UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 04. v = x 2 + y 2. v = x1 x 2 + y 1 y 2. v = 0. v = x 2 + y 2 + z 2

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 04 Assunto:Produto escalar, bases canônicas do R 2 e R 3, produto vetorial, produto misto, equação da reta no R 2 Palavras-chaves: Produto escalar, determinante, produto vetorial, produto misto, equação da reta. Vetores(continuação) No R 2, a norma de = (x, y) é dada por = x 2 + y 2 O produto escalar de dois vetores u = (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ) é dado por = x1 x 2 + y 1 y 2 e temos que = 0 u Semelhante ao R 2, no R 3 a norma de = (x, y, z) é dada por = x 2 + y 2 + z 2 O produto escalar de u = (x 1, y 1, z 1 ) com = (x 2, y 2, z 2 ) será = x1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 e temos também que = 0 u Agora, R n, tudo é feito com o uso de coordenadas. Logo, a norma de u = (x 1, x 2,..., x n ) é dada por u = x x x2 n

2 O produto escalar de u = (x 1, x 2,..., x n ) e = (y 1, y 2,..., y n ) será = x1 y 1 + x 2 y x n y n Denimos como ângulo entre dois vetores não nulos do R n o número θ R que satisfaça 0 θ π e cos θ = u Assim, = u cos θ e também temos que = 0 u As propriedades do produto escalar, considerando u, v R n, com n = 2, 3, 4,... e α, β R, são 1. (α u ). = (α ) = α( ) 2. ( + w ) = + w 3. ( u + ). w = w +. w 4. =. u 5. u = u 2 6. u (desigualdade de Cauchy-Schwarz) Bases Canônicas do R 2 e R 3 Base Canônica do R 2 Sejam i = (1, 0) e j = (0, 1) vetores do R 2. 2

3 Seja um vetor genérico do R 2. Note que, o vetor pode ser escrito como combinação linear de i e j como segue = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x(1, 0) + y(0, 1) = x i + y j Por exemplo, (5, 7) = 5 i + 7 j (3, 2) = 3 i 2 j O conjunto { i, j } é chamado de base canônica do R 2 Base Canônica do R 3 Sejam i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1) vetores do R 3. 3

4 Seja = (x, y, z) um vetor genérico do R 3. Note que, o vetor pode ser escrito da forma = (x, y, z) = (x, 0, 0) + (0, y, 0) + (0, 0, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1) = x i + y j + z k Por exemplo, (5, 2, 7) = 5 i + 2 j + 7 k ( 1, 4, 2) = 1 i + 4 j 2 k O conjunto { i, j, k } é chamado de base canônica do R 3 Produto Vetorial Revisão: Cálculo de determinante de matrizes 3 3. Consideremos a matriz A = a b c α β γ x y z O determinante de A é a soma de três parcelas obtidas como segue 4

5 Portanto, Exemplo 1 Calcule o determinante da matriz Resolução: det A = aβz yγa + bγx zαb + cαy xβc = = = 1 O produto vetorial é um conceito exclusivo do R 3. Sejam u = (z 1, y 1, z 1 ) e = (x 2, y 2, z 2 ). Consideremos o vetor w = (y1 z 2 y 2 z 1, z 1 x 2 z 2 x 1, x 1 y 2 x 2 y 1 ) Temos que 5

6 w u e w De fato, = x1 (y 1 z 2 y 2 z 1 ) + y 1 (z 1 x 2 z 2 x 1 ) + z 1 (x 1 y 2 x 2 y 1 ) = x 1 y 1 z 2 x 1 y 2 z 1 +y 1 z 1 x 2 y 1 z 2 x 1 +z 1 x 1 y 2 z 1 x 2 y 1 = 0 Portanto, u w. = x2 (y 1 z 2 y 2 z 1 ) + y 2 (z 1 x 2 z 2 x 1 ) + z 2 (x 1 y 2 x 2 y 1 ) = x 2 y 1 z 2 x 2 y 2 z 1 +y 2 z 1 x 2 y 2 z 2 x 1 +z 2 x 1 y 2 z 2 x 2 y 1 = 0 Portanto, w O vetor w é chamado de produto vetorial de u por e é denotado por u. Método prático para o cálculo de u u = i j k x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 = y 1 z 2 i y2 z 1 i + z1 x 2 j x2 z 1 j + x1 y 2 k x2 y 1 k = (y 1 z 2 y 2 z 1 ) i + (z 1 x 2 x 2 z 1 ) j + (x 1 y 2 x 2 y 1 ) k O sentido de u é obtido pela regra da mão direita Exemplo 2 Calcule os produtos vetoriais indicados (a) u = (2, 1, 3), = ( 3, 2, 1), u e 6

