UNIOESTE DETERMINANTES. Profa. Simone Aparecida Miloca UNIOESTE

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1 DETERMINANTES Profa. Simone Aparecida Miloca UNIOESTE 2017

2 Sumario Determinantes

3 Determinantes Introdução Determinante é um número associado a uma matriz quadrada. Permutação Considere n objetos distintos a 1, a 2,..., a n Uma permutação é a disposição destes objetos em determinada ordem. Exemplo 1 (1, 2, 3) e (3, 2, 1) são permutações dos números 1, 2, 3.

4 Determinantes Introdução Determinante é um número associado a uma matriz quadrada. Permutação Considere n objetos distintos a 1, a 2,..., a n Uma permutação é a disposição destes objetos em determinada ordem. Exemplo 1 (1, 2, 3) e (3, 2, 1) são permutações dos números 1, 2, 3. Número de permutações Dados n objetos tem-se n! = n (n 1) permutações.

5 Determinantes Inversão Dada uma permutação dos inteiros 1, 2,..., n, existe uma inversão quando um inteiro precede outro menor do que ele. Exemplo 2 Considere os números 1,2 e 3. (1,2,3) tem 0 inversões (1,3,2) tem 1 inversão (o inteiro 3 precede 2 que é menor que ele)

6 Determinantes Inversão Dada uma permutação dos inteiros 1, 2,..., n, existe uma inversão quando um inteiro precede outro menor do que ele. Exemplo 2 Considere os números 1,2 e 3. (1,2,3) tem 0 inversões (1,3,2) tem 1 inversão (o inteiro 3 precede 2 que é menor que ele) (2,1,3) tem 1 inversão (2 precede 1 )

7 Determinantes Inversão Dada uma permutação dos inteiros 1, 2,..., n, existe uma inversão quando um inteiro precede outro menor do que ele. Exemplo 2 Considere os números 1,2 e 3. (1,2,3) tem 0 inversões (1,3,2) tem 1 inversão (o inteiro 3 precede 2 que é menor que ele) (2,1,3) tem 1 inversão (2 precede 1 ) (2,3,1) tem 2 inversões (3 precede 1, 2 precede 1) (3,1,2) tem 2 inversões (3 precede 1, 3 precede 2) (3,2,1) tem 3 inversões (3 precede 2, 3 precede 1, 2 precede 1)

8 Determinantes Determinantes Definição 1 Seja A = [a ij ] n n. O determinate de A é, por definição, A = det A = P ( 1) J a 1j1 a 2j2 a njn onde, J = J(j 1, j 2,, j n ) é o número de inversões da permutação (j 1, j 2,, j n ) P indica que a soma estende-se a todas as n! permutações de (1, 2,, n)

9 Determinantes Exemplos A = det A = P ( 1) J a 1j1 a 2j2 a njn Exemplo 3 Seja A = [a ij ] 2 2 A = ( 1) 0 a 11 a 22 + ( 1) 1 a 12 a 21

10 Determinantes Exemplos A = det A = P ( 1) J a 1j1 a 2j2 a njn Exemplo 4 Seja A = [a ij ] 3 3 A = ( 1) 0 a 11 a 22 a 33 + ( 1) 1 a 11 a 23 a 32 + ( 1) 1 a 12 a 21 a 33 + ( 1) 2 a 12 a 23 a 31 + ( 1) 2 a 13 a 21 a 32 + ( 1) 3 a 13 a 22 a 31

11 Determinantes Observações Reordenando convenientemente os índices é possível mostrar que A = det A = P ( 1) J a j1 1a j2 2 a jnn O sinal do termo é negativo se a permutação tiver um número ímpar de inversões.

12 Considere o caso particular A = [a ij ] 3 3. Vimos que: A = ( 1) 0 a 11 a 22 a 33 + ( 1) 1 a 11 a 23 a 32 + ( 1) 1 a 12 a 21 a 33 + ( 1) 2 a 12 a 23 a 31 + ( 1) 2 a 13 a 21 a 32 + ( 1) 3 a 13 a 22 a 31 A = a 11 (a 22 a 33 a 23 a 32 ) a 12 (a 21 a 33 a 23 a 31 )+a 13 (a 21 a 32 a 22 a 31 ) A = a 11 a 22 a 23 a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 A = a 11 A 11 a 12 A 12 + a 13 A 13 Denotando ij = ( 1) i+j A ij vem A = a a a 13 13

13 Se A n n = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n = [a ij] n n a n1 a n2 a nn deta = a i1 i1 + a i2 i2 + + a in in ij é denominado cofator do elemento a ij Exemplo 5 Calcule o determinante de A: A 3 3 =

14 Propriedades do Determinante 1. Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz A são nulos então det A = det A = det A t 3. Se multiplicarmos uma linha de A por uma constante, o determinante fica multiplicado pela constante. 4. Se trocarmos a posição de duas linhas, o determinante troca de sinal. 5. O determinante de uma matriz que possui duas linhas (ou colunas) iguais é zero. 6. O determinante não se altera se somarmos a uma linha, outra linha multiplicada por uma constante. 7. det (AB) = det A.det B

15 Resultados Teorema 1 i) Seja E uma matriz elementar obtida pela troca de duas linhas, então det E = 1. ii) Seja E uma matriz elementar obtida de I n pela multiplicação de uma linha por k 0, então det E = kdet I = k. iii) Seja E uma matriz elementar obtida de I n trocando a linha i pela soma da linha i com k vezes a linha j. Então det E = 1. Teorema 2 Seja E uma matriz elementar. Então det (EA) = dete det A

16 Resultados Teorema 3 A é inversível det A 0. Assim, A é inversível A na forma ERL é I n A A 1 A 2... I n I n = E k... E 2 E 1 A Logo, Então, A = E 1 1 E E 1 k I n A = E 1 1 E E 1 k I n A = E E2... Ek I n 0

17 Definição 2 Se uma matriz quadrada é inversível diz-se que ela é não-singular.

18 Matriz dos Cofatores C = n n n1 n2 nn onde ij = ( 1) i+j det A ij Matriz Adjunta Adj A = C t

19 Teorema 4 A Adj(A) = det(a) I n Teorema 5 Se A é inversível então A 1 = 1 det A Adj(A) Exemplo 6 Calcule a inversa de A = [ A 1 = ] [ ]

20 Teorema 6 Seja AX = B um sistema de equações lineares. det A 0 AX = B tem solução única Dem: det A 0 A é inversível A na forma ERL é I n posto de A = n AX = B tem solução única.

21 Regra de Crammer para resolução de sistemas Seja A n n X n 1 = B n n. Suponhamos det A 0, logo A 1 AX = A 1 B X = A 1 B X = 1 det A Adj(A)B Na forma matricial x n1 x 2. = n2 det A x n 1n 2n nn b 1 b 2. b n

22 Regra de Crammer para resolução de sistemas Assim, x 1 x 2. x n = 1 det A n n n 2n nn x 1 = 1 det A ( 11b b n1 b n ) Note que, b 1 a 12 a 1n b 2 a 22 a 2n 11 b b n1 b n = b n a n2 a nn Analogamente, chegamos a x,, x b 1 b 2. b n

23 Regra de Crammer para resolução de sistemas para i = 1,..., n a 11 b 1 a 1n... a n1 b n a nn x i = a a 1n..... a n1... a nn Exemplo 2x 1 3x 2 + 7x 3 = 1 S 1 : x 1 + 3x 3 = 5 2x 2 x 3 = 0 Solução: ( 49, 9, 18).