6. Verifique detalhadamente que os seguintes conjuntos são espaços vetoriais(com a soma e produto por escalar usuais):

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1 a Lista. Sejam u = ( 4 ) v = ( 5) e w = (a b). Encontre a e b tais que (a)w = u + v (b)w = 5v (c)u + w = u v. Represente os vetores acima no plano cartesiano.. Sejam u = (4 ) v = ( 4) e w = (a b c). Encontre a b c tais que: (a)w u = v (b)w = v (c)u + w = u v.. Sejam u = ( ) v = (4 0 8) e w = (6 4). Encontre escalares c c e c tais que c u + c v + c w = ( 0 4). 4. Encontre todos os escalares c c e c tais que c u + c v + c w = (0 0 0). 5. Nos ítens a e b são apresentados um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique se eles são espaços vetoriais. Para aquele que não for citar os axiomas que não se verificam. (a) V = R ; (a b) + (c d) = (a + b 0) e a multiplicação escalar usual. (b) V = R ; (a b) + (c d) = (a + b c + d) e α(a b) = (α a α b). 6. Verifique detalhadamente que os seguintes conjuntos são espaços vetoriais(com a soma e produto por escalar usuais): (a) Matrizes quaisquer de ordem. (b) Polinômios de grau menor ou igual a 4. (c) Conjunto das funções contínuas de R em R. 7. Em cada ítem deste exercício são dados um espaço vetorial V e um subconjunto W de V. Verifique se W é subespaço vetorial V. (a) V = ( R +. R ) W = { (x y z) R ; x + y + z = 0 } ; (b) V = ( R +. R ) W = { (x y z) R ; x + y + z } ; (c) V = (M (R) +. R) W = { A M ; A = A T } ; (d) V = (M +. R) W = {A M ; det A = 0}. 8. Considere W = { (x y z) R ; ax + by + cz = d onde a b c d R }. Para que valores de a b c e d W é um subespaço vetorial de R? 9. Mostre que os seguintes subconjuntos de R 4 são subespaços de R 4. (a) W = { (x y z t) R 4 ; x y z = 0 } ; (b) W = { (x y z t) R 4 ; x y + z = 0 e t = 0 }. 0. Sejam os vetores u = ( ) e v = ( 4) em R. (a) Escreva w = (7 ) como combinação linear de u e v. (b) O vetor ( 5 4) pode ser escrito como combinação linear de u e v? Justifique. (c) Para que valores de k o vetor w = ( 8 4 k) é combinação linear de u e v? (d) Encontre condições sobre a b e c de modo que o vetor w = (a b c) seja combinação linear de u e v.

2 . Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais de M? a b c a b c (a) W = ; d = a + b + c ; (b) W = ; d < a + b + c. 0 d 0 0 d 0. Sejam u = ( ) v = ( 0) e w = ( 0). Expressar cada um dos vetores v = ( 8 4 ) v = (0 ) e v = (0 0 0) como combinação linear de u v e w. ( ) ( ). Escreva E como combinação linear se possível de A = B = C = ( ) 0 0 onde 0 0 ( ) ( ) (i) E = (ii) E =. Que conjunto de M (R) pode ser escrito como combinação linear de A B e C? 4. Mostre que ( ) (0 ) (0 ) geram o R. O que isto significa? 5. Determine condições sobre a b e c de modo que (a b c) R pertença ao espaço gerado pelos vetores u = ( 0) v = ( ) e w = (0 4). 6. Para qual valor de k o vetor u = ( k) em R será uma combinação linear dos vetores v = ( 0 ) e w = ( 5)? 7. Determine condições sobre a b e c devem satisfazer para que o vetor v = (a b c) seja combinação linear dos vetores u = ( ) e w = ( ). 8. Mostre que o plano yz isto é W = {(0 b c); b c R} em R é gerado por: (a) (0 ) e (0 ); (b) (0 ) (0 ) e (0 ); (c) Por que um plano pode ser gerado por dois ou três vetores? Este mesmo plano pode ser gerado por um vetor? Exiba um conjunto de quatro vetores que geram W e um conjunto de dois vetores que geram W. 9. Verifique se o vetor u = ( ) pertence ao subespaço de R gerado pelos vetores v = (0 ) e w = ( 0 ). {( ) ( ) ( ) ( )} Verifique se o conjunto C =. gera o espaço vetorial M (R).. Mostre que os conjuntos {( ) ( 0 )} e {( ) ( 4)} geram o mesmo subespaço vetorial de R.. Determine um conjunto de geradores para cada um dos seguintes subespaços de R. (a) U = {(x y z); x y = 0}; (b) V = {(x y z); x + z = 0 e x y = 0}; (c) U V.. Encontre um vetor em R que gere a interseção de V e W onde V é o plano xy e W é o espaço gerado pelos vetores ( ) e ( ).

