E(r) = 2. Uma carga q está distribuída uniformemente por todo um volume esférico de raio R.

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1 1. O campo elétrico no interior de uma esfera não-condutora de raio R, com carga distribuída uniformemente em seu volume, possui direção radial e intensidade dada por E(r) = qr 4πɛ 0 R 3. Nesta equação, q (positiva ou negativa) é a carga total dentro da esfera e r é a distância medida a partir do centro da esfera. (a) Tomando V = 0 no centro da esfera, encontre o potencial elétrico V (r) dentro da esfera. Qual a diferença de potencial elétrico entre um ponto na superfície da esfera e o centro dela? (c) Se q for positiva, qual desses dois pontos está no potencial mais elevado? 2. Uma carga q está distribuída uniformemente por todo um volume esférico de raio R. (a) Fazendo V = 0 no infinito, mostre que o potencial a uma distância r do centro, onde r < R, é dado por V = q(3r2 r 2 ) 8πɛ 0 R 3. Por que este resultado difere do resultado do item (a) do Problema 1? (c) Qual a diferença de potencial entre um ponto sobre a superfície da esfera e o centro dela? (d) Por que este resultado não difere daquele do item da pergunta do Problema 1? 3. Uma casca esférica espessa de carga Q e densidade volumétrica de carga ρ uniforme é limitada pelos raios r 1 e r 2, onde r 2 > r 1. Com V = 0 no infinito, determine o potencial elétrico V em função da distância r contada a partir do centro da distribuição, considerando as regiões (a) r > r 2, r 2 > r > r 1 e (c) r < r 1. (d) Estas soluções coincidem em r = r 2 e r = r 1? 4. Na Figura 1, o ponto P está no centro do retângulo. Com V = 0 no infinito, qual o potencial resultante em P devido às seis partículas carregadas? 1

2 Figura 1: Problema 4 5. A Figura 2 mostra três partículas carregadas localizadas sobre um eixo horizontal. Mostre que para pontos (como por exemplo o ponto P ) sobre o eixo e com r d, o potencial elétrico V (r) é dado por 1 V = 1 ( q 1 + 2d ). 4πɛ 0 r r Figura 2: Problema 5 6. Um disco plástico está carregado em um de seus lados com uma densidade superficial de carga uniforme σ, e depois três quadrantes do disco são removidos. O quadrante que sobrou é mostrado na Figura 3. Com V = 0 no infinito, qual o potencial devido ao quadrante que sobrou no ponto P, que está sobre o eixo central a uma distância z do centro original? 1 Dica: A configuração de carga pode ser vista como a soma de uma carga isolada e um dipolo. 2

3 Figura 3: Problema 6 7. A Figura 4 mostra uma barra de plástico de comprimento L e carga positiva uniforme Q localizada sobre um eixo x. Com V = 0 no infinito, determine o potencial elétrico no ponto P 1 sobre o eixo, a uma distância d de uma das extremidades da barra. Figura 4: Problemas 7 e 9 8. (a) Usando a equação V = dv = 1 dq 4πɛ 0 r, mostre que o potencial elétrico em um ponto sobre o eixo central de um anel fino de carga com raio R e a uma distância z do anel é V = 1 q 4πɛ 0 z2 + R. 2 A partir deste resultado, deduza uma expressão para E em pontos sobre o eixo do anel. 9. A barra de plástico de comprimento L da Figura 4 possui densidade linear de carga nãouniforme λ = cx, onde c é uma constante positiva. (a) Com V = 0 no infinito, determine o potencial elétrico no ponto P 2 sobre o eixo y a uma distância y de uma das extremidades da barra. A partir desse resultado, determine a componente E y do campo elétrico em P 2. 3

