Aula de Física II - Cargas Elétricas: Força Elétrica

Transcrição

1 Prof.: Leandro Aguiar Fernandes Universidade do Estado do Rio de Janeiro Instituto Politécnico - IPRJ/UERJ Departamento de Engenharia Mecânica e Energia Graduação em Engenharia Mecânica/Computação 27 de outubro de 2010

2 A Lei de Coulomb

3 A Lei de Coulomb Todas as forças em Física são derivadas a partir de quatro forças interativas fundamentais: a força gravitacional, a força eletromagnética, a força nuclear forte e a força de interação fraca.

4 A Lei de Coulomb Todas as forças em Física são derivadas a partir de quatro forças interativas fundamentais: a força gravitacional, a força eletromagnética, a força nuclear forte e a força de interação fraca. As forças do tipo eletromagnéticas dominam todos as interações entre sistemas desde os átomos aos planetas. Os efeitos elétricos e magnéticos são conseqüências de uma propriedade da matéria denominada "carga elétrica".

5 A Lei de Coulomb Todas as forças em Física são derivadas a partir de quatro forças interativas fundamentais: a força gravitacional, a força eletromagnética, a força nuclear forte e a força de interação fraca. As forças do tipo eletromagnéticas dominam todos as interações entre sistemas desde os átomos aos planetas. Os efeitos elétricos e magnéticos são conseqüências de uma propriedade da matéria denominada "carga elétrica". Coulomb conseguiu determinar relações matemáticas importantes na descrição das interações eletrostáticas. Ele observou que força atrativa ou repulsiva era proporcional ao produto das duas cargas interagentes (q 1 e q 2 ) e inversamente proporcional ao quadrado da distância r entre elas.

6 F 1(2) = 1 q 1 q 2 4πɛ 0 x x ˆr (1) 2

7 F 1(2) = 1 q 1 q 2 4πɛ 0 x x ˆr (1) 2 onde ɛ 0 é dita permissividade do espaço livre no vácuo, x é o vetor de localização da carga q 1, x é o vetor de localização da carga q 2, e ˆr é o versor de direção da força, dado por:

8 F 1(2) = 1 q 1 q 2 4πɛ 0 x x ˆr (1) 2 onde ɛ 0 é dita permissividade do espaço livre no vácuo, x é o vetor de localização da carga q 1, x é o vetor de localização da carga q 2, e ˆr é o versor de direção da força, dado por: ˆr = x x x x (2)

9 F 1(2) = 1 q 1 q 2 4πɛ 0 x x ˆr (1) 2 onde ɛ 0 é dita permissividade do espaço livre no vácuo, x é o vetor de localização da carga q 1, x é o vetor de localização da carga q 2, e ˆr é o versor de direção da força, dado por: ˆr = x x x x (2) Portanto:

10 F 1(2) = 1 q 1 q 2 4πɛ 0 x x ˆr (1) 2 onde ɛ 0 é dita permissividade do espaço livre no vácuo, x é o vetor de localização da carga q 1, x é o vetor de localização da carga q 2, e ˆr é o versor de direção da força, dado por: ˆr = x x x x (2) Portanto: F 1(2) = 1 4πɛ 0 q 1 q 2 x x 3 ( x x ) (3)

11 F 1(2) = 1 q 1 q 2 4πɛ 0 x x ˆr (1) 2 onde ɛ 0 é dita permissividade do espaço livre no vácuo, x é o vetor de localização da carga q 1, x é o vetor de localização da carga q 2, e ˆr é o versor de direção da força, dado por: ˆr = x x x x (2) Portanto: F 1(2) = 1 4πɛ 0 q 1 q 2 x x 3 ( x x ) (3) e analogamente, observamos que:

12 F 1(2) = 1 q 1 q 2 4πɛ 0 x x ˆr (1) 2 onde ɛ 0 é dita permissividade do espaço livre no vácuo, x é o vetor de localização da carga q 1, x é o vetor de localização da carga q 2, e ˆr é o versor de direção da força, dado por: ˆr = x x x x (2) Portanto: e analogamente, observamos que: F 1(2) = 1 4πɛ 0 q 1 q 2 x x 3 ( x x ) (3) F 2(1) = 1 4πɛ 0 q 2 q 1 x x 3 ( x x) = 1 4πɛ 0 q 1 q 2 x x 3 ( x x ) = F 1(2) (4)

13 Se tivermos mais de duas cargas elétricas no vácuo, vale o Princípio da Superposição, ou seja, os efeitos das interações entre elas se se sobrepõem. Com efeito, no caso de N partículas carregadas, temos que a força resultante sobre uma carga arbitrária q i será:

14 Se tivermos mais de duas cargas elétricas no vácuo, vale o Princípio da Superposição, ou seja, os efeitos das interações entre elas se se sobrepõem. Com efeito, no caso de N partículas carregadas, temos que a força resultante sobre uma carga arbitrária q i será: F i = N F i (j) = j i q i 4πɛ 0 N j i q j x x 3 ( x x ) (5)

15 Se tivermos mais de duas cargas elétricas no vácuo, vale o Princípio da Superposição, ou seja, os efeitos das interações entre elas se se sobrepõem. Com efeito, no caso de N partículas carregadas, temos que a força resultante sobre uma carga arbitrária q i será: F i = N F i (j) = j i q i 4πɛ 0 N j i q j x x 3 ( x x ) (5) onde a soma é estendida a todas as demais cargas. Neste caso, dizemos que a força resultante sobre q i deve-se à uma distribuição de cargas discreta.

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17 Para uma distribuição linear do tipo:

18 Para uma distribuição linear do tipo:

19 Para uma distribuição linear do tipo: λ = dq dl

20 Para uma distribuição linear do tipo: λ = dq dl =

21 Para uma distribuição linear do tipo: λ = dq dl = dq = λdl

22 Para uma distribuição linear do tipo: λ = dq dl = dq = λdl =

23 Para uma distribuição linear do tipo: λ = dq dl = dq = λdl = q = C λdl (6)

24 Para uma distribuição linear do tipo: λ = dq dl então a equação (3) ca: = dq = λdl = q = C λdl (6)

25 Para uma distribuição linear do tipo: λ = dq dl então a equação (3) ca: = dq = λdl = q = F = q 0 4πɛ 0 C x x C λdl (6) λ( x ) x x 3 d x (7)

26 Para uma distribuição supercial do tipo:

27 Para uma distribuição supercial do tipo:

28 Para uma distribuição supercial do tipo: σ = dq ds

29 Para uma distribuição supercial do tipo: σ = dq ds =

30 Para uma distribuição supercial do tipo: σ = dq ds = dq = σds

31 Para uma distribuição supercial do tipo: σ = dq ds = dq = σds =

32 Para uma distribuição supercial do tipo: σ = dq ds = dq = σds = q = S σds (8)

33 Para uma distribuição supercial do tipo: σ = dq ds = dq = σds = q = S σds (8) então a equação (3) ca:

34 Para uma distribuição supercial do tipo: σ = dq ds = dq = σds = q = S σds (8) então a equação (3) ca: F = q 0 4πɛ 0 S x x σ( x ) x x 3 d x 2 (9)

35 E nalmente, para uma distribuição volumétrica do tipo:

36 E nalmente, para uma distribuição volumétrica do tipo:

37 E nalmente, para uma distribuição volumétrica do tipo: ϕ = dq dv

38 E nalmente, para uma distribuição volumétrica do tipo: ϕ = dq dv =

39 E nalmente, para uma distribuição volumétrica do tipo: ϕ = dq dv = dq = ϕdv

40 E nalmente, para uma distribuição volumétrica do tipo: ϕ = dq dv = dq = ϕdv =

41 E nalmente, para uma distribuição volumétrica do tipo: ϕ = dq dv = dq = ϕdv = q = V ϕdv (10)

42 E nalmente, para uma distribuição volumétrica do tipo: ϕ = dq dv = dq = ϕdv = q = V ϕdv (10) então a equação (3) ca:

43 E nalmente, para uma distribuição volumétrica do tipo: ϕ = dq dv = dq = ϕdv = q = V ϕdv (10) então a equação (3) ca: F = q 0 4πɛ 0 V x x ϕ( x ) x x 3 d x 3 (11)

44 Podemos dizer que todas as distribuições de cargas, discutidas aqui, são casos particulares de uma distribuição volumétrica. Denimos o operador de distribuição delta de Dirac com as seguintes propriedades:

45 Podemos dizer que todas as distribuições de cargas, discutidas aqui, são casos particulares de uma distribuição volumétrica. Denimos o operador de distribuição delta de Dirac com as seguintes propriedades: δ(x x ) = 0; x x

46 Podemos dizer que todas as distribuições de cargas, discutidas aqui, são casos particulares de uma distribuição volumétrica. Denimos o operador de distribuição delta de Dirac com as seguintes propriedades: δ(x x ) = 0; x x + δ(x x )dx = 1

47 Podemos dizer que todas as distribuições de cargas, discutidas aqui, são casos particulares de uma distribuição volumétrica. Denimos o operador de distribuição delta de Dirac com as seguintes propriedades: δ(x x ) = 0; x x + + δ(x x )dx = 1 f (x)δ(x x )dx = f (x )

48 Podemos dizer que todas as distribuições de cargas, discutidas aqui, são casos particulares de uma distribuição volumétrica. Denimos o operador de distribuição delta de Dirac com as seguintes propriedades: δ(x x ) = 0; x x + + δ(x x )dx = 1 f (x)δ(x x )dx = f (x ) Denimos, agora, a seguinte situação:

