Geometria Analítica - Sistemas de Coordenadas no Plano

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1 Geometria Analítica - Sistemas de Coordenadas no Plano Cleide Martins DMat - UFPE Turmas E1 e E3 Cleide Martins (DMat - UFPE) Retas e Elipses Turmas E1 e E3 1 / 1

2 Para denir um sistema de coordenadas no plano são necessários dois vetores LI e um ponto. O sistema de coordenadas construído a partir da sequência LI E = ( e 1, e 2 ) e do ponto O segue a mesma denição do sistema construído para o espaço. Cleide Martins (DMat - UFPE) Retas e Elipses Turmas E1 e E3 2 / 1

3 Sistema de coordenadas (O, E) O eixo Ox é a reta orientada com o sentido e a escala do vetor e 1 O eixo Oy é a reta orientada com o sentido e a escala do vetor e 2 As coordenadas do ponto P são as coordenadas do vetor OP na base E Se e 1 e e 2 são unitários e ortogonais então o sistema (O, E) é ortogonal O sistema de coordenadas (O, E) pode ser considerado como o plano xoy de um sistema de coordenadas no espaço. Adotaremos um sistema de coordenadas ortogonal para o nosso estudo do plano R 2 Cleide Martins (DMat - UFPE) Retas e Elipses Turmas E1 e E3 3 / 1

4 Retas no Plano Retas no plano são denidas exatamente como retas no espaço. Dado um vetor não nulo v e um ponto A, a reta que contem A e é paralela a v consiste de todos os pontos X tais que AX= λ v. Daí, temos a equação vetorial de uma reta no plano X = A + λ v Ou, conhecendo as coordenadas de A = (x 0, y 0 ) e v = (a, b), temos as equações paramétricas { x = x0 + aλ y = y 0 + bλ Cleide Martins (DMat - UFPE) Retas e Elipses Turmas E1 e E3 4 / 1

5 Eliminação do parâmetro Se a reta não é paralela ao eixo Oy, ou seja, a 0, temos da primeira equação λ = x x 0 a levado na segunda equação, fornece que y y 0 = b a (x x 0) Ou, reescrevendo, Ou ainda b(x x 0 ) a(y y 0 ) = 0 Ax + By = C Cleide Martins (DMat - UFPE) Retas e Elipses Turmas E1 e E3 5 / 1

6 Observações Vamos analisar as possíveis formas de escrever uma equação, livre de parâmetro, para a reta paralela ao vetor v = (a, b) que passa pelo ponto A = (x 0, y 0 ) Quando a 0, olhando para a equação y y 0 = b a (x x 0) qual o signicado do número b a? Olhando para a terceira equação (parecida com uma equação geral de um plano no R 3 ) Ax + By = C onde A = b e B = a. Qual a relação entre o vetor w= (A, B) e o vetor v = (a, b)? A restrição a 0 é necessária nesse caso? Cleide Martins (DMat - UFPE) Retas e Elipses Turmas E1 e E3 6 / 1

7 Conclusões A equação de uma reta que não é vertical tem a forma y = mx + k onde m é o coeciente angular (inclinação ou declividade) e k é o coeciente linear (o ponto de interseção da reta com o eixo Oy é (0, k)) A equação de uma reta na forma Ax + By = C evidencia a direção da perpendicular à essa reta (seu vetor normal w= (A, B)) Cleide Martins (DMat - UFPE) Retas e Elipses Turmas E1 e E3 7 / 1

8 Exercícios Para cada uma das retas a seguir, determine: um ponto, um vetor diretor, um vetor normal, o coeciente angular e o coeciente linear. 1 X = (2, 1) + λ(1, 4) 2 2(x + 1) 3(y 2) = 0 3 y = 5x 2 4 3x + 2y = 5 Cleide Martins (DMat - UFPE) Retas e Elipses Turmas E1 e E3 8 / 1

