ÁLGEBRA MATRICIAL E O METÓDO DE GAUSS: POSSIBILIDADES PARA A

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1 ÁLGEBRA MATRICIAL E O METÓDO DE GAUSS: POSSIBILIDADES PARA A EDUCAÇÃO BÁSICA Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú VI SEPMAT - UECE 23 de março de / 115

2 Sumário 1 Brevíssimo Histórico 2 Sistemas Lineares 3 Eliminação Gaussiana 4 Matrizes 5 Determinantes 2 / 115

4 Em 213 a.c. o imperador SHIH HOANG-TI (259 a.c a.c.) mandou queimar todos os livros e matar todos os estudiosos. Não se sabe quanto conhecimento foi perdido, mas algumas coisas foram salvas. 4 / 115

5 Três fardos de uma boa colheita, dois fardos de uma colheita medíocre e um fardo de uma colheita ruim foram vendidos por 39 dou. Dois fardos da boa, três da medíocre e um da ruim, foram vendidos por 34 dou. Um da boa, dois da medíocre e três da ruim, foram vendidos por 26 dou. Qual o preço recebido pela venda de cada fardo associado a boa colheita, a colheita medíocre e a colheita ruim? (Jiuzhang Suanshu - Nove capítulos sobre aritmética a.c.) 5 / 115

6 Os chineses empregavam pedaços de bambu com cores diferentes dispostos de forma organizada em um quadro, representando os coeficientes do sistema. A resolução do problema era obtida por meio de uma sequência ordenada de manipulações (com auxílio de ábacos) nas linhas do quadro. 6 / 115

7 Depois de um longo tempo de inércia, recomeça o desenvolvimento da álgebra matricial Seki Kowa ( , Japão): usou conhecimentos dos chineses para chegar no que hoje conhecemos como determinantes. No século XVII a Europa se concentrava no estudo de determinantes. A técnica ficou conhecida como ELIMINAÇÃO GAUSSIANA, em homenagem ao matemático alemão Carl Gauss O Príncipe da Matemática ( ). Arthur Cayley ( , Inglaterra), trabalhou com matrizes considerando-as separadamente dos determinantes, definindo suas operações algébricas. 7 / 115

9 EQUAÇÃO LINEAR Definição Uma equação linear é uma expressão que pode ser transformada em uma igualdade entre um polinômio de grau 1 e uma constante. EXEMPLOS: y = 4x 8 2 x = 3y + z 8 x 1 2x 2 = 4x 3 4x xy = z 2 9x 2 y 2 = 5 5 x + 3 y = xy 9 / 115

10 FORMA GERAL DE UMA EQUAÇÃO LINEAR Definição (Equação Linear em Várias Variáveis) Uma equação linear nas variáveis x 1, x 2,..., x n é uma expressão do tipo a 1 x 1 + a 2 x a n x n = k onde a 1, a 2,..., a n, k são constantes (reais ou complexas). As constantes a 1, a 2,..., a n são os coeficientes e k é o termo independente. 10 / 115

11 SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR Definição (Solução de uma equação linear) Uma solução para uma equação linear a 1 x 1 + a 2 x a n x n = k é o conjunto de valores ξ 1, ξ 2,..., ξ n que alocados nas posições das variáveis x 1, x 2,..., x n respectivamente, tornam a igualdade verdadeira. 11 / 115

12 SISTEMA LINEAR Definição (Sistema Linear) Um sistema de equações lineares ou simplesmente, sistema linear nada mais é do que um conjunto de equações lineares. A solução de uma sistema linear é o conjunto de valores (reais ou complexos) que é solução para TODAS AS EQUAÇÕES que o compõe. 12 / 115

13 EXEMPLO: 2x 1 + 4x 2 7x 3 + 2x 4 = 5 3x 1 2x 2 + 2x 3 3x 4 = 5 4x 1 + 3x 2 2x 3 + 4x 4 = 2 tem (1, 0, 1, 0) como uma solução. 13 / 115

14 BUSCA POR SOLUÇÕES Até agora vimos como reconhecer uma solução para um sistema. Agora vamos determiná-las! Estratégia: Simplificar o sistema, obtendo um novo e resolvendo-o. 14 / 115

15 OPERAÇÕES ELEMENTARES Veremos agora algumas manipulações que podemos fazer com as equações de um sistema linear sem que isso altere sua solução. 1. Permuta de Equações: Dado um sistema linear S, ao permutarmos duas de suas equações obtemos um novo sistema, S. Obviamente, a troca de posições entre equações não altera a solução do sistema. 15 / 115

16 OPERAÇÕES ELEMENTARES EXEMPLO: Considere o sistema 3x + 2y z + 2w = 15 (E 1 ) x + 3y + 2z w = 2 (E S 2 ) 4x + 8y 7z + w = 5 (E 3 ) 7x y z + 2w = 2 (E 4 ) Permutando as equações E 2 e E 4, teremos 3x + 2y z + 2w = 15 S 7x y z + 2w = 2 4x + 8y 7z + w = 5 x + 3y + 2z w = 2 16 / 115