3 4. Mostre que a interseção de subespaços é também um subespaço e verifique com um exemplo que a união de subespaços nem sempre é um subespaço. 5. Sejam W e W subespaços vetoriais de um espaço vetorial V. Mostre que W W é subespaço vetorial de V se e somente se W W ou W W. 6. Seja S subespaço vetorial de R 4 dado por S = {(x y z t) R 4 ; x+y z = 0 e t = 0}. Pergunta-se: (a) ( 0) S? (b) ( 4 0) S? (c) Determine dois vetores de geram S. Eles são únicos? Se não apresente outros. 7. Determine [S] onde S = {( 5 4) ( 4) ( 8 5)}. 8. Verifique se o vetor p(t) = t t pertence ao subespaço de P gerado por {t t + t}. 9. Determine para que valores de k os vetores de R abaixo são L.I. ou L.D. (a) u = ( ) v = ( ) e w = (k ) (b) u = ( 0 7) v = ( 4 5 k) w = (0 4 ) e z = (k ) 0. Suponha que {u v w} é L.I. Então {u + v u v u v + w} é L.I. ou L.D.? Justifique.. Os conjuntos abaixo são linearmente independentes ou linearmente dependentes? Justifique (Faça contas somente quando for realmente necessário!) (a) {x x x + 4 5x 7x + 4x 8 6x} P ; (b) {( 0 0 ) (0 0 ) ( 4 6 5)} R 5 ; (c) {( )} R ; (d) {( 0) ( 0) ( 5 0)} R ; (e) {( ) (0 0 0) ( 5 )} R.. Suponha que S = {v v... v } seja L.I. mas {v v... v n w} seja L.D. Mostre que w é combinação linear dos vetores de S.. Sejam v v... v n vetores L.I. de um espaço vetorial V e suponha que u é uma combinação linear desses vetores digamos u = α v +α v +...+α n v n. Mostre que a representação de u acima é única. Dê um exemplo em R mostrando que se o conjunto de vetores for L.D. Então a representação não será única. 4. Prove que o subconjunto S = {v v... v n } de vetores de um espaço vetorial V é L.D. se e somente se existe k inteiro k n tal que v k é combinação linear dos demais vetores do subconjunto S. 5. Mostre que: (a) Se u v w são L.I. então u + v u + w v + w são L.I. (b) Se um conjunto A V contém o vetor nulo então A é L.D. (c) Se uma parte de um conjunto A V é L.D. então A é L.D. (d) Se um conjunto A V é L.I. qualquer subconjunto de A é L.I. 6. Consideremos no espaço vetorial R os vetores u = ( a + a) e v = ( + a a) onde a 0. Mostre que {u v} é L.I.