9 Distância de um ponto a uma reta Para cada uma das formas de representar uma reta no plano, podemos deduzir uma expressão para calcular a distância de um ponto a uma reta. Vamos calcular a distância do ponto P = (x 1, y 1 ) à reta r : Ax + By = C. Como a ênfase dessa equação é no vetor normal w= (A, B), vamos usá-lo: escolhemos um ponto Q = (x 0, y 0 ) r, ou seja Ax 0 + By 0 = C a distância de P a r é o comprimento do vetor projeção de QP sobre w QP d(p, r) = Proj = QP. w w = (x 1 x 0, y 1 y 0 ).(A, B) = A(x 1 x 0 ) + B(y 1 y 0 ) w A 2 + B 2 A 2 + B 2 d(p, r) = Ax 1 + By 1 C A 2 + B 2 Cleide Martins (DMat - UFPE) Retas e Elipses Turmas E1 e E3 9 / 1

10 Exercícios 1 Mostre que a distância do ponto P = (x 1, y 1 ) à reta r : X = (x 0, y 0 ) + λ(a, b) é d(p, r) = b(x 1 x 0 ) a(y 1 y 0 ) a 2 + b 2 2 Mostre que a distância do ponto P = (x 1, y 1 ) à reta r : y = mx + k é d(p, r) = mx 1 y 1 + k 1 + m 2 Cleide Martins (DMat - UFPE) Retas e Elipses Turmas E1 e E3 10 / 1

11 Uma palavra sobre simetrias e distâncias Dados uma reta l e um ponto P O ponto simétrico de P em relação a l é o ponto P que pertence à perpendicular à l que passa por P e tal que d(p, l) = d(p, l) Se P é o simétrico de P em relação à l então l é a mediatriz do segmento P P. A reta l é o lugar geométrico dos pontos que são equidistantes de P e P. Portanto, se Q l então d(q, P ) = d(q, P ) Cleide Martins (DMat - UFPE) Retas e Elipses Turmas E1 e E3 11 / 1

12 Considere agora dois pontos A e B no plano, a mediatriz r do segmento AB e os pontos R e R simétricos em relação à r. Compare as distâncias d(r, A) com d(r, B) d(r, B) com d(r, A) Cleide Martins (DMat - UFPE) Retas e Elipses Turmas E1 e E3 12 / 1

13 Considere agora dois pontos A e B no plano, a mediatriz r do segmento AB e os pontos R e R simétricos em relação à r. Compare as distâncias d(r, A) com d(r, B) d(r, B) com d(r, A) A R r R B Cleide Martins (DMat - UFPE) Retas e Elipses Turmas E1 e E3 12 / 1

14 Considere agora dois pontos A e B no plano, a mediatriz r do segmento AB e os pontos R e R simétricos em relação à r. Compare as distâncias d(r, A) com d(r, B) d(r, B) com d(r, A) A R r R B Cleide Martins (DMat - UFPE) Retas e Elipses Turmas E1 e E3 12 / 1

15 Considere agora dois pontos A e B no plano, a mediatriz r do segmento AB e os pontos R e R simétricos em relação à r. Compare as distâncias R r d(r, A) = d(r, B) d(r, B) com d(r, A) A R B Cleide Martins (DMat - UFPE) Retas e Elipses Turmas E1 e E3 12 / 1

16 Considere agora dois pontos A e B no plano, a mediatriz r do segmento AB e os pontos R e R simétricos em relação à r. Compare as distâncias R r d(r, A) = d(r, B) A d(r, B) = d(r, A) Usaremos essas informações para denir as cônicas R B Cleide Martins (DMat - UFPE) Retas e Elipses Turmas E1 e E3 12 / 1

17 A Elipse Dados dois pontos F 1 e F 2 e um número real r > d(f 1, F 2) Denição A elipse com focos F 1 e F 2 e eixo r é o lugar geométrico dos pontos P tais que d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = r Cleide Martins (DMat - UFPE) Retas e Elipses Turmas E1 e E3 13 / 1