49 Podemos dizer que todas as distribuições de cargas, discutidas aqui, são casos particulares de uma distribuição volumétrica. Denimos o operador de distribuição delta de Dirac com as seguintes propriedades: δ(x x ) = 0; x x + + δ(x x )dx = 1 f (x)δ(x x )dx = f (x ) Denimos, agora, a seguinte situação: ϕ( x ) = i q i δ( x i x ) (12)

50 Substituindo (12) em (11), obtemos:

51 Substituindo (12) em (11), obtemos: F = q 0 4πɛ 0 V x x ϕ( x ) x x 3 d x 3 =

52 Substituindo (12) em (11), obtemos: F = q 0 4πɛ 0 V ϕ( x x x ) x x 3 d x 3 = = q 0 q i δ( x i x x x ) 4πɛ 0 x x 3 d x 3 = i V

53 Substituindo (12) em (11), obtemos: F = q 0 4πɛ 0 V ϕ( x x x ) x x 3 d x 3 = = q 0 q i δ( x i x x x ) 4πɛ 0 x x 3 d x 3 = i V = q 0 4πɛ 0 i q i V x x δ( x i x ) x x 3 d x 3 =

54 Substituindo (12) em (11), obtemos: F = q 0 4πɛ 0 V ϕ( x x x ) x x 3 d x 3 = = q 0 q i δ( x i x x x ) 4πɛ 0 x x 3 d x 3 = i V = q 0 4πɛ 0 i q i V x x δ( x i x ) x x 3 d x 3 = = q 0 q i 4πɛ 0 x x 3 ( x x ) i

55 Substituindo (12) em (11), obtemos: F = q 0 4πɛ 0 V ϕ( x x x ) x x 3 d x 3 = = q 0 q i δ( x i x x x ) 4πɛ 0 x x 3 d x 3 = i V = q 0 4πɛ 0 i q i V x x δ( x i x ) x x 3 d x 3 = = q 0 q i 4πɛ 0 x x 3 ( x x ) i que é a expressão, obtida anteriormente, para o caso de uma distribuição discreta de cargas. De forma semelhante podemos derivar as outras equações.

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57 1. Duas cargas puntiformes +q e -q estão situadas no vácuo, separadas por uma distância 2d. Com que força atuam sobre uma terceira carga q', situada sobre a mediatriz do segmento que liga as duas cargas, a uma distância D do ponto médio deste segmento?

58 1. Duas cargas puntiformes +q e -q estão situadas no vácuo, separadas por uma distância 2d. Com que força atuam sobre uma terceira carga q', situada sobre a mediatriz do segmento que liga as duas cargas, a uma distância D do ponto médio deste segmento?

59 1. Duas cargas puntiformes +q e -q estão situadas no vácuo, separadas por uma distância 2d. Com que força atuam sobre uma terceira carga q', situada sobre a mediatriz do segmento que liga as duas cargas, a uma distância D do ponto médio deste segmento? A força resultante do sistema é dada por:

60 1. Duas cargas puntiformes +q e -q estão situadas no vácuo, separadas por uma distância 2d. Com que força atuam sobre uma terceira carga q', situada sobre a mediatriz do segmento que liga as duas cargas, a uma distância D do ponto médio deste segmento? A força resultante do sistema é dada por: F = 2 F 1 cosθ == 2 F 1 d r (13)

61 Usando a Lei de Coulomb, obtemos:

62 Usando a Lei de Coulomb, obtemos: F = 2 1 qq 4πɛ 0 r 2 d = qq r 2πɛ 0 d r 3 (14)

63 Usando a Lei de Coulomb, obtemos: Portanto: F = 2 1 qq 4πɛ 0 r 2 d = qq r 2πɛ 0 d r 3 (14)

64 Usando a Lei de Coulomb, obtemos: F = 2 1 qq 4πɛ 0 r 2 d = qq r 2πɛ 0 d r 3 (14) Portanto: F = qq 2πɛ 0 d (d 2 + D 2 ) 3 2 ˆr (15)

65 Usando a Lei de Coulomb, obtemos: F = 2 1 qq 4πɛ 0 r 2 d = qq r 2πɛ 0 d r 3 (14) Portanto: F = qq 2πɛ 0 d (d 2 + D 2 ) 3 2 ˆr (15) ou seja, a força é paralela ao segmento que une as duas cargas e aponta para -q. Se q' tiver sinal oposto a q, o sentido de F seria o oposto.

66 2. Uma carga Q está distribuída uniformemente sobre um anel circular vertical de raio ρ e espessura desprezível. Qual é a força exercida sobre uma carga puntiforme q situada sobre o eixo horizontal que passa pelo centro do anel, a uma distãncia D do seu plano?

