uniforme na superfície. Logo: ε 0 E da = q Sendo a superfície gaussiana uma esfera: da = A = 4πr 2

18 Portanto: ε 0 E4πr 2 = q E = 1 q 4πε 0 r 2 Lembrando que para o campo elétrico: Resulta que: E = F q 0 F = 1 q 0 q 4πε 0 r 2 Que é a Lei de Coulomb, como se queria demonstrar.

19 Um Condutor Carregado A partir da Lei de Gauss é possível demonstrar o seguinte teorema: Se uma carga em excesso é introduzida em um condutor, a carga se concentra na superfície do condutor; o interior do condutor continua a ser neutro.

20 O campo elétrico deve ser nulo no interior do condutor, pois se fosse o contrário haveria uma força elétrica e consequente uma corrente elétrica formada sobre os elétrons livres, o que não se observa. Não havendo campo no interior da superfície gaussiana, não há fluxo. Pela Lei de Gauss, com o fluxo nulo a carga total no interior da superfície é igualmente nula, ou seja, o interior do condutor permanece eletricamente neutro.

21 O que ocorre se forem removidas cargas do interior do condutor? Considera-se uma nova superfície gaussiana, próxima à superfície da cavidade interna. O campo elétrico permanece nulo no interior do condutor, assim como o fluxo. Desse modo, a superfície da cavidade não pode envolver nenhuma carga, portanto as cargas em excesso permanecem acumuladas na superfície externa do condutor.

22 O Campo Elétrico Externo Nos condutores, as cargas elétricas geralmente não estão bem distribuídas. Considerando a densidade superficial de carga: σ = q env A q env = σa

23 Próximo à superfície, é possível determinar o campo a partir da Lei de Gauss: ε 0 Φ = q env Para o fluxo próximo à superfície, considerando que E e da sejam paralelos (θ = 0), obtém-se: Φ = E da = EcosθdA = EA Substituindo Φ=EA e q env =σa na Lei de Gauss: ε 0 EA = σa E = σ ε 0 Para uma superfície condutora

24 EXEMPLO 5

25 Aplicando a Lei de Gauss: Simetria Cilíndrica Será calculado o campo elétrico gerado por uma barra infinita carregada positivamente com densidade linear de carga uniforme. Para tal, é escolhida como superfície gaussiana um cilindro, por questões de simetria.

26 Nas bases do cilindro não há fluxo, uma vez que o ângulo θ entre E e A vale 90. Φ = EAcosθ = 0 Para a superfície lateral, temos que o campo elétrico será uniforme, pois a barra encontra-se sobre o eixo central do cilindro. Nesse caso, o ângulo θ entre E e A vale 0. A área lateral do cilindro é fornecida por 2πr.h, onde 2πr é o comprimento da base e h a altura do cilindro. Para o fluxo do campo elétrico: Φ = EAcosθ = E2πrcos0 = E2πr

27 Já para a carga envolvida pela superfície gaussiana, temos para a densidade linear de carga que: λ = q env q env = λ Portanto, de acordo com a Lei de Gauss: ε 0 Φ = q env ε 0 E2πr = λ E = λ 2πε 0 r

28 EXEMPLO 6

29 EXEMPLO 6

30 EXEMPLO 6

31 Aplicando a Lei de Gauss: Simetria Planar Placa Não Condutora Para uma placa não condutora positivamente carregada, com densidade superficial de carga uniforme, foi escolhido um cilindro como superfície gaussiana.

32 Sobre a lateral do cilindro não há fluxo, uma vez que o campo elétrico é paralelo à superfície. Já para as bases, se tem para o fluxo do campo elétrico que: Φ bases = 2 E da = 2 Ecos0dA = 2EA Para a carga envolvida pelo cilindro, se tem para a densidade superficial de carga que: σ = q env A q env = σa De acordo com a Lei de Gauss, para o campo elétrico: ε 0 Φ = q env ε 0 2EA = σa E = σ 2ε 0 Para uma superfície não condutora

33 Duas Placas Condutoras Considerando duas placas com cargas de igual valor, mas sinais opostos, e mesma densidade superficial de cargas (última etapa da figura):

34 O campo produzido por apenas uma superfície condutora é definido por: E = σ 1 ε 0 Logo, para as duas placas iguais: E = 2σ 1 ε 0 Ao aproximar as placas, a quantidade de carga dobra, enquanto a área carregada permanece a mesma. Portanto, para a nova densidade superficial de carga σ: σ 1 = q A e σ = 2q A σ = 2σ 1 Assim, para o campo entre as placas: E = σ ε 0

35 EXEMPLO 7

36 Aplicando a Lei de Gauss: Simetria Esférica Demonstração dos teoremas da casca esférica: Uma casca com uma distribuição uniforme de cargas atrai ou repele uma partícula carregada situada do lado de fora da casca como se toda a carga estivesse no centro da casca ; Se uma partícula carregada está situada no interior de uma casca com uma distribuição uniforme de cargas, a casca não exerce nenhuma força eletrostática sobre a partícula.

37 Campo criado na superfície S 2 pela casca de carga q: ε 0 Φ = q env ε 0 E da = q ε 0 EcosθdA = q

38 Sendo θ = 0 e o campo elétrico uniforme em S 2 : ε 0 E da = q ε 0 EA = q E = q ε 0 A Na superfície esférica, A = 4πr 2 : E = 1 4πε 0 q r 2 Campo em r R Logo, o campo elétrico produzido pela casca esférica de carga q é o mesmo que uma carga pontual q localizada no centro da esfera produziria na superfície S 2, como informa o primeiro teorema.

39 Aplicando a Lei de Gauss na superfície S 1 : Como q env = 0: ε 0 Φ = q env ε 0 EA = q env E = 0 Campo em r < R Dessa forma, a casca carregada não produz campo em seu interior, conforme o segundo teorema.

40 Para um distribuição de cargas esfericamente simétrica, também é possível medir o campo numa região interna pela aplicação da Lei de Gauss. Quando r > R, o campo possui a forma: E = 1 q 4πε 0 r 2 Quando r < R: - As cargas fora da superfície gaussiana não criam campo elétrico em seu interior; - As cargas dentro da gaussiana, q, criam na superfície gaussiana o campo: E = 1 q 4πε 0 r 2

41 Considerando que a distribuição de cargas no interior da esfera de raio R seja uniforme: carga na esfera de raio r volume da esfera de raio r q q = πr3 3 πr3 q = q R 3 r3 = carga total volume total Desse modo, para o campo elétrico: E = 1 q R 3 r3 4πε 0 r 2 E = 1 q 4πε 0 R 3 r Campo em r R

42 Referências Halliday, Resnick e Walker. Fundamentos de Física, volume 3, Eletromagnetismo. 9ª edição, editora LTC, Rio de Janeiro, As imagens e exemplos foram extraídas da fonte acima ou do banco de dados do google.