4 (c) Por que a componente E x do campo em P 2 não pode ser determinada usando o resultado do intem (a)? 10. (a) Use o resultado do Problema 7 para determinar a componente E x do campo elétrico no ponto P 1 da Figura 4 2 Use a simetria para determinar a componente E y do campo elétrico em P O potencial produzido por uma carga puntiforme Q localizada na origem é dado por V = Q 4πɛ 0 r = Q 4πɛ 0 x2 + y 2 + z. 2 (a) Calcule os componentes E x, E y e E z. Mostre que o resultado do item (a) está de acordo com o campo elétrico de uma carga puntiforme. 12. Uma esfera metálica com raio igual a r a está apoiada sobre uma base isolado no centro de uma casca esférica metálica com raio externo r b. Existe uma carga +q na esfera interna e uma carga q na esfera externa. (a) Determine o potencial V (r) 3 para as regiões i) r < r a ; ii) r a < r < r b ; iii) r > r b. Considere V (r ) = 0. Mostre que o potencial da esfera interna em relação à esfera externa é dado por V ab = q ( 1 1 ). 4πɛ 0 r a r b (c) Use o resultado do item (a) para mostrar que o campo elétrico em qualquer ponto entre as esferas possui módulo dado por E(r) = ( 1 V ab ) r 2. r a 1 r b (d) Use o resultado do item (a) para calcular o campo elétrico em ponto fora da esfera maior a uma distância r do centro, sendo r > r b. (e) Suponha que a carga na esfera externa não seja igual a q, mas sim uma outra carga com módulo diferente, digamos Q. Mostre que as respostas dos itens e (c) não se alteram, porém a resposta do item (d) torna-se diferente. 2 Dica: Substitua primeiramente a distância d pela variável x no resultado. 3 Dica: O potencial é dado pela soma dos potenciais de cada esfera. 4

5 13. No modelo de Bohr do átomo de hidrogênio, um único elétron gira em torno de um único próton descrevendo uma órbita circular de raio r. Suponha que o próton permaneça em repouso. (a) Igualando a força elétrica com a massa do elétron vezes sua aceleração, deduza uma relação para a velocidade do elétron. Deduza uma relação para a energia cinética do elétron e mostre que seu valor é igual à metade da energia potencial elétrica. (c) Deduza uma relação para a energia total e calcule seu valor usando r = 5, m. Forneça sua resposta numérica em elétron-volts e em joules. 14. Um cristal unidimensional. Embora os cristais reais possuam três dimensões, um modelo mais simples em uma dimensão serve para facilitar muitos cálculos. Imaginando um modelo unidimensional de um cristal como o cloreto de sódio (NaCl), considere uma sucessão alternada ao longo do eixo Ox de um íon positivo com carga +e com um íon negativo com carga e, sendo d a distância uniforme entre esses íons (Figura 5). Suponha que as cargas se distribuam uniformemente até o infinito em ambos sentidos. (a) Considere a energia potencial entre o íon que está no ponto x = 0 e todos os outros íons. Isso representa a energia potencial por íon nesse cristal unidimensional. Escreva uma expressão para essa energia potencial (sua relação deve ser uma série infinita). Calcule a série do item (a) usando o desenvolvimento em série válida para o caso z 1. ln(1 + z) = z z2 2 + z3 3 z (c) A energia potencial por íon para um íon negativo possui o mesmo valor para um íon negativo nesse cristal? Explique seu raciocínio. (d) Em um cristal real de NaCl em três dimensões, a distância entre dois íons adjacentes é igual a 2, m. Usando essa distância para o valor de d indicado na Figura 5, calcule a energia potencial por íon para o cristal unidimensional. (e) Para muitos cristais iônicos reais (em três dimensões), tais como o NaCl, a energia potencial por íon é aproximadamente igual a J/íon. Compare esse valor com o resultado que você achou no item (d). O modelo do cristal unidimensional indicado na Figura 5 pode ser considerado bom? 5

