Parte 3 - Produto Interno e Diagonalização

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1 Parte 3 - Produto Interno e Diagonalização Produto Escalar: Sejam u = (u 1,..., u n ) e v = (v 1,..., v n ) dois vetores no R n. O produto escalar, ou produto interno euclidiano, entre esses vetores é dado por u v = u 1 v u n v n = n u k v k. k=1 Se u, v e w são vetores do R n, e α R é um escalar, decorre da definição que o produto escalar satisfaz as seguintes propriedades: 1. u v = v u 2. u ( v + w) = u v + u w 3. α( u v) = (α u) v 4. v v 0 5. v v = 0 v = 0 Comprimento: A norma, ou comprimento, de um vetor v = (v 1,..., v n ) R n é dada por v = v v = v vn. 2 A distância entre dois pontos u = (u 1,..., u n ), v = (v 1,..., v n ) R n é dada pela fórmula d( u, v) = u v. Ângulo: O ângulo θ entre dois vetores u = (u 1,..., u n ), v = (v 1,..., v n ) R n é dado, em função do produto escalar, por meio da fórmula cos θ = u v u v. Dois vetores u e v são ortogonais quando u v = 0. Dois vetores são ortonormais se eles forem ortogonais e unitários. 1

2 Autovalor e Autovetor: Se A é uma matriz n n, então um escalar λ é chamado de autovalor de A se existe um vetor não nulo x, denominado autovetor, tal que A x = λ x. Os autovetores associados ao autovalor λ = 1 são denominados pontos fixos da matriz A. Equação Característica: Para que uma matriz A admita autovetores é necessário que a equação A x = λ x (λi A) x = 0 tenha solução não trivial, o que só é possível se a matriz (λi A) dos coeficientes do sistema linear homogêneo associado for singular. Assim, a existência de autovalores e autovetores para uma matriz A está condicionada à solução da equação característica Polinômio Característico: det(λi A) = 0. Se A é uma matriz de tipo n n, então o polinômio característico de A é definido como o polinômio p A (λ) de grau n em λ obtido pela expansão do determinante det(λi A). Pode ser mostrado que p A (λ) = (λ λ 1 ) m 1 (λ λ 2 ) m 2... (λ λ k ) m k em que λ 1, λ 2,..., λ k são autovalores distintos de A e m 1 + m m k = n. Os expoentes m 1, m 2,..., m k são as multiplicidades algébricas dos respectivos autovalores. Os autovalores λ j de uma matriz A são, portanto, as raízes de seu polinômio característico e os autovetores associados são as soluções não nulas do sistema linear homogêneo (λ j I A) x = 0, as quais constituem o auto-espaço relativo ao autovalor λ j. Semelhança: 2

3 Se A e B são matrizes quadradas de mesmo tamanho, dizemos que B é semelhante a A se existe uma matriz invertível M tal que B = M 1 AM. Segue do que foi visto sobre representações matriciais de operadores lineares que A e B serão semelhantes se e somente se existirem bases em relação às quais elas representam o mesmo operador linear. Invariantes: Matrizes semelhantes compartilham de diversas propriedades comuns: 1. mesmo determinante; 2. mesmo rank; 3. mesma nulidade; 4. mesmo traço; 5. mesmo polinômio característico. Dado um autovalor λ de uma matriz A, o seu número de repetições como raiz do polinômio característico é denominado multiplicidade algébrica e a dimensão do auto-espaço Aut(λ) associado a λ é denominada multiplicidade geométrica. Como duas matrizes semelhantes possuem o mesmo polinômio característico, elas também possuem os mesmos autovalores com as mesmas multiplicidades algébricas. Além disso, se x é autovetor de B = M 1 AM, não é difícil ver que M x é autovetor de A associado ao mesmo autovalor; como M é invertível, os autovalores de matrizes semelhantes também compartilham das mesmas multiplicidades geométricas. Diagonalização: Quando uma dada matriz quadrada A é semelhante a uma matriz diagonal D? Isso acontece se existir uma matriz invertível M tal que Nesse caso, dizemos que a matriz A é diagonalizável e que a matriz M diagonaliza A. Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então as afirmações seguintes são equivalentes: 3

