Dr. Ole Peter Smith Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal de Goiás 1 Vetores em R 2 e R 3

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1 Dr Ole Peter Smith olematufgbr Data: 7/5/ urso Engenharia de omputação Disciplina: Álgebra Linear Lista: I Vetores em R e R Dado os vetores a = (,, ) T, b = (,, 4) T e c = (,, ) T Determine o constante k, tal que: a + kb é perpendicular ao c nswer: k = O vetor a = (,, ) T está sendo decomposto em uma direção paralelo com o vetor, b = (4, 8, ) T e outra direção perpendicular do b Qual os coordenados destes compoentes? nswer: a = (7, 4, 7 5)T e a = (8,, 7 )T Por quais valores do a R os vetores a = (a, a, a ) T e b = (,, a) T são ortogonais? nswer: a = a = ± 4 Dado os vetores: a = (,, ) T e b = (, k, k) T, k R Por quais valores do k a equação: r a = b tem soluções? Para estes valores de k, encontre a solução completa da equação nswer: k = : r = ` 4,, T + t(,, ) T, t R k = : r = `,, T + t(,, ) T, t R 5 Encontre a reta de intersecção entre os planos: 5x + y z = 4 x y z = Encontre a equação do plano contendo esta reta e que é paralelo com o plano: 4x y 8z = nswer: (x, y, z) = (,, ) + t(, 4, ), t R, 4x y 8z = Dados os pontos em R : (,, ) T, (, 4, 5) T, (,, 4) T e D(5,, ) Sabendo que estes pontos são vertices de um cubo, encontro os 4 vertices restantes Determinantes alcular os determinantes: (a) nswer: Made in L TEX Life sure is a Mystery to be Lived

2 Dr Ole Peter Smith olematufgbr (c) (d) (e) (f) (g) (h) nswer: 8 nswer: 4 nswer: 5 nswer: 4abc nswer: (a + b + c + d ) (Ordem do determinante n) nswer: nswer: (a + (n )b) (a b) n Encontrar os raízes em: nswer: x = x = x = Encontrar a, b, c, d tal que a curva com a equação: b + c a a b c + a b c c a + b a b c d b a d c c d a b d c b a passa pelos pontos: (, ), (, ),(, 8) e (, 4), a, b, c R, a, b, c, d R n n, n N n a b b b b a b b b b b a x + x 4x 8 4 x x 5 7 x x y = ax + bx + cx + d Made in L TEX Life sure is a Mystery to be Lived

3 Dr Ole Peter Smith olematufgbr 4 Mostre, usando indução (o determinante é de ordem n): cos ϕ cos ϕ cos ϕ = cos nϕ, ϕ R cos ϕ cos ϕ cos ϕ 5 Mostre, usando indução (o determinante é de ordem n): = n! (n ) Mostre, usando indução (o determinante é de ordem n): a b a b a b = (a b ) n, a, b R b a b a b a Resolver a sistema linear: 8> < Resolver a sistema linear: 8> < Resolver a sistema linear: 8> < nswer: (x, y, z) = (,, ) 4 Resolver a sistema linear: 8> < Sistemas Lineares x + x = x + x + x = 4 4x x + x 4 = 5 x 7x 4 = 4 x + x + x + 4x 4 = x x + x 4x 4 = x + x + x + 4x 4 = 4x 4x + x 8x 4 = x + y + z = x y + 4z = x + y z = x y + z = 8x + x x + x 4 = x + x x + x 4 = 8 x + x x + 5x 4 = x x + 7x 4 = 4 Made in L TEX Life sure is a Mystery to be Lived

4 Dr Ole Peter Smith olematufgbr 5 Resolver a sistema linear: 8> < Resolver a sistema linear: 8 >< x x + x + x 4 = 4x 5x + 7x 7x 4 = 7 x + x x + x 4 = x 5x + 8x x 4 = x + x x + x 4 x 5 = x x + 7x x 4 + 5x 5 = x + x x + 5x 4 7x 5 = x x + 7x 5x 4 + 8x 5 = 7 Resolver a sistema linear: 8 >< x + x + 5x x 4 = x + x + x x 4 + x 5 = x x + x x 4 x 5 = x 4x + x + x 4 x 5 = x + x + x x 4 + x 5 = 4 Matrizes 4 alcular os produtos e, quanto: (a) = = 4, =, = 4 alcular os produtos e, e verifique que det det = det det : (a) 4 Encontre o posto dos matrizes (λ R): = = 5 4 (a), =, = Made in L TEX 4 Life sure is a Mystery to be Lived