6 Figura 5: Problema O potencial elétrico em uma região do espaço é dado por V (x, y, z) = A(x 2 3y 2 + z 2 ), onde A é uma constante. (a) Deduza uma expressão para o campo elétrico E na região. O trabalho realizado pelo campo quando uma carga de teste igual a 1, 50µC é deslocada do ponto (x, y, z) = (0, 0, 0, 250)m até a origem é igual a 6, J. Calcule A. (c) Determine o campo elétrico no ponto (0, 0, 0, 250)m. (d) Mostre que em qualquer plano paralelo ao plano xz os contornos equipotenciais são círculos. (e) Qual é o raio do contorno equipotencial correspondente a V = 1280V e y = 2, 00m? 16. Fissão nuclear. O núcleo instável de urânio 236 pode ser considerado uma esfera uniformemente carregada com carga Q = +92e e raio R = 7, m. Em uma fissão nuclear, ele pode se subdividir em dois núcleos menores, cada um deles com a metade da carga e metade do volume do núcleo de urânio 236 original. Essa foi uma das reações que ocorreram durante a explosão da bomba atômica em Hiroshima, no Japão, em agosto de (a) Determine os raios dos dois núcleos filhos, cada um deles com carga +46e. Como modelo simples do processo de fissão, imaginamos que imediatamente após a fissão os dois núcleos filhos estão em repouso e quase em contato, conforme mostra a Figura 6. Calcule a energia cinética de cada núcleo filho quando a distância entre eles é muito grande. (c) Nesse modelo, a soma da energia cinética de cada núcleo filho calculada no item é a energia liberada pela fissão do núcleo de urânio 236. Calcule a energia liberada pela fissão de 10,0kg de urânio 236. A massa atômica do urânio 236 é igual a 236u, onde 1u = 1 unidade de massa atômica = 1, kg. Expresse sua resposta em joules e em quilotons de TNT (1 quiloton de TNT libera 4, J durante sua explosão). 6

7 (d) Com base nesse modelo, discuta por que razão uma bomba atômica poderia também ser chamada de bomba elétrica. Figura 6: Problema Em uma região existe uma distribuição de cargas esfericamente simétrica porém não uniforme. Ou seja, a densidade volumétrica de cargas ρ(r) depende da distância r, mas não depende dos ângulos das coordenadas esféricas θ e ϕ. O potencial elétrico V (r) dessa distribuição é dado por ρ 0 a 2 [ ( r ) 2 ( ] r para r a, V (r) = 18ɛ 0 a a) 0 para r a, onde ρ 0 é uma constante com unidades C/m 3 e a é uma constante com unidade de metro. (a) Deduza uma expressão para E para as regiões r a e r a. Explique por que E possui apenas componente radial. Deduza uma expressão para ρ(r) nas duas regiões r a e r a 4 (c) Mostre que a carga total contida no interior de uma esfera de raio a ou superior a é nula. 5 O resultado obtido é consistente com o campo elétrico para r a que você calculou no item (a)? 4 Dica: Use a lei de Gauss para duas superfícies esféricas, uma de raio r e a outra de raio r + dr. A carga contida na casca esférica de espessura dr é dq = 4πr 2 ρ(r)dr. 5 Dica: Integre a expressão deduzida na parte para ρ(r) sobre um volume esférico de raio superior ou igual a a. 7

8 RESPOSTAS 1. (a) 5. Mostre! q r 2 8πε 0 R 3 6. σ ( ) R2 + z 8ε 2 z 0 ρ 3ε 0 q 1 8πε 0 R 2. (a) Mostre! 3. (a) (c) Para q > 0, a diferença no item anterior é negativa, logo o centro tem potencial maior. Responda! (c) Responda! (d) Responda! 1 Q 4πε 0 r ( ) 3r r2 2 r3 1 r (c) (d) Responda! 4. Determine com ρ = ρ ( r 2 2ε 2 r 2 ) 1 0 V P = 1 4πε 0 6 q i r i=1 i 3Q 4π(r 3 2 r3 1 ) Mostre! 9. (a) 10. (a) ( ) λ L + d ln 4πε 0 d c ( ) L2 + y 4πε 2 y 0 ( ) cy 1 4πε 0 y 1 ĵ y2 + L 2 (c) Explique! Q 4πε 0 î x(x + L) Explique e determine! 11. Aplique E = V. 12. (a) i. ii. q 4πε 0 q 4πε 0 ( 1 r a 1 r b ( 1 r 1 r b ) ) 8

9 13. (a) 14. (a) iii. Nulo. Mostre! (c) Mostre! (d) Calcule! (e) Mostre! Mostre! (c) 13,6 ev e 2 4πε 0 mr e2 ( 1) k 1 2πε 0 d k k=1 e2 2πε 0 ln Faça! (c) Explique! (d) 1, J (e) Explique! 16. (a) 5, m 17. (a) 2, J (c) 253 quilotons de TNT (d) Explique! ρ 0 r (1 r ) ˆr para r a E(r) = 3ε 0 a 0 para r a ( ρ 0 1 4r ) para r a ρ(r) = 3a 0 para r > a 9