1 Vetores no Plano. O segmento de reta orientada P Q tem P como ponto inicial, Q como ponto nal e

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1 Vetores no Plano Resumo 1 - Vetores no Plano 2. Componentes de um vetor; 3. Vetor nulo e vetores unitários; 4. Operações algébricas com vetores; 5. Exercícios; 6. Questões de Revisão 1 Vetores no Plano Algumas quantidades em geometria e física, tais como área, volume, temperatura, massa e tempo por exemplo, precisam apenas de um único número real seguido de uma unidade de medida apropriada para serem registradas. Estas quantidades são chamadas quantidades escalares e os números reais associados a elas são denomindos escalares. Para descrevermos uma força, precisamos registrar a direcão e o sentido no qual ela atua e o seu comprimento. Para descrevermos o deslocamento de um corpo, precisamos dizer em qual direção e sentido ele se moveu, e a distância percorrida. No caso da velocidade de um corpo, temos que saber para onde ele vai e qual a velocidade do movimento. Essas quantidades força, deslocamento e velocidade são denominadas de quantidades vetoriais. Para descrevermos as quantidades vetoriais utilizamos um segmento orientado como mostra a Fig. 1. O segmento de reta orientada P Q tem P como ponto inicial, Q como ponto nal e P Q é o comprimento. Dizemos que dois segmentos orientados P Q e RS são equivalentes se tiverem o mesmo comprimento e a mesma direção. Os segmentos orientados na Fig. 1 são equivalentes. A coleção de segmentos orientados equivalentes a um dado segmento orientado P Q é chamada de vetor no plano e denotado por v = P Q. Observação: Os vetores serão denotados por letras minúsculas como u, v e w. É comum desenhar pequenas setas sobre as letras, por exemplo u, v e w. 1

2 2 Componentes de um vetor 2 2 Componentes de um vetor Denição. ( Vetor, Vetores iguais) Um vetor no plano é um segmento de reta orientado. Dois vetores são iguias (ou o mesmo) se têm o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido. Exemplo. (Mostrando que vetores são iguais) Sejam A = (0, 0), B = (3, 4), C = ( 4, 2) e D = ( 1, 6). Mostre que os vetores u = AB e v = CD são iguais. Solução. Precisamos mostrar que u e v têm o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido. Observação. Cálculo do Comprimento Dados dois pontos A = (x 1, y 1 )e B = (x 2, y 2 ) usaremos a fórmula da distância para encontrar o comprimento do vetor u = AB. u = AB = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 u = AB = (3 0) 2 + (4 0) 2 = 5 v = CD = ( 1 ( 4)) 2 + (6 2) 2 = 5 Observação. Cálculo do Coeciente angular dos dois segmentos de reta. Dados dois pontos A = (x 1, y 1 ) e B = (x 2, y 2 ) o coeciente angular do seguimento de reta AB,α = y2 y1 α AB = = 4 3 α CD = ( 4) = 4 3 x 2 x 1 Os segmentos de reta têm a mesma direção porque são paralelos e o sentido deles é para a direita e para cima. Portanto, u = v porque eles têm o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido. Observação. Seja u = AB. Existe um segmento de reta orientado equivalente a AB cujo o ponto inicial é a origem do sistema de coordenadas. Ele representa v na posição-padrão e é o vetor que representamos v. Denição. (Representação em Componentes de um Vetor) Se v é um vetor no plano igual ao vetor com ponto inicial (0, 0) e ponto nal (x 1, y 1 ),então a representação em componentes de v é v = x 1, y 1. Os números x 1 e y 1 são componentes de v. O vetor x 1, y 1 é chamado de vetor posição do ponto (x 1, y 1 ). Denição. Dados os pontos P (x 1, y 1 ) e Q (x 2, y 2 ), o vetor posição v = v 1, v 2 equivalentes a P Q é v = x2 x 1, y 2 y 1. Denição. Dois vetores a, b e c, d são iguais se e somente se a = c e b = d.

3 3 Vetor Nulo e Vetores Unitários 3 Denição. A norma, comprimento ou magnitude do vetor v = P Q é v = v v 2 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 Exemplo. (Encontrando as Componentes e o Comprimento de um Vetor) Encontre (1) as componentes e (2) o comprimento do vetor com ponto inicial P = ( 3, 4) e ponto nal Q = ( 5, 2). 1. O vetor posição v que representa P Q tem componentes v1 = x 2 x 1 = ( 5) ( 3) = 2 e v 2 = y 2 y 1 = 2 4 = 2. A representação em componentes de P Q é v = 2, O comprimento de v = P Q é v = ( 2) 2 + ( 2) 2 = 2 2. Exemplo. (Uma Força que move um Carrinho) Um carrinho é puxado ao longo de uma superfície horizontal lisa com uma força F de 20 lb que forma um ângulo de 45º com a superfície. Qual é a força efetiva que move o carrinho para frente? Solução. A força efetiva ( é a componente horizontal de F = a, b, dado por 2 ) a = F cos45º = (20) 14, 14lb 3 Vetor Nulo e Vetores Unitários 2 Denição. Um vetor é nulo, quando o seu comprimento é zero, v = 0, 0.O vetor nulo é o único vetor sem direção e sem sentido especícos. Denição. Um vetor é unitário ou versor, quando o seu comprimento é 1, v = 1. Se v = v 1, v 2 zer um ângulo θ com o eixo x positivo, então: v 1 = v cosθ = cosθ e v 2 = v senθ = senθ