5 Dr Ole Peter Smith olematufgbr λ λ λ λ 44 Encontre os matrizes inversos,, (se existem) e verifique que: det ( ) = (det ) : (a) (c) = = 4 λ λ =, λ λ λ 45 Resolve as equações matriciais: X = e X = X, quanto: (a) (c) = = = 4 Resolve a equação matricial não-linear (X quadrática): X = = = a =, a R 4 5 Espaços Vetoriais 5 Dado os polinômios: p (x) = x p (x) = x( x) p (x) = x São linearmente independentes ou não? Made in L TEX 5 Life sure is a Mystery to be Lived

6 Dr Ole Peter Smith olematufgbr 5 Dado os matrizes: 4 São linearmente independentes ou não? 5 Dado as funções:: São linearmente independentes ou não? qui: f (x) = sinh x f (x) = cosh x f (x) = cosh x = ex + e x 54 Qual a dimensão do conjunto gerado por os vetores em R 4 : sinh x = ex e x (a) v = v = v = v = 4 5 v = 4 v 4 = v = v 5 = Mostre que os vetores v, v, v, v 4 constitui um base de R 4 e encontre uma relação matricial entre os coordenados antigos e os coordenados novos: x = V x Encontrar os coordenados novos do vetor v 5 : v = v = v = v 4 = v 5 = 5 Um espaço, U, é gerado por os vetores a,, a 4 abaixo Encontre a dimensão do U e um sistema homogêneao cuja o espaço soluccional é U: 57 Dado os matrizes: a = 5 = a = 4 5 a = 5 = a 4 = (a) Mostrar que é regular e encontrar Resolver a equação matricial: X = Made in L TEX Life sure is a Mystery to be Lived

7 Dr Ole Peter Smith olematufgbr 58 Dado os vetores: v = v = v = Mostrar que v, v, v formam um base de R e encontrar os coordenados do e, e, e neste base 5 Dado os vetores: v = v = (a) Mostrar que v, v, v formam um base de R Encontrar vetores normalizados: v i = v i v i (c) Mostrar que v, v, v formam um base ortonormal, isto é: v = j v, i = j v = δij =, i j (d) Organizando os v i s como as coluna em uma matriz, V, mostrar que este matriz é ortogonal, isto é: V = V T (e) Encontrar uma equação matricial entre os coordenados no base canônica, e, e, e, e os coordenados no base v, v, v - e vice-versa 5 Dado o matriz: cos θ sin θ R(θ) = sin θ cos θ, θ R (a) Mostre, usando indução: R(θ) n = R(nθ), por n N Mostre que o matriz R(θ) é ortogonal (c) Mostre que: R(θ) = R( θ) (d) Mostre R(θ) n = R(nθ), por n Z (e) onsideramos a aplicação vetorial: 5 Dado o matriz: Encontrar os imagens de: v = v = f(x) = R(θ)x Fazer uma figura mostrando os vetores e seus imagens aplicação? (a) Encontrar det = Encontrar o posto do por qualquer valor do a R v = a a v 4 = Qual interpretação geométrica podemos fazer desta Made in L TEX 7 Life sure is a Mystery to be Lived

8 Dr Ole Peter Smith olematufgbr (c) Resolver para quaisquer valores de a, b R a sistema: x = b b b plicações Lineares Encontrar posto, núcleo e dimensão do imagem para os seguintes aplicações lineares: 7 (a) f(x) = 4 x 4 f(x) = 5 8 x 8 5 () Encontrar o matriz da aplicação linear, R R, dado por: f(,, ) T = (, 4, ) T, f(,, ) T = (4,, ) T e f(,, ) T = (,, ) T Encontrar o imagem do plano: t(,, ) T + s(,, ) T nswer: e t(8, 5, 5) T + s(,, ) T, t, s R Encontrar o matriz da aplicação linear, R R, dado por: f(, ) T = (,, ) T e f(, ) T = (,, ) T 4 * Uma aplicação linear, f : 4 4, é dado pela matriz: i = i i i i i (a) Encontrar o núcleo do f, e uma base da imagem, f( 4 ) Encontrar a intersecção entre o núcleo e a imagem (c) Encontrar o conjunto: x 4 f(x) = (, i, i, + i) T 5 Dado o matriz não-simétrico: e a aplicação linear: f(x) = x (a) Mostrar que λ = e raíz de multiplicidade no polinômio caraterístico da Encontrar autovetores e autovalores de, e justifique que não é diagonalizável (c) onsiderando os vetores: u = (,, ) T e u = (, 4, ) T, mostre que: f(u) = U, onde: U = ger{u, u } (45) Uma aplicação linear é dado por: f(,, ) T = (,, ) T, f(,, ) T = ( 4,, ) T e f(,, ) T = (,, ) T Sem encontrar a matriz do f, encontrar seu polinômio caraterística, seu traço e seu determinante Made in L TEX 8 Life sure is a Mystery to be Lived