4 7. Mostre que {( 0 a) ( a) ( a )} R é L.I. se a 0 e a. 8. Se u v e w são vetores de um espaço vetorial V tais que u [w] e v [w] mostrar que {u v} é L.D. 9. Determine uma base e a dimensão do subespaço de M 4 (R) formado por todas as matrizes diagonais. 40. Determine uma base e dimensão dos subespaços vetoriais: {( ) } a b c (a) W = ; a b c R M c b a. (b) W = { (x y) R ; x y = 0 } ; (c) W = [( ) (0 0 ) ( 4 )]; (d) W 4 = { (x y z t) R 4 ; x y = 0 e t + x = z }. 4. Sendo v = ( ) R determinar v R tal que {v v } seja base de R. 4. Quais dos seguintes conjuntos formam uma base de R? Nos que formarem escrever um vetor genérico de R como combinação linear dos elementos desse conjunto. (a) {( 0 ) (0 ) ( 4)}; (b) {( ) ( 0 ) (0 0 )}; (c) {( ) ( ) ( 0 )} {( ) ( 4. Mostre que 0 0 ) ( ) ( 7 5 )} é uma base de M (R). 44. Mostre que os vetores v = ( ) v = ( ) v = ( 0 ) e v 4 = ( ) geram o R e encontrar uma base dentre esses vetores. 45. Determinar as coordenadas do vetor v = (6 ) em relação às bases: (a) {( 0) (0 )}; (b) {( ) ( )}; (c) {( 0) (0 )} 46. Considere B = {( 0 0) (0 0) ( )} base de R. Determinar as coordenadas do vetor v em relação a B se: (a) v = ( 4); (b) v = ( 5 6); (c) v = ( ). 47. Determine uma base de R 4 que contenha os seguintes vetores ( 0) ( ). 48. Determine a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de M (R): {( ) } a b (a) ; c = a b e d = 0 ; c d {( ) } a b (b) ; a + d = b + c. c d 4

5 49. Seja W o subespaço de R 4 gerado pelos vetores ( 5 ) ( 4) ( 8 5). (i) Encontre uma base e a dimensão de W ; (ii) Estenda a base de W a uma base do espaço R 4 ; (iii) Faça agora o caminho inverso encontre os vetores da base canônica de R 4 que geram W. 50. Encontrar uma base e a dimensão do espaço solução do sistema linear homogêneo 4x + y z + 5t = 0 x y + z t = 0. 6x + y + 4t = 0 5. Sejam U V subespaços vetoriais de R. Determine uma base e a dimensão dos subespaços U V U + V e U V. (a) U = {(x y x); x = 0} V = {(x y z); y z = 0}. (b) U = {(x y z); x + y = 0 e 4x z = 0} V = [( ) ( )]. 5. Sejam U e W subespaços vetoriais de R 4 gerados por R = {( 0 ) ( 0) ( )} e S = {( ) ( ) ( 4 )} respectivamente. (a) Determine uma base para os espaços U e W. (b) Determine dimu dimw dim(u W ) e dim(u + W ). 5. Sejam U e W subespaços de P (R) dados por U = {at + bt + ct + d; a = b c} e W = {at + bt + ct + d; d = a + b + c} (a) Determine uma base para os espaços U e W. (b) Determine dimu dimw dim(u W ) e dim(u + W ). 54. Quais as coordenadas do vetor v = ( 0 0) em relação à base β = {( ) ( 0) ( 0 )}. 55. Determine as coordenadas do vetor u = (4 5 ) de R em relação às seguintes bases: (a) Canônica; (b) {( ) ( 0) ( 0)}; (c) {( ) (0 ) ( 4)}. 56. Quais as coordenadas do vetor p(t) = t t + em relação à base β = {t + t t }. 57. Considere a base ordenada γ = {v v v } do R onde v = ( 0 ) v = ( ) v = ( 0 0). Encontre as coordenadas do vetor u = (a b c) R com relação à base ordenada γ. 58. Considere o espaço vetorial real R. A matriz da mudança da base ordenada γ = {( ) ( )} para a base ordenada α = {v v } é dada por [ ] 0. 4 [ ] Detremine a base ordenada α. Determine o elemento u R tal que [u] α =. 5