17 OPERAÇÕES ELEMENTARES 2. Multiplicação de equação por escalar: Tomando uma das equações do sistema linear S e multiplicando-a por uma constante c (ambos os membros!) obtemos um novo sistema linear, S. 17 / 115

18 OPERAÇÕES ELEMENTARES EXEMPLO: Considerando novamente o sistema 3x + 2y z + 2w = 15 (E 1 ) x + 3y + 2z w = 2 (E S 2 ) 4x + 8y 7z + w = 5 (E 3 ) 7x y z + 2w = 2 (E 4 ) Multipliquemos a equação E 3 por 4. Obtemos 3x + 2y z + 2w = 15 S x + 3y + 2z w = 2 16x 32y + 28z 4w = 20 7x y z + 2w = 2 18 / 115

19 OPERAÇÕES ELEMENTARES OBSERVAÇÃO: Multiplicar uma equação (ambos os membros) por uma constante β (real ou complexa) não altera a sua solução. Por exemplo, considere a equação 2x 3y + 4z = 20 que tem como uma de suas soluções (1, 2, 3) Multiplicando ambos os membros por 3, obtemos a seguinte equação: 6x + 9y 12z = 60 e observe que (1, 2, 3) segue sendo solução, pois 6.(1) + 9.( 2) 12.(3) = 60 Como generalizar este resultado? 19 / 115

20 OPERAÇÕES ELEMENTARES 3. Adição de equações: Podemos realizar a adição entre duas equações do sistema linear S de modo a obter uma terceira equação linear. Esta, substituindo uma das duas primeiras, faz parte de um novo sistema, S. 20 / 115

21 OPERAÇÕES ELEMENTARES Novamente, tomemos 3x + 2y z + 2w = 15 (E 1 ) x + 3y + 2z w = 2 (E S 2 ) 4x + 8y 7z + w = 5 (E 3 ) 7x y z + 2w = 2 (E 4 ) Vamos substituir E 1 pela soma E 1 + E 2. 2x + 5y + z + w = 13 (E 1 + E 2 ) S x + 3y + 2z w = 2 4x + 8y 7z + w = 5 7x y z + 2w = 2 21 / 115

22 OPERAÇÕES ELEMENTARES Essa operação elementar, também não altera a solução do sistema: Considere, por exemplo, as equações: (E 1 ) x + 2y + 3z + 4w = 7 (E 2 ) 2x + 3y 2z w = 0 Observe que (1, 1, 0, 1) é solução para ambas. Somando E 1 e E 2, temos: (E 1 + E 2 ) x + 5y + z + 3w = 7 e (1, 1, 0, 1) é também solução para E 1 + E 2, pois: (1) + 5.(1) + (0) + 3.(1) = 7 Como generalizar este resultado? 22 / 115

23 OPERAÇÕES ELEMENTARES ATIVIDADE: Dado o sistema S 3x + 2y z + 2w = 15 (E 1 ) x + 3y + 2z w = 2 (E 2 ) 4x + 8y 7z + w = 5 (E 3 ) 7x y z + 2w = 2 (E 4 ) Obtenha o sistema S realizando as seguintes operações elementares: Permuta das equações E 1 e E 3 ; Multiplicação da (nova) equação E 3 por 2; Soma das equações E 2 + E 4 no lugar de E 4 ; 23 / 115

24 OPERAÇÕES ELEMENTARES OBSERVAÇÃO A combinação de operações elementares não altera a solução do sistema. 24 / 115

25 OPERAÇÕES ELEMENTARES EXEMPLO: Considere o sistema: x 2y + 5z = 1 (E 1 ) S 2x 3y + z = 0 (E 2 ) 3x + 4y + 2z = 9 (E 3 ) Podemos multiplicar a primeira equação por 2 e a segunda equação por 1: 2x 4y + 10z = 2 (E 1) 2x + 3y z = 0 (E 2) Somando (E 1 + E 2 ) e colocando no lugar de (E 2): x 2y + 5z = 1 S y + 9z = 2 3x + 4y + 2z = 9 25 / 115

26 OPERAÇÕES ELEMENTARES EXEMPLO: Resumindo, fizemos o seguinte: x 2y + 5z = 1 (E 1 ) S 2x 3y + z = 0 (E 2 ) (2.E 1 E 2 ) 3x + 4y + 2z = 9 (E 3 ) S x 2y + 5z = 1 y + 9z = 2 3x + 4y + 2z = 9 Além disso, por se tratarem de operações elementares, não haverá alteração de solução!!! 26 / 115

27 Definição (Sistemas Equivalentes) Quando dois sistemas lineares S e S tem as mesmas soluções, dizemos que eles são equivalentes. 27 / 115

29 Eliminação Gaussiana Como já foi dito anteriormente, nossa estratégia é simplificar o sistema S, obtendo S, e resolver o segundo. Usaremos as operações elementares para simplificar o sistema dado! 29 / 115

