ALGEBRA LINEAR 1 RESUMO E EXERCÍCIOS* P1

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1 ALGEBRA LINEAR 1 RESUMO E EXERCÍCIOS* P1 *Exercícios de provas anteriores escolhidos para você estar preparado para qualquer questão na prova. Resoluções em VETORES Um vetor é uma lista ordenada de números que tem como interpretação geométrica uma "seta" que dá uma direção, sentido e tem um certo tamanho (chamado de norma ou módulo). Dois vetores são equivalentes se possuírem o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido, mesmo estando em locais diferentes do espaço. OPERAÇÕES COM VETORES Soma - somar as coordenadas. Subtração - subtrair as coordenadas. Multiplicação por escalar - o número (escalar) multiplica cada coordenada do vetor. COMBINAÇÃO LINEAR E INDEPENDÊCIA LINEAR Combinação linear é quando escreve-se um vetor como combinação de outros (a = αb + βc ). Para fazer uma combinação linear usamos as operações de soma, subtração ou multiplicação por escalar. Quando um vetor é combinação linear de outros dizemos que eles são Linearmente Dependentes (LD). NORMA OU MÓDULO Dado o vetor v = (a, b, c), a sua norma (ou módulo) é igual a: v = a 2 + b 2 + c 2

2 BASE Pode-se entender a base como as coordenadas de um espaço vetorial: a partir dos elementos da base é possível escrever qualquer elemento do subespaço como uma combinação linear única. Isso significa que a base possui somente elementos linearmente independentes. Se o espaço vetorial tem dimensão n, uma base sua terá n elementos linearmente independentes. PARAMETRIZAÇÃO Parametrização é quando descrevemos espaços (um ponto, uma reta, um plano) em função de vetores. A primeira coisa com que é preciso se preocupar é qual a dimensão do espaço que queremos descrever. Por exemplo, uma reta tem dimensão um, um plano tem dimensão dois, um ponto tem dimensão zero. O número de dimensões do seu espaço é o número de vetores LI's necessários para descrevê-lo. Ponto: zero dimensões Reta: uma dimensão um vetor Plano: duas dimensões dois vetores Sólido tridimensional: três dimensões três vetores Cada vetor linearmente independente dá uma direção: esses vetores são chamados vetores diretores. Sabendo a dimensão agora é preciso saber por onde o espaço passa, por quais pontos. Conhecendo 1 ponto do espaço e vetores linearmente independentes desse espaço você consegue defini-lo. Exemplo: Parametrize um plano α que passa pelo ponto (1,2,3) e contém os vetores (1,1,1) e (1,0,1). α=(1,2,3) +t(1,1,1) + s(1,0,1)=(1+t+s,2+t,3+t+s) Possui duas variáveis independentes pois um plano tem duas dimensões. PRODUTO ESCALAR u. v = u. v. cosθ (θ é o ângulo entre os dois vetores) Ou, com as coordenadas, sendo u = (u 1, u 2, u 3 ) e v = (v 1, v 2, v 3 ): u. v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3

3 PROJEÇÃO ORTOGONAL Quando queremos fazer a projeção ortononal de um vetor em outro (projeção na direção do outro): a = proj w v = v. w w 2 w SISTEMAS LINEARES São um conjunto de equações cartesianas. FORMA MATRICIAL DE SISTEMAS LINEARES Um sistema linear pode ser entendido como uma multiplicação Matriz-Vetor da forma A*x = b, onde A é a matriz cujas entradas são os coeficientes que multiplicam o vetor incógnita (ou vetor reposta) x = (x,y,z,...), b é o vetor dos termos independentes. Exemplo: x + y = 100 { 10x + 20y = 1250 Podemos escrever o sistema de duas formas: [ ] [x y ] = [ ] ou [ ] SISTEMA HOMOGÊNEO É o sistema linear cujo vetor b dos termos independentes é totalmente nulo. Em forma matricial, um sistema homogêneo tem a forma A*x =0. RESOLUÇÃO DE SISTEMAS Existem várias formas de resolver sistemas. A mais conhecida é a substituição, que consiste em isolar uma variável em uma equação e substituir na outra até só sobrar uma. No entanto a mais eficiente é o escalonamento, que consiste em usar a matriz do sistema e através de combinações das linhas transformá-la em uma matriz triangular superior.

