O Eletromagnetismo é um ramo da física ou da engenharia elétrica onde os fenômenos elétricos e magnéticos são estudados.

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1 1. Análise Vetorial O Eletromagnetismo é um ramo da física ou da engenharia elétrica onde os fenômenos elétricos e magnéticos são estudados. Os princípios eletromagnéticos são encontrados em diversas aplicações: - Microondas; - Antenas; - Fibra óptica; - Compatibilidade e Interferência Eletromagnética; - Conversão de Energia; - Radares; - Sensoriamento remoto.

2

3 Equações de Maxwell

4 A análise vetorial é uma ferramenta matemática necessária para compreender os conceitos eletromagnéticos. Escalar é uma grandeza que apresenta apenas magnitude (tempo, massa, distância, temperatura, etc.); Vetor é uma quantidade que tem magnitude, direção e sentido (velocidade, força, deslocamento, intensidade de campo elétrico, etc.); A teoria eletromagnética é basicamente um estudo de alguns campos particulares: Um campo é uma função que especifica uma quantidade particular em qualquer lugar de um região definida.

5 Vetor Unitário Um vetor A possui módulo, direção e sentido.

6 Soma e Subtração de Vetores Dois vetores A e B somados dão origem ao vetor C. Dois vetores A e B subtraídos dão origem ao vetor D.

7 Assim, as três regras básicas da álgebra servem para quaisquer vetores A, B e C: onde k e l são escalares. Vetor Posição e Vetor Distância Um ponto P em coordenadas cartesianas pode ser representado por (x,y,z). O vetor posição (ou raio vetor) do ponto P consiste num vetor que define a posição de um dado corpo.

8 r P = 3a x + 4a y + 5a z O vetor distância é o deslocamento de um ponto ao outro. Dois pontos dados P e Q, o vetor distância é o deslocamento entre P e Q como mostrado na figura,

9 Exemplo 1: Exemplo 2:

10 Multiplicação de Vetores Quando dois vetores A e B são multiplicados, o resultado será um escalar ou um vetor dependendo de como eles são multiplicados. Dessa forma existem dois tipos de multiplicação de vetores: 1. Produto Escalar: A.B 2. Produto Vetorial: A x B Multiplicação de três vetores: A, B e C: 3. Produto escalar triplo: A.(B x C) 4. Produto vetorial triplo: A x (B x C)

11 Produto Escalar: O produto escalar de dois vetores A e B é definido geometricamente como o produto dos módulos de A e B e o cosseno do ângulo entre eles. Propriedades:

12 Produto Vetorial: O produto vetorial de dois vetores A e B é uma quantidade vetorial cujo módulo é a área do paralelogramo formado por A e B e a direção será dado pela regra da mão direita tomado de A até B,

13 Propriedades:

14 Produto Escalar Triplo Dados três vetores A, B e C, definimos o produto escalar triplo, é o volume de um paralelepípedo tendo A, B e C como bordas e sendo facilmente obtido por um determinante 3 x 3, Produto Vetorial Triplo Para vetores A, B e C, definimos o produto vetorial triplo como,

15 Componentes de um Vetor Uma aplicação direta do produto vetorial é determinar a projeção de um vetor em uma dada direção. Exemplo 3:

16 2. Sistemas de Coordenadas e Transformação As quantidades físicas do eletromagnetismo são funções de espaço e tempo. Para isso é necessário usar o sistema de coordenada apropriado. Coordenadas Cartesianas (x,y,z)

17 Coordenadas Cilíndricas (ρ,ϕ,z) - Simetria cilíndrica; Vetor A será escrito como, O módulo de A será,

18 A relação entre as coordenadas cartesianas (retangulares) e as coordenadas cilíndricas são: Coordenada cartesiana Coordenada cilíndrica Coordenada cilíndrica Coordenada cartesiana

19 A relação entre os vetores unitários (cartesiana e cilíndrica):

20 Finalmente, podemos obter a relação entre as componentes de um vetor A na coordenada cartesiana e na coordenada cilíndrica, ou Exercício Complementar 1: Mostre que as relações entre as componentes de um vetor A na coordenada cartesiana e na coordenada cilíndrica (e a relação inversa) podem ser escritas, na forma matricial, como,

21 Coordenadas Esféricas (r,θ,ϕ) Vetor A será escrito como, O módulo de A será,

22 Podemos relacionar as coordenadas cartesianas com as coordenadas esféricas, Coordenada cartesiana Coordenada esférica Coordenada esférica Coordenada cartesiana

23

24 Finalmente, podemos obter a relação entre as componentes de um vetor A na coordenada cartesiana e na coordenada esférica, ou Exercício Complementar 2: Mostre que as relações entre as componentes de um vetor A na coordenada cartesiana e na coordenada esférica (e a relação inversa) podem ser escritas, na forma matricial, como,

25 A distância entre dois pontos é necessário na teoria eletromagnética. A distância entre dois pontos escritas como vetores posição r 1 e r 2 será dado por,

26 Exemplo 4: Exemplo 5:

27 3. Cálculo Vetorial Este capítulo é sobre o cálculo vetorial - integração e diferenciação de vetores. Comprimento diferencial, Área e Volume Elementos diferenciais de comprimento, área, e volume são necessários no cálculo vetorial. Eles são definidos nos sistemas de coordenadas: cartesiano, cilíndrico e esférico. Coordenadas Cartesianas 1) Deslocamento diferencial será dado por:

28 2) Áreas diferenciais normais serão dadas por: 3) Volume diferencial será dado por:

29 Coordenadas Cilíndricas 1) Deslocamento diferencial será dado por: 2) Áreas diferenciais normais serão dadas por: 3) Volume diferencial será dado por:

30 Coordenadas Esféricas 1) Deslocamento diferencial será dado por: 2) Áreas diferenciais normais serão dadas por: 3) Volume diferencial será dado por:

31 Exemplo 6:

32 Integrais de linha, de superfície e de volume A integral de linha é a integral da componente tangencial de A ao longo da linha L. Dado um campo vetorial A, contínuo na superfície S, temos a integral de superfície ou o fluxo de A através de S, Superfície fechada: Caminho fechado abca:

33 Podemos definir a integral, como a integral de volume de um escalar ρ v sobre um volume v. O significado físico da integral de linha, da integral de superfície e da integral do volume depende da natureza das quantidades físicas representadas por A ou ρ v. Note que dl, ds e dv serão discutidas posteriormente. Exemplo 7:

34 Operador Del ou Nabla O operador del é o operador diferencial de caráter vetorial: O operador é útil para definir,

35 Gradiente de um campo escalar Definição: O gradiente de um campo escalar V é um vetor que representa a magnitude e a orientação da máxima taxa espacial de variação de V.

36 Exemplo 8:

37 Divergência de um campo vetorial e teorema da divergência Definição de divergência: A divergência de A em um dado ponto P é o fluxo que sai, por unidade de volume, à medida que o volume se reduz à zero em torno de P.

38

39 Teorema da divergência (ou teorema de Gauss- Otrogradsky) estabelece que o fluxo total de um campo vetorial A que sai de uma superfície fechada S é igual à integral de volume da divergência de A. Exemplo 9:

40 Exemplo 10:

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