67 2. Uma carga Q está distribuída uniformemente sobre um anel circular vertical de raio ρ e espessura desprezível. Qual é a força exercida sobre uma carga puntiforme q situada sobre o eixo horizontal que passa pelo centro do anel, a uma distãncia D do seu plano?

68 2. Uma carga Q está distribuída uniformemente sobre um anel circular vertical de raio ρ e espessura desprezível. Qual é a força exercida sobre uma carga puntiforme q situada sobre o eixo horizontal que passa pelo centro do anel, a uma distãncia D do seu plano? A densidade linear de carga sobre o anel é:

69 2. Uma carga Q está distribuída uniformemente sobre um anel circular vertical de raio ρ e espessura desprezível. Qual é a força exercida sobre uma carga puntiforme q situada sobre o eixo horizontal que passa pelo centro do anel, a uma distãncia D do seu plano? A densidade linear de carga sobre o anel é: λ = Q 2πρ (16)

70 Um elemento de linha dl do anel que subentende um ãngulo dφ no seu centro, onde φ é o ângulo azimutal no plano do anel, tem uma carga dq = λdl = λρdφ e exerce uma força sobre a carga q dada por:

71 Um elemento de linha dl do anel que subentende um ãngulo dφ no seu centro, onde φ é o ângulo azimutal no plano do anel, tem uma carga dq = λdl = λρdφ e exerce uma força sobre a carga q dada por: d F = qdq λqρdφ D cosθ = 4πɛ 0 r 2 4πɛ 0 r 2 Q = 2πρ qdρdφ r 4πɛ 0 r 3 = QqDdφ 8π 2 ɛ 0 r 3 (17)

72 Um elemento de linha dl do anel que subentende um ãngulo dφ no seu centro, onde φ é o ângulo azimutal no plano do anel, tem uma carga dq = λdl = λρdφ e exerce uma força sobre a carga q dada por: d F = qdq λqρdφ D cosθ = 4πɛ 0 r 2 4πɛ 0 r 2 Q = 2πρ qdρdφ r 4πɛ 0 r 3 = QqDdφ 8π 2 ɛ 0 r 3 (17) Integrando em φ, obtemos:

73 Um elemento de linha dl do anel que subentende um ãngulo dφ no seu centro, onde φ é o ângulo azimutal no plano do anel, tem uma carga dq = λdl = λρdφ e exerce uma força sobre a carga q dada por: d F = qdq λqρdφ D cosθ = 4πɛ 0 r 2 4πɛ 0 r 2 Q = 2πρ qdρdφ r 4πɛ 0 r 3 = QqDdφ 8π 2 ɛ 0 r 3 (17) Integrando em φ, obtemos: F = QqD 8π 2 ɛ 0 r 3 2π

74 Um elemento de linha dl do anel que subentende um ãngulo dφ no seu centro, onde φ é o ângulo azimutal no plano do anel, tem uma carga dq = λdl = λρdφ e exerce uma força sobre a carga q dada por: d F = qdq λqρdφ D cosθ = 4πɛ 0 r 2 4πɛ 0 r 2 Q = 2πρ qdρdφ r 4πɛ 0 r 3 = QqDdφ 8π 2 ɛ 0 r 3 (17) Integrando em φ, obtemos: F = QqD 2π = 8π 2 ɛ 0 r 3

75 Um elemento de linha dl do anel que subentende um ãngulo dφ no seu centro, onde φ é o ângulo azimutal no plano do anel, tem uma carga dq = λdl = λρdφ e exerce uma força sobre a carga q dada por: d F = qdq λqρdφ D cosθ = 4πɛ 0 r 2 4πɛ 0 r 2 Q = 2πρ qdρdφ r 4πɛ 0 r 3 = QqDdφ 8π 2 ɛ 0 r 3 (17) Integrando em φ, obtemos: F = QqD 8π 2 ɛ 0 r 3 2π = F = QqD 4πɛ 0 (ρ 2 + D 2 ) 3 2 ˆr (18)

76 Um elemento de linha dl do anel que subentende um ãngulo dφ no seu centro, onde φ é o ângulo azimutal no plano do anel, tem uma carga dq = λdl = λρdφ e exerce uma força sobre a carga q dada por: d F = qdq λqρdφ D cosθ = 4πɛ 0 r 2 4πɛ 0 r 2 Q = 2πρ qdρdφ r 4πɛ 0 r 3 = QqDdφ 8π 2 ɛ 0 r 3 (17) Integrando em φ, obtemos: F = QqD 8π 2 ɛ 0 r 3 2π = F = Em particular, se D >> ρ, então F = QqD 4πɛ 0 (ρ 2 + D 2 ) 3 2 ˆr (18) Qq 4π 2 ɛ 0 D 2 ˆr, mostrando que o anel se comporta, a distâncias muito maiores que suas dimensões, como uma carga puntiforme Q.