4 INTERPRETAÇÃO DAS SOLUÇÕES DE UM SISTEMA Existem três possibilidades para a solução de um sistema: SPD: Sistema Possível Determinado um único vetor resposta x para o sistema. Geometricamente, essa solução é um ponto no espaço. SPI: Sistema Possível Indeterminado Infinitos vetores resposta x para o sistema. A solução pode ser uma reta, um plano, um hiperplano... SI: Sistema Impossível não tem solução: não existe x que satisfaça o sistema. MATRIZ INVERSA Uma matriz é chamada de inversível ou não singular se, e somente se, seu determinante é diferente de zero, por isso uma matriz só pode ser inversível se for uma matriz quadrada com determinante diferente de zero e é representada pelo número - 1 sobrescrito ao nome da matriz. Exemplos: A -1 é a representação da matriz inversa de A B -1 é representação da matriz inversa de B Para encontrar a inversa, devemos resolver a equação matricial: A. A 1 = I, onde I é a matriz identidade. Lembrando que matriz identidade é a matriz quadrada (n x n) em que todas as entradas da diagonal principal são iguais a 1 e as demais são iguais a zero. Propriedades: Se A e B são inversíveis, A.B também é e (A. B) 1 = B 1. A 1 Se A n é inversível, então (A n ) 1 = (A 1 ) n Se A t é inversível, então (A t ) 1 = (A 1 ) t Talvez pareça confuso e inútil mas não é. Você verá isso melhor nos exercícios de provas anteriores. MATRIZ TRANSPOSTA Encontramos a matriz transposta trocando linhas por colunas e vice e versa.

5 DETERMINANTES A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante. Para o cálculo de determinantes de matrizes quadradas de ordem menor ou igual a 3 (n 3), temos algumas regras práticas para realizar estes cálculos. Entretanto, quando a ordem é superior a 3 (n>3), muitas destas regras não são aplicáveis. Por isso veremos o teorema de Laplace, que, utilizando o conceito do cofator, conduz o cálculo dos determinantes para regras que se aplicam a quaisquer matrizes quadradas. Temos que cada elemento de uma matriz quadrada possui o seu respectivo cofator, sendo este cofator um valor numérico, que é obtido através da expressão a seguir: Onde: A ij é o cofator do elemento aij da matriz A i é o número da linha j é o número da coluna D ij é o determinante da matriz obtida através da matriz A, entretanto você deverá excluir da matriz os elementos da linha i e da coluna j. O teorema de Laplace consiste em escolher uma linha ou coluna da matriz e somar os produtos dos elementos dessa linha/coluna pelos seus respectivos cofatores. Exemplo: Calcule o determinante da matriz C, utilizando o teorema de Laplace:

6 Vamos utilizar a primeira coluna: Encontrando os valores dos cofatores: Sendo assim, pelo teorema de Laplace, o determinante da matriz C é dado pela seguinte expressão: Note que não foi preciso calcular o cofator do elemento da matriz que era igual a zero, afinal, ao multiplicarmos o cofator, o resultado seria zero de qualquer forma. Diante disso, quando nos depararmos com matrizes que possuem muitos zeros em alguma linha ou coluna, a utilização do teorema facilita as coisas.

7 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES 1) O determinante de uma matriz é igual a zero se: os elementos de uma linha ou de uma coluna são iguais a zero; ocorrer igualdade de elementos entre duas linhas ou duas colunas; duas linhas ou duas colunas tiverem elementos de valores proporcionais. Exemplos: 2) Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz por um número K, o seu determinante fica multiplicado por K. Os elementos da 1ª linha foram multiplicados por 2, então: det P =2*detP 3) det (k*a) = k n * det A 4) det R = det (R t ). 5) Ao trocarmos duas linhas ou duas colunas de posição de uma matriz, o valor do seu determinante passa a ser oposto ao determinante da anterior. 6) O determinante de uma matriz triangular (aquela que os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero) é igual à multiplicação dos elementos da diagonal principal. 7) Considerando duas matrizes quadradas de ordem iguais e AB matriz produto, temos que: det (AB) = (det A) * (det B) 8) Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou de uma coluna pelo mesmo número e adicionarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha ou coluna, formamos a matriz B, onde ocorre a seguinte igualdade: det A = det B.

8 EXERCÍCIOS (vídeos de resoluções destes exercícios em ) 1) (P1 2015) Sejam v, w V 3 vetores tais que: v = 3, w =1 E tais que a medida do ângulo entre v e w seja igual a π. Se θ denota 6 a medida do ângulo entre v + w e v w, então cos ϴ é igual a: (a) 8 73 ; (b) ; (c) 8 76 ; (d) ; (e) ) (P1 2017) Sejam v, w, z V 3 vetores tais que v e w sejam ambos ortogonais a z. Suponha que: v + w + z 2 = v 2 + w 2 + z 2 e considere as seguintes afirmações: (I) z = 0 ; (II) v e w são ortogonais ; (III) v e w são linearmente dependentes. Assinale a alternativa correta: (a) apenas a afirmação (III) é necessariamente verdadeira; (b) apenas a afirmação (II) é necessariamente verdadeira; (c) apenas as afirmações (I) e (III) são necessariamente verdadeiras; (d) apenas a afirmação (I) é necessariamente verdadeira; (e) apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras.

9 3) (P1 2017) Sejam v, w, z V 3 vetores tais que v e w sejam ambos ortogonais a z, v = 3, w = 4 e z = 5 e a medida do ângulo entre v e w seja igual a π 3. Temos que v + w z é igual a: (a) 62; (b) 4; (c) 5; (d) 5; (e) 10. 4) (P1 2017) Sejam v, w, z V 3 vetores tais que: v = 3, w = 2 e z = 1 Suponha que v e z sejam ortogonais, que a medida do ângulo entre v e w seja igual a π e que a medida do ângulo entre w, e z seja igual a 3 π. Temos que a projeção ortogonal de v + 2w + z sobre v é igual a: 4 (a) 4 3 v ; (b) 4 v ; (c) 2 v ; (d) 5 3 v ; (e) 11 9 v.