18 Construção de uma elipse Podemos construir uma elipse com um o de comprimento r tendo as extremidades presas nos pontos F 1 e F 2 Imagine o o esticado por um lápis que faz o traçado dos pontos que satisfazem a condição da denição Cleide Martins (DMat - UFPE) Retas e Elipses Turmas E1 e E3 14 / 1

19 Simetrias da elipse Seja l a reta por F 1 e F 2. Considere os pontos P e P simétricos em relação à l Portanto d(p, F 1 ) = d(p, F 1 ) e d(p, F 2 ) = d(p, F 2 ) Se P pertence à elipse com focos F 1 e F 2 e eixo r então P também pertence pois d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = r d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = r Cleide Martins (DMat - UFPE) Retas e Elipses Turmas E1 e E3 15 / 1

20 Simetrias da elipse Seja l a reta por F 1 e F 2. Considere os pontos P e P simétricos em relação à l Portanto d(p, F 1 ) = d(p, F 1 ) e d(p, F 2 ) = d(p, F 2 ) Se P pertence à elipse com focos F 1 e F 2 e eixo r então P também pertence pois d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = r d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = r Seja s a mediatriz do segmento F 1 F 2. Considere os pontos P e P simétricos em relação à s Portanto d(p, F 1 ) = d(p, F 1 ) e d(p, F 2 ) = d(p, F 2 ) Se P pertence à elipse com focos F 1 e F 2 e eixo r então P também pertence pois d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = r d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = r Cleide Martins (DMat - UFPE) Retas e Elipses Turmas E1 e E3 15 / 1

21 Eixos de simetria da elipse Conclusão: os eixos de simetria da elipse com focos F 1 e F 2 e eixo r são a reta denida por F 1 e F 2 a mediatriz do segmento F 1 F 2 Cleide Martins (DMat - UFPE) Retas e Elipses Turmas E1 e E3 16 / 1

22 Vértices de uma elipse Os pontos de uma elipse que estão sobre algum de seus eixos de simetria são chamados vértices da elipse Os vértices que estão sobre a reta F 1 F 2 são denotados por A 1 e A 2 Os vértices que estão sobre a mediatriz de F 1 F 2 são denotados por B 1 e B 2 Usando a construção da elipse com o o esticado, verique que o eixo da elipse (o número r da denição) é a distância de A 1 a A 2 Cleide Martins (DMat - UFPE) Retas e Elipses Turmas E1 e E3 17 / 1

23 Parâmetros geométricos de uma elipse Os parâmetros geométricos de uma elipse são Eixo maior: d(a 1, A 2 ) Eixo menor: d(b 1, B 2 ) Distância focal: d(f 1, F 2 ) Cleide Martins (DMat - UFPE) Retas e Elipses Turmas E1 e E3 18 / 1

24 Elipses em posição canônica Dizemos que uma elipse está em posição canônica em relação a um sistema de coordenas se seus eixos de simetria são os eixos coordenados. y y A 1 a c F 1 A 2 B 1 b a b F 2 c A 1 c a F 1 x B 2 b B 1 x B 2 F 2 A 2 Cleide Martins (DMat - UFPE) Retas e Elipses Turmas E1 e E3 19 / 1

25 Equações das elipses em posição canônica Para determinar as equações das elipses em posição canônica precisamos das coordenadas dos focos e da medida do eixo. Chamemos de elipse em posição canônica 1 aquela que tem os focos sobre o eixo Ox, digamos F 1 = (c, 0), F 2 = ( c, 0), então os vértices A 1 e A 2 têm coordenadas A 1 = (a, 0), A 2 = ( a, 0), r = 2a e os vértices B 1 e B 2 têm coordenadas B 1 = (0, b) e B 2 = (0, b) Chamemos de elipse em posição canônica 2 aquela que tem os focos sobre o eixo Oy, digamos F 1 = (0, c), F 2 = (0, c), então os vértices A 1 e A 2 têm coordenadas A 1 = (0, a), A 2 = (0, a), r = 2a e os vértices B 1 e B 2 têm coordenadas B 1 = (b, 0) e B 2 = ( b, 0) Cleide Martins (DMat - UFPE) Retas e Elipses Turmas E1 e E3 20 / 1