6 59. Considere as bases β = {u u u } e γ = {w w w } de R relacionadas da seguinte forma: w = u u u w = u + u. w = u + u Pede-se: (a) Determine as matrizes de mudança de base [I] β γ e [I] γ β. (b) Sabendo que determine o vetor u com relação à base γ. [u] β = 60. Considere a seguinte matriz de mudança de base 0 [I] β β = 0 0 Encontre: (a) [v] β onde [v] β = (b) [v] β onde [v] β = 6

7 GABARITO. (a)a = b = 9 (b)a = 4/5 b = (c)a = 6 b = 8.. (a)a = 7 b = c = (b)a = 9 b = 6 c = (c)a = b = c = 6.. c = c = c =. 4. c = c = c = Nenhum dos dois ítens é espaço vetorial com estas operações (a) e (c) são espaços vetoriais mas (b) e (d) não são espaços vetoriais. 8. d = 0 e a b c quaisquer números reais (a) w = u v (b) Não (c) k = (d) c = 6a + 0b. Somente o ítem (a) é subespaço vetorial.. v = u + v + 6 w; v = u v 0 ; v = 0u + 0v + 0w.. (i) E = A B + C; (ii) Não é possível. 4. (x y z) = x( ) + x+y+z (0 ) + y z (0 ). 5. c = a 4b. 6. k = a + b + 5c = Não. 0. Sim... (a) {( 0) (0 0 )} (b) {( )} (c) {( 0) (0 0 )} A resposta não é única.. {( 5 0)}. 4. 7

8 5. 6. (a) Sim; (b) Não; (c) {( 0 0) (0 0)}. 7. s = {(x y z t) R 4 ; 7x + 9y + 7z = 0}. 8. Não. 9. (a) L.I. se k 8 e L.D. se k = L.I. (b) Os vetores são sempre L.D.. (a) L.D (b) L.D. (c) L.I. 9. B = (d) L.D. (e) L.D. dimensão (a) dim(w ) = e B = {( (b) dim(w ) = e B = {( )} (c) dim(w ) = e B = {( ) (0 0 )} ) ( (d) dim(w 4 ) = e B = {( 0) ( 0 )} ) ( v = (0 ). Basta tomar qualquer vetor que não seja múltiplo de v. 4. (a) Não é base. (b) )} O subespaço tem É base. Podemos escrever (x y z) = y( ) + (y x)( 0 ) + (x y + z)(0 0 ). (c) É base. Podemos escrever (x y z) = 6 (x + 4y z)( ) + 6 ( x + 4y + 6z)( ) + (x + z)( 0 ). 4 8

9 [ 45. (a)[(6 )] B = 46. (a)[( 4)] B = ] [ / (b)[(6 )] B = 0/ 4 (b)[( 4)] B = ] [ 6 (c)[(6 )] B = B = {( 0) ( ) ( 0 ) (0 0 0 )}. {( ) ( )} {( (a)b = (b)b = (i) B = {( 5 ) ( 4)} (ii) {( 5 ) ( 4) (0 0 0) (0 0 0 )} (iii) Nenhum subconjunto da base canônica irá gerar W. 50. B = {( 5 0) ( 0 7 )}. (c)[( 4)] B = ) ( 0 0 ] 0 ) ( (a) B U = {(0 0) (0 0 )} B V = {( 0 0) (0 )} B U V = {(0 )}. (b) B U = {( 4)} B V = {( 0 0) ( 0 )} B U V =. 5. B U = {( 0 0 0) (0 )} B W = {( 0) (0 )} B U+W = {( 0 0 0) (0 ) (0 0 ) (0 0 0 )} 5. B U = {t + t t + t } B W = {t + t + t + } B U+W = {t + t t + t t } B U W = {t + t + t + t}. 54. [( 0 0)] β = / / / (c)[(4 5 )] C = (a)[(4 5 )] C = 4 5 (b)[(4 5 )] C = 56. [t t + ] β = [u] γ = b c b c + a b 58. α = {( 5) ( )} e u = ( ) [I] β γ = (a)[v] β = (b)[v] β = [I] γ β = [u] γ = 0 8 4/ 0/ / )}. 9