10 5) (P1 2017) Seja B uma base ortonormal de V 3 e considere os vetores: v = (1, 0, -1) B e w = (0, 1, 1) B. Seja a = proj w v e seja b = (x, y, z) B uma combinação linear de v e w que seja ortogonal a v e que satisfaça a igualdade a. b = 1. Temos que x + y + z é igual a: (a) 8/3 ; (b) 4/3 ; (c) 10/3 ; (d) 2/3 ; (e) 2. 6) (P1 2017) Seja B uma base de V 3 e considere os vetores: v 1 = (1, 2,0) B, v 2 = (0,3, 1) B e v 3 = (3, 3, 1) B. Se β, γ R forem tais que v 1 + βv 2 + γv 3 = 0, então βγ será igual a: (a) 1 9 ; (b) 1 9 ; (c) 1; (d) 1 3 ; (e) 1 3.

11 7) (P1 2017) Seja B uma base ortonormal de V 3 e considere os vetores: v = (1, -1, 2) B e w = (3, -1, 1) B. Seja z o vetor paralelo a v tal que w z seja ortogonal a v. A norma do vetor 2z w é igual a: (a) 10; (b) 11 ; (c) 7; (d) 8; (e) 12. 8) (P1 2017) Seja a R e considere os vetores : u 1 = (1, a, 1) B, u 2 = (a, 1, 1) B e u 3 = (1,1,1) B, em que B é uma base de V 3. Pode-se afirmar que: (a) {u 1, u 2, u 3 } é uma base de V 3 se, e somente se, 1 a < 3; (b) {u 1, u 2, u 3 } é uma base de V 3 se, e somente se, 3 a < 5; (c) {u 1, u 2, u 3 } é uma base de V 3 se, e somente se, 2 < a < 1; (d) {u 1, u 2, u 3 } é uma base de V 3 se, e somente se, 5 a < 7; (e) {u 1, u 2, u 3 } é uma base de V 3.

12 9) (P1 2017) Considere a matriz: A = ( ) Temos que a soma dos elementos na diagonal principal da matriz A 1 é igual a: (a) 1 2 ; (b) 3 4 ; (c) 1 4 ; (d) 0; (e) 1 4 ; 10) (P1 2015) Seja A uma matriz real 3 X 3 tal que det(a) = 7. Temos que: (det(a 3 ) + det(3a)) det(a 1 ) é igual a: (a) nenhuma das outras alternativas é correta; (b) 76; (c) 3724; (d) ; (e) ) (P1 2017) Sejam A e B matrizes reais 5 5 e suponha que: det(a) = 3 e det(b) = 1. Denote por A t a transposta da matriz A. Temos que det( 2ABA t ) é igual a: (a) 18; (b) 6; (c) 288; (d) 18; (e) 288.

13 a b c 12) (P1 2014) Considere a matriz A M3(R), dada por A = ( d e f) g h i a c 5(b 2c). Se B = ( d f 5(e 2f) ), sabendo que det(a) = 2, pode-se afirmar g i 5(h 2i) que det(b 1 ) é igual a: (a) 1/10 (b) 1/100 (c) 1/20 (d) 1/100 (e) 1/20 13) (P1 2016) Considere a matriz: A = ( ) e denote por A t a sua transposta. Temos que det(a 3 ) det[3(a t ) 1 ] é igual a: (a) -26; (b) 55; (c) 0; (d) 26; (e) 81.

14 14) (P1 2014) Considere as matrizes: A = [ e as afirmações abaixo: (I) det(a) det(b) ] B = [ ] (II) det(a) = det(b) (III) det(a 2 B) = 6 3 (IV) det(ab 2 ) = 4 3 Está correto o que se afirma em: (a) (I), (III) e (IV), apenas. (b) (II) e (IV), apenas. (c) (I) e (III), apenas. (d) (I) e (IV), apenas. (e) (II) e (III), apenas. 15) (P1 2015) A igualdade abaixo: ( ) ( ) = ( ) 1 1 não é valida. Qual coluna da matriz do lado direito da igualdade deve ser alterada para que a igualdade se torne valida? (a) a primeira; (b) a segunda; (c) a quinta; (d) a quarta; (e) a terceira.

15 16) (P1 2017) Seja a R e considere o sistema linear x + ay + z = a { x + y + z = 1 x + y + az = a 2 nas incógnitas reais x, y e z. Temos que esse sistema possuirá uma única solução se, e somente se: (a) 0 < a < 1; (b) a = 0; (c) a 0; (d) a 1; (e) a = 1. 17) (P1 2014) Uma caixa contendo moedas de 1, 5 e 10 centavos tem 13 moedas totalizando 83 centavos. Então, pode-se afirmar que o número de moedas de 1 somado com o número de moedas de 5 menos o número de moedas de 10 é igual a: (a) 1 (b) 5 (c) 7 (d) 5 (e) 1