7 Resolução: u = i j k = (1 6) i + ( 9 2) j + (4 ( 3)) k = 5 i 11 j + 7 k = ( 5, 11, 7) u = i j k = (6 1) i + (2 ( 9)) j + ( 3 4) k = 5 i + 11 j 7 k = 1( 5, 11, 7) = 1 u Portanto, u = u (b) u = (1, 3, 4), = ( 2, 6, 8), u u = i j k = ( ) i + ( 8 + 8) j + ( 6 + 6) k = 0 i + 0 j + 0 k = 0 Obs: = 2(1, 3, 4) = 2 u Norma do produto vetorial Seja u = (x 1, y 1, z 1 ) e = (x 2, y 2, z 2 ). Temos que u = (y1 z 2 y 2 z 1, z 1 x 2 z 2 x 1, x 1 y 2 x 2 y 1 ) Portanto, 7

8 u 2 = (y 1 z 2 y 2 z 1 ) 2 + (z 1 x 2 z 2 x 1 ) 2 + (x 1 y 2 x 2 y 1 ) 2 = y1z y 1 z 1 y 2 z 2 + y2z x 2 2z1 2 2x 1 x 2 z 1 z 2 + x 2 1z2 2 + x 2 1y2 2 2x 1 x 2 y 1 y 2 + x 2 2y1 2 = x 2 1(y2 2 + z2) 2 + y1(x z2) 2 + z1(x y2) 2 2y 1 z 1 y 2 z 2 2x 1 x 2 z 1 z 2 2x 1 x 2 y 1 y 2 = x 2 1(x y2 2 + z2) 2 + y1(x 2 2 2y2 2 + z2) 2 + z1(x y2 2 + z2) 2 x 2 1x 2 2 y1y z1z y 1 z 1 y 2 z 2 2x 1 x 2 z 1 z 2 2 = (x y1 2 + z1)(x y2 2 + z2) 2 (x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 ) 2 = u 2 2 ( ) 2 = u 2 2 ( u cos θ) 2 = u 2 2 u 2 2 cos 2 θ = u 2 2 (1 cos 2 θ) = u 2 2 sin 2 θ Assim, Logo, u 2 = u 2 2 sin 2 θ 0 θ π u = u sin θ Quando os vetores u e são paralelos escrevemos u //. Neste caso existem duas possibilidades: Suponhamos que u //. Logo, θ = 0 ou θ = π sin θ = 0 u = 0 u = 0 Suponhamos agora que u = 0 com u 0 e 0. Portanto, u = 0 u sin θ = 0 sin θ = 0 θ = 0 ou θ = π, (pois 0 θ π) u // }{{} 0 Assim, teremos Proposição 1 Sejam u e vetores não nulos do R 3. Então 8

9 u // u Produto misto Sejam u e vetores do R 3 e θ o ângulo entre eles Queremos determinar a área do paralelogramos acima Área = u h onde h é a altura do paralelogramo. Assim, Portanto, sin θ = h h = sin θ Área = u sin θ u Obs: Se u //, então u e não formam um paralelogramo. Consideremos agora três vetores não nulos u, e w do R 3 9

10 Queremos determinar o volume do paralelepípedo acima onde h é a altura do paralelepípedo. Temos que, Volume = (área da base) h e Área da base = w Portanto, cos θ = h u h = u cos θ Volume = w u cos θ = u w cos θ = u w cos θ = ( w ) O produto ( w ) é chamado de produto misto ou produto triplo escalar. Se u = (x 1, y 1, z 1 ), = (x 2, y 2, z 2 ) e w = (x 3, y 3, z 3 ), então ( w ) = x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 Obs: Se os vetores são coplanares o produto misto é nulo. 10

11 Propriedades do produto vetorial Sejam u, e w vetores do R 3 e α R. As seguintes propriedades valem 1. u = u 2. (α u ) = u (α ) = α( u ) 3. u ( + w ) = u + u w 4. ( u + ) w = u w + w 5. ( w ) = ( u ). w 6. u ( w ) = ( w ) + ( ) w 11