26 Equação da elipse em posição canônica 1 Se um ponto P = (x, y) pertence a esta elipse então d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = r. (x c) 2 + y 2 + (x + c) 2 + y 2 = 2a Para obter uma equação mais simples, eliminamos os radicais em duas etapas: isolando um de cada vez e elevando ao quadrado. ( (x c) 2 + y 2 ) 2 = (2a (x + c) 2 + y 2 ) 2 Cleide Martins (DMat - UFPE) Retas e Elipses Turmas E1 e E3 21 / 1

27 Equação da elipse em posição canônica 1 Se um ponto P = (x, y) pertence a esta elipse então d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = r. (x c) 2 + y 2 + (x + c) 2 + y 2 = 2a Para obter uma equação mais simples, eliminamos os radicais em duas etapas: isolando um de cada vez e elevando ao quadrado. ( (x c) 2 + y 2 ) 2 = (2a (x + c) 2 + y 2 ) 2 x 2 2cx + c 2 + y 2 = 4a 2 4a (x + c) 2 + y 2 + x 2 + 2cx + c 2 + y 2 Cleide Martins (DMat - UFPE) Retas e Elipses Turmas E1 e E3 21 / 1

28 Equação da elipse em posição canônica 1 Se um ponto P = (x, y) pertence a esta elipse então d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = r. (x c) 2 + y 2 + (x + c) 2 + y 2 = 2a Para obter uma equação mais simples, eliminamos os radicais em duas etapas: isolando um de cada vez e elevando ao quadrado. ( (x c) 2 + y 2 ) 2 = (2a (x + c) 2 + y 2 ) 2 x\ 2 2cx + c\ 2 + y\ 2 = 4a 2 4a (x + c) 2 + y 2 + x\ 2 + 2cx + c\ 2 + y\ 2 Cleide Martins (DMat - UFPE) Retas e Elipses Turmas E1 e E3 21 / 1

29 Equação da elipse em posição canônica 1 Se um ponto P = (x, y) pertence a esta elipse então d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = r. (x c) 2 + y 2 + (x + c) 2 + y 2 = 2a Para obter uma equação mais simples, eliminamos os radicais em duas etapas: isolando um de cada vez e elevando ao quadrado. ( (x c) 2 + y 2 ) 2 = (2a (x + c) 2 + y 2 ) 2 x\ 2 2cx + c\ 2 + y\ 2 = 4a 2 4a (x + c) 2 + y 2 + x\ 2 + 2cx + c\ 2 + y\ 2 4a (x + c) 2 + y 2 = 4a 2 4cx 4 (a (x + c) 2 + y 2 ) 2 = (a 2 cx) 2 a 2 (x 2 + 2cx + c 2 + y 2 ) = a 4 2a 2 cx + c 2 x 2 Cleide Martins (DMat - UFPE) Retas e Elipses Turmas E1 e E3 21 / 1

30 Equação da elipse em posição canônica 1 Após os cancelamentos agrupamos as parcelas em x 2 e y 2 (a 2 c 2 )x 2 + a 2 y 2 = a 4 a 2 c 2 Substituímos a 2 c 2 = b 2 e dividimos toda a equação por a 2 b 2 b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 Observe que as coordenadas dos vértices são obtidas como interseção dessa equação com o eixo x (y = 0) e com o eixo y (x = 0). Cleide Martins (DMat - UFPE) Retas e Elipses Turmas E1 e E3 22 / 1

31 Equação da elipse em posição canônica 2 Podemos obter a equação da elipse em posição canônica 2 repetindo todo o processo ou por analogia, observando que sua interseção com os eixos coordenados são os vértices. x 2 b 2 + y2 a 2 = 1 x = 0 y = ±a A 1 = (0, a) A 2 = (0, a) y = 0 x = ±b B 1 = (b, 0) B 2 = ( b, 0) Cleide Martins (DMat - UFPE) Retas e Elipses Turmas E1 e E3 23 / 1