9 Dr Ole Peter Smith olematufgbr 7 utovalores e utovetores 7 Encontrar autovalores e autovetores para as seguintes matrizes: (a) 5 (c) (d) (e) 4 7 Em R consideramos o vetor: v = (a, a +, ) (a) Escreve k como uma combinação linear do i, j e v Uma aplicação linear, f : R R, é dado por: Mostre que o matriz do f no base (i, j, k) é dado por: f(i) = v j f(j) = v f(v) = i a a a + (a + ) a a a (c) Encontrar por qualquer valor do a a dimensão do imagem, f(r ) (d) No matriz pomos a = : Encontrar autovalores e autovetores para Demostre que não é diagonalizável 7 Dado a matriz simétrica: = 5 (a) Encontrar os autovalores, λ λ λ para Encontrar uma base ortonormal de autovetores da f (c) Encontrar a matriz ortogonal, D, desta base (d) Encontrar D, e mostre: λ = D D = λ λ nswer: D = Made in L TEX Life sure is a Mystery to be Lived

10 Dr Ole Peter Smith olematufgbr 74 Uma aplicação linear, f, é dado por sua matriz: = (a) Encontrar autovalores e autovetores para f ns: λ = (triplo) Demonstre que não é diagonaizável (c) Encontrar todos vetores, d, que satisfaz: f(d ) = d d ns: d = (,, ) T + t(,, ) T, t R (d) Mostre que existe uma base, (d, d, d ) de R, cuja a aplicação f é dado pela matriz: Encontrar (d, d, d ) Hint: Use o vetor encontrado no item anterior, por exemplo com t = nswer: d = (,, ) T + t(,, ) T, t R Por exemplo: d = (,, ) T 75 Uma aplicação linear, f, é dado por sua matriz: = (a) Encontrar kerf = x R 4 f(x) = Encontrar a dimensão do imagem, f(r 4 ) e uma base desta 8 Dado a curva, : 8 Formas Quadráticas ( ) 5x + 7y + xy = (a) Encontrar uma substituição ortogonal reduzindo ( ) em uma forma sem termos mistos Qual a equação da curva em termos das coordenadas novas? araterize a curva geometricalmente e a esbocar no plano XY nswer: λ = 4 λ = 8, D =! 8 Dado a forma quadrática: ( ) 5x + 5y + 5z 8xy 8yz 8zx (a) Encontrar uma substituição ortogonal que reduz ( ) em uma forma sem termos mistos: λ x + λ y + λ z, com λ λ λ Uma superfície, S, é dado por: Mostrar que S é uma cone de revolução 5x + 5y + 5z 8xy 8yz 8zx x y z = Made in L TEX Life sure is a Mystery to be Lived

11 Dr Ole Peter Smith olematufgbr (c) Encontrar uma parametrização do eixo de revolução da S nswer: λ = λ = λ =, D =, (x, y, x) T = (,, ) T + t(,, ) T, t R 8 Reduzir as formas quadráticas para uma forma sem termos mistos, determinando a substituição ortogonal: (a) x xy + y xy (c) x xy + y (d) x + y xy 84 Reduzir as formas quadráticas para uma forma sem termos mistos, determinando a substituição ortogonal: (a) z xy x + y z xy (c) 4x + 7y + 7z xy 4yz zx (d) 5x + 5y + 5z xy yz zx (e) x y + z + xz + xy Produtos Escalares (78) Dado o matriz: E a função bilinear: = (a) Encontrar autovetores e autovalores para g(x, y) = x T y Encontrar uma base de autovetores ortonormais ao respeito do produto escalar normal (c) Mostrar que g é um produto escalar e que os vetores (,, ) T e (, 4, ) T são ortogonais ao respeito do g (d) Determinar uma base de R ortonormal ao respeito de g nswer: λ = : v = (,, λ = λ = : v = (, Usar os autovetores: (45) Dado o matriz: E a função bilinear: ) T,, ) T, v = (,, (,, ) T, (,, )T, ) T, (,, )T, ou: = g(x, y) = x T y 5 (,, ) T, 7 (, 4, ) T, (,, 5) T Made in L TEX Life sure is a Mystery to be Lived

12 Dr Ole Peter Smith olematufgbr (a) Encontrar autovetores e autovalores para Encontrar uma base de autovetores ortonormais ao respeito ao produto escalar normal em R (c) Mostrar que os autovetores também são ortogonais ao respeito do produto escalar g (d) Encontrar uma base ortonormal ao respeito de g nswer: λ = : v = (,, ) T, λ = : v = (,, ) T, λ = : v = (,, ) T, Usar os autovetores: (v, v, v ) e (v / λ, v / λ, v / λ ) Made in L TEX Life sure is a Mystery to be Lived