Equação da reta. No R 2 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 05

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 05 Assunto:Equações da reta no R 2 e no R 3, equações do plano, funções de uma variável real a valores em R n Palavras-chaves: Equação da reta, equação do plano, curvas, trajetórias e traço. Equação da reta No R 2 Sejam P 0 = (x 0, y 0 ) um ponto xo do R 2 e v = (a, b) um vetor xo e não-nulo. Vamos denotar por r a reta que passa por P 0 e tem a direção do vetor v P = (x, y) é um ponto genérico de r. Temos que P P 0 // v. Assim, teremos P P0 = t v, t R Portanto, a equação da reta r será P = P 0 + t v Também pode ser escrita como segue (x, y) = (x 0, y 0 ) + t(a, b)

2 Desenvolvendo a equação vetorial, temos (x, y) = (x 0 + at, y 0 + bt). Portanto, x = x 0 + at y = y 0 + bt No qual, as mesmas são chamadas de equações paramétricas da reta r. Supondo a 0 e b 0, temos t = x x 0 a e t = y y 0 b Portanto, y y 0 b = x x 0 a Na qual é a equação simétrica da reta r. Daí, temos que ay ay 0 = bx bx 0 bx ay = bx 0 ay 0 Escrevendo b = α, a = β e γ = bx 0 ay 0, temos a equação geral da reta dada por αx + βy = γ Obs: O vetor x = (α, β) = (b, a) é perpendicular a direção da reta, pois x v. Isolando y em αx + βy = γ, temos y = α β x + γ β escrevendo m = α β e n = γ, obtemos a seguinte equação reduzida da reta r dada por β y = mx + n Exemplo 1 Considere a reta r que passa pelo ponto P 0 = (1, 3) e tem a direção do vetor v = (4, 2). Obtenha uma equação vetorial, equações paramétricas e uma equação geral para a reta r. Interprete geometricamente. Resolução: Equação Vetorial 2

3 P = P0 + t v, P = (x, y) (x, y) = (1, 3) + t(4, 2) Equações Paramétricas (x, y) = (1 + 4t, 3 + 2t) x = 1 + 4t y = 3 + 2t Equação Geral t = x 1, t = y x 1 = y x 2 = 4y 12 2x 4y = 10 x 2y = 5 Interpretação Geométrica t = 0 x = 1 y = 3 t = 1 x = 5 y = 5 t = 2 x = 9 y = 7 t = 1 x = 3 y = 1 3

4 Equação da reta no R 3 Sejam P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) um ponto xo do R 3 e v = (a, b, c) um vetor xo e não-nulo do R 3. Consideremos a reta r que passa por P 0 e é paralela (tem a direção)ao vetor v. Seja P = (x, y, z) é um ponto genérico de r. Temos que P P 0 // v. Assim, teremos P P0 = t v, t R Portanto, a equação vetorial da reta r será Esta equação também pode ser apresentada por P = P 0 + t v (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + t(a, b, c) 4

5 Desenvolvendo a equação vetorial de r, obteremos (x, y, z) = (x 0 + at, y 0 + bt, z 0 + ct). Portanto, Essas são as equações paramétricas da reta r. x = x 0 + at y = y 0 + bt z = z 0 + ct Supondo a 0, b 0 e c 0, temos t = x x 0 a t = y y 0 b e t = z z 0 c Portanto, Na qual é a equação simétrica da reta r. y y 0 b = x x 0 a = z z 0 c Mesmo quando um dos números a, b ou c são nulos, é possível isolar o t. Por exemplo, se a = 0, então Portanto, neste caso, as equações simétricas será x = x 0 y = y 0 + bt z = z 0 + ct x = x 0 ; y y 0 b = z z 0 c 5