4 1. A é diagonalizável. 2. A tem n autovetores linearmente independentes. 3. R n tem uma base formada por autovetores de A. 4. A soma das multiplicidades geométricas dos autovalores de A é n. 5. A multiplicidade geométrica de cada autovalor de A é a mesma que sua multiplicidade algébrica. Segue abaixo um método prático para diagonalizar uma matriz (quando isso é possível). Passo 1. Encontre n autovetores linearmente independentes de A, digamos v 1,..., v n. Passo 2. Forme a matriz M = [ v 1... v n ]. Passo 3. A matriz D = M 1 AM será diagonal e terá os autovalores correspondentes a v 1,..., v n, respectivamente, na sua diagonal principal. Exercícios 1. Determine u u, v v e u v, sendo u = (1, 1, 4, 6) e v = (2, 2, 3, 2). 2. Determine u u, v v e u v, sendo u = (1, 1, 2, 3) e v = ( 1, 0, 5, 1). 3. Encontre a norma de v, o versor na mesma direção e o versor na direção oposta. (a) v = (4, 3) (b) v = (2, 2, 2) 4. Encontre a norma de v, o versor na mesma direção e o versor na direção oposta. (a) v = ( 5, 12) (b) v = (1, 1, 2) 5. Encontre a distância euclidiana e o cosseno do ângulo entre u = (3, 3, 3) e v = (1, 0, 4). 4

5 6. Encontre a distância euclidiana e o cosseno do ângulo entre u = (1, 2, 3, 0) e v = (5, 1, 2, 2). 7. Para quais valores de k os vetores u = (k, 1, 3) e v = (1, 7, k) são ortogonais? 8. Para quais valores de k os vetores u = ( 2, k, k) e v = (k, 5, k) são ortogonais? 9. Ache a equação característica da matriz e encontre os autovalores com suas respectivas multiplicidades. [ ] 3 0 (a) A = 8 1 [ ] 10 9 (b) B = Ache a equação característica da matriz e encontre os autovalores com suas respectivas multiplicidades. [ ] 2 0 (a) A = 1 2 [ ] 2 4 (b) B = Descreva geometricamente os auto-espaços da matriz no exercício (a) 9(a) (b) 9(b) 12. Descreva geometricamente os auto-espaços da matriz no exercício (a) 10(a) (b) 10(b) 13. Encontre a matriz M que diagonaliza A = [ ] e determine 5

6 14. Encontre a matriz M que diagonaliza A = 15. Encontre a matriz M que diagonaliza A = 16. Encontre a matriz M que diagonaliza A = Respostas 1. u u = 54, v v = 21 e u v = u u = 15, v v = 27 e u v = 8. ( ) 4 3. (a) v = 5, u = 5, 3, u = 5 (b) v = 2 ( 1 1 3, u = 3,, 3 4. (a) v = 13, u = (b) v = 6, u = ( 5 13, ( 1 6, 1 6, 5. d( u, v) = 14, cos θ = d( u, v) = 46, cos θ = ( 4 5, 3 ). 5 [ ] e determine e determine e determine ) ( 1, u = 1, 1, 1 ) ) ( 5, u = 13, ) 2, u = 6 ). ( 1 6, 1, 2 ) k = k = 0 e k = 3 6

7 9. (a) Equação característica: (λ 3)(λ + 1) = 0; Autovalores: λ 1 = 3 e λ 2 = 1; Multiplicidades: ambos têm multiplicidade algébrica igual a 1. (b) Equação característica: (λ 4) 2 = 0; Autovalor: λ = 4; Multiplicidade: (a) Equação característica: (λ 2) 2 = 0; Autovalor: λ = 2; Multiplicidade: 2. (b) Equação característica: λ 2 16 = 0; Autovalores: λ = ±4; Multiplicidades: ambos têm multiplicidade algébrica igual a (a) Auto-espaço de λ 1 = 3: reta y = 2x; Auto-espaço de λ 2 = 1: eixo y. (b) Auto-espaço de λ = 4: reta y = 2 3 x. 12. (a) Auto-espaço de λ = 2: eixo y; (b) Auto-espaço de λ 1 = 4: reta y = 3 2 x; Auto-espaço de λ 2 = 4: reta y = 1 2 x. [ ] [ ] M = e D = [ ] [ ] 14. M = e D = M = 1 e D = M = 0 e D =