4 4 Operações algébricas com Vetores 4 Um vetor unitário v no plano que forma um ângulo θ com o eixo x positivo é representado por v = cosθ, senθ. À medida que θ varia de 0 a 2π, o ponto nal de um vetor unitário v traça um círculo unitário no sentido anti-horário, levando-se em consideração todas as direções possíveis. 4 Operações algébricas com Vetores 4.1 Adição de Vetores Denição. A soma de dois vetores A = a 1, a 2 e B = b 1, b 2 é o vetor A + B denido por A + B = a 1 + b 2, a 2 + b 2 Interpretação Geométrica Seja A = a 1, a 2 e B = b 1, b 2, e seja P o ponto (x, y). Então, o vetor A translada o ponto P no ponto (x + a 1, y + a 2 ) = Q. O vetor B translada o ponto Q no ponto ((x + a 1 ) + b 1, (y + a 2 ) + b 2 )ou, equivalentemente, (x + (a 1 + b 1 ), y + (a 2 + b 2 )) = R. Logo o vetor A+B = a 1 + b 1, a 2 + b 2 translada no ponto (x + (a 1 + b 1 ), y + (a 2 + b 2 )) = R o ponto P. Portanto na gura acima P Q é uma representação do vetor A, QR é uma representação do vetor B e P R

5 4 Operações algébricas com Vetores 5 é uma representação do A + B. As representações dos vetores A e B são os lados adjacentes de um paralelogramo, e a representação do vetor A + B é uma diagonal do paralelogramo. Essa diagonal é chamada de resultante dos vetores A e B. A regra para adição de vetores é chamada de regra do paralelogramo. 4.2 Multiplicação por Escalar Denição. Se c for um escalar e A for o vetor a 1, a 2, então o produto de c e A, denotado por ca, será um vetor dado por ca = c a 1, a 2 = ca 1, ca 2 A interpretação geométrica do vetor ca é dada nas guras acima. Se c > 0, então o vetor ca será um vetor cuja a representação tem um comprimento c vezes o módulo de A e terá o mesmo sentido que A. Se c < 0,então o vetor ca será um vetor cuja a representação tem um comprimento c vezes o módulo de A, a mesma direção e sentidos oposto ao de A. 1. Se A = a 1, a 2, então o vetor a 1, a 2 é denido como o oposto de A, denotado por A 2. A diferença de dois vetores A e B, denotada por A B, é o vetor obtido ao somarmos A ao oposto de B;isto é, A B = A + ( B)

6 5 Exercícios Propriedades de Operações com Vetores Sejam u, v e w vetores e a e b escalares. 1. u + v = v + u 2. (u + v) + w = u + (v + w) 3. u + 0 = u 4. u + ( u) = u = u = u 7. a (bu) = (ab) u 8. a (u + v) = au + av 9. (a + b) u = au + bu 5 Exercícios Nos exercícios 1-8, sejam u = 3, 2 e v = 2, 5.Encontre (a) as componentes, (b) a norma (comprimento) do vetor e (c) esboce os vetores dos exercícios ímpares. 1. 3u 2. 2v 3. u + v 4. 2u 3v 5. u v 6. 2u + 5v u v u v Nos exercícios 1-4, encontre a componente do vetor. 1. O vetor P Q, onde P = (1, 3)e Q = (2, 1) 2. O vetor OP, onde O é a origem e P é o ponto médio do segmento RS, sendo R = (2, 1) e S = ( 4, 3). 3. O vetor a partir do ponto A = (2, 3) até a origem. 4. A soma de AB e CD, onde A = (1, 1), B = (2, 0), C = ( 1, 3)e D = ( 2, 2).

7 6 Questões de Revisão 7 6 Questões de Revisão 1. Quando segmentos de reta orientados no plano representam o mesmo vetor? 2. como vetores são somados e subtraídos geometricamente? e algebricamente? 3. Como se encontra a magnitude e a direção de um vetor? 4. Se um vetor for multiplicado por um escalar positivo, como o resultado estará relacionado ao vetor original? O que acontece se o escalar for zero? E negativo? Referências [1] THOMAS,George B.... [et al]; tradução Carlos Scalici; Cálculo, volume 2. revisão técnica Claudio Hirofume Asano ed.- São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012