6 Exemplo 2 Determine as equações vetorial, paramétricas e simétricas da reta que passa pelo ponto (4, 3, 5) e tem a direção do vetor v = (2, 4, 3). Resolução: Equação Vetorial P = P0 + t v, P = (x, y, z) (x, y) = (4, 3, 5) + t(2, 4, 3) Equações Paramétricas (x, y, z) = (4 + 2t, 3 + 4t, 5 + 3t) x = 4 + 2t y = 3 + 4t z = 5 + 3t Equações Simétricas t = x 4, t = y x 4 = y Como serão as equações de retas no R n ; n 4?, t = z 5 3 = z 5 3 Equação do plano Sejam P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) um ponto xo do R 3 e n = (a, b, c) um vetor xo e não nulo do R 3. Vamos denotar por π o plano que passa por P 0 e é perpendicular ao vetor n. Neste caso, n é chamado de vetor normal ao plano π. 6

7 Seja P = (x, y, z) um ponto genérico do plano π. Assim, temos que, P P 0 n. Portanto, a equação vetorial do plano π é dada por n.( P p0 ) = 0 Outro modo de expressar a equação vetorial é (a, b, c).[(x, y, z) (x 0, y 0, z 0 )] = 0 7

8 Assim, teremos que (a, b, c).(x x 0, y y 0, z z 0 ) = 0 a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0 A qual é chamada de equação escalar do plano π. Desenvolvendo a equação, teremos ax ax 0 + by by 0 + cz cz 0 = 0 ax + by + cz = ax 0 + by 0 + cz 0 }} d Logo, a equação geral do plano π (também chamada de equação linear do plano π) é dada por ax + by + cz = d Exemplo 3 Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto P 0 = (1, 2, 3) e é perpendicular ao vetor n = (2, 1, 4). Resolução: A equação geral do plano é dada por Temos que n = (a, b, c) = (2, 1, 4). Logo, ax + by + cz = d 2x + y + 4z = d Precisamos do valor de d. Como P 0 pertence ao plano,então, teremos Portanto, = d d = = 16 2x + y + 4z = 16 8

9 Funções de R em R n (curvas) Estudaremos agora funções denidas em um subconjunto A de R (podendo A ser o próprio R) e que tomam valores em R n, com n 2. Por exemplo, α : A R R n 1. α(t) = (t, t 2 ), onde α é uma função de R em R 2. Portanto, α : R R 2 t (t, t 2 ) 2. α(t) = (cos t, sin t), 0 t 2π, onde α é uma função do intervalo [0, 2π] em R 2. Portanto, α : [0, 2π] R 2 t (cos t, sin t) 3. α(t) = ( cos t, sin t, t 4), t 0, onde α é uma função do intervalo [0, + ] em R 3. Portanto, α : [0, + ] R 3 ( t cos t, sin t, t ) 4 4. γ(t) = (t, 2t, t + 1, t 2 ), onde γ é uma função do R em R 4. Portanto, γ : R R 4 t (t, 2t, t + 1, t 2 ) Dada uma função α : A R R n denida por α(t) = (x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)). As funções x i, i = 1, 2,..., n, são funções de A em R, isto é, x 1 : A R e são chamadas de funções componentes de α. Quando n = 2, as funções componentes são, em geral, denotadas por x(t) e y(t). Assim, α(t) = (x(t), y(t)) 9

10 Quando n = 3, as funções componentes são, em geral, denotadas por x(t), y(t) e z(t). Assim, Por exemplo, α(t) = (x(t), y(t), z(t)) 1. α(t) = (2 cos t, 3 sin t). As funções componentes são: 2. α(t) = ( 2 cos t, 3 sin t, t ). 4 x(t) = 2 cos t e y(t) = 3 sin t As funções componentes são: 3. γ(t) = ( ) t, 1 ln(2 t), t 1, et. As funções componentes são: x(t) = 2 cos t, y(t) = 3 sin t e z(t) = t 4 x 1 (t) = t, x 2 (t) = ln(2 t), x 3 (t) = 1 t 1, x 4 = e t Uma função α : A R R n pode ser interpretada como uma "função vetorial"que associa a cada t A o vetor α(t). 10