30 Eliminação Gaussiana DESAFIO Usando operações elementares, transforme o sistema S no sistema S : S S x 2y + 5z = 11 2x 3y + z = 4 3x + 4y + 2z = 7 x 2y + 5z = 11 y 9z = 18 77z = / 115

31 DESAFIO S x 2y + 5z = 11 y 9z = 18 77z = 154 Observe que as operações elementares foram feitas de modo a: Diminuir o número de variáveis a cada equação. Iniciamos por zerar todos os coeficientes abaixo do primeiro coeficiente não nulo (o PIVOT) da primeira equação. Em seguida, zeramos os coeficientes abaixo do primeiro coeficiente não nulo (o próximo PIVOT) da segunda equação. Como tudo correu bem, a última equação está em apenas uma variável, a saber, z. 31 / 115

32 DESAFIO S x 2y + 5z = 11 y 9z = 18 77z = 154 Deste modo, podemos resolver o sistema S usando SUBSTITUIÇÃO REVERSA: Terceira equação: 77z = 154 = z = 2 Segunda equação: y 9z = 18 = y = 9z 18 = y = 0 Terceira equação: x 2y + 5z = 11 = x = y 5z = x = 1 Assim, a solução do sistema é: (1, 0, 2). Atente para a ordem em que a solução é exibida: deve-se respeitar a ordem em que as variáveis aparecem no sistema! 32 / 115

33 EXERCÍCIO Usando Eliminação Gaussiana, resolva: x 2y + 5z = 1 S 2x 3y + z = 0 3x + 4y + 2z = 9 Resposta... ( , 82 77, 8 ) / 115

34 EXERCÍCIO Usando Eliminação Gaussiana resolva: x y + z = 0 S x + y + z = 6 x + y 2z = 4 Resposta... ( ) 1 2, 5 2, 3 34 / 115

35 EXERCÍCIO Usando Eliminação Gaussiana resolva: S 2ix + 2y z = 3 x iy + iz = i 2x (1 i)y + (2 2i)z = 2 + 6i Resposta... (2i, 4, 1) 35 / 115

36 A estratégia usada até agora para a resolução de sistemas foi a seguinte: S Solução Operações Elementares S Substituição Reversa 36 / 115

37 Ao simplificarmos um sistema com operações elementares, estamos efetuando contas apenas com os coeficientes. S S S x y + z = 0 x + y + z = 6 x + y 2z = Notação Matricial de um Sistema Linear ou Matriz Aumentada (ou Ampliada) do Sistema. 37 / 115

38 Daí, aplicar operações elementares às equações do sistema, equivale a aplicar operações elementares às linhas da Matriz Aumentada. S x y + z = 0 x + y + z = 6 E 2 + E 1 x + y 2z = 4 E 3 E L 2 + L 1 L 3 L 1 L 3 L 2 38 / 115

39 S x y + z = 0 2y 3z = 4 2z = 6 Aplicando substituição reversa: Solução: z = 3, y = 5 2, x = 1 2 ( ) 1 2, 5 2, 3 39 / 115

40 IMPORTANTE: Matriz Ampliada do Sistema [A b] = Matriz dos Coeficientes do Sistema A = Coluna dos Termos Independentes 0 b = / 115

41 IMPORTANTE: Depois de aplicada a Eliminação Gaussiana: Forma Escalonada [E b ] = / 115

42 Eliminação Gaussiana na Notação Matricial Assim, com a Notação Matricial, faremos S Solução Substituição Reversa [A b] [E b ] S E. G. E.G: Eliminação Gaussiana 42 / 115

43 Exercícios Exercício 01 Resolver o sistema x + 2y z = 7 S 2x 3y + z = 4 3x + 2y 5z = 5 Resposta... S = (2, 3, 1) 43 / 115

44 Exercício 02 Resolver o sistema 3x 3y + 3z = 6 S x + 2y + z = 1 2x + 5y 3z = 3 Resposta... S = (1, 1, 0) 44 / 115

45 Exercício 03 Resolver o sistema 2x + 5y + 3z = S 3x + 2y + 5z = x + 3y + 2z = 4 Resposta... ( 1 S = 2, 1 3, 1 ) 4 45 / 115

46 Exercício 04 Resolver o sistema x 2y + 3z 4w = 2 2x + y 4z 3w = 4 S 7x 2y 3z + 8w = 10 3x + y + z w = 4 Resposta... S = (1, 1, 1, 1) 46 / 115

47 Exercício 05 Resolver o sistema x + 2iy + (1 + i)z = 1 S 2x + (1 i)y + 2z = 1 3i 3x + 3y + iz = 1 + 6i Resposta... S = (i, i, i) 47 / 115

48 Número de equações menor do que o número de variáveis S 2x + 3y 4z + w = 1 x 2y + z w = 2 x + y z + 5w = 3 Uma forma escalonada para S é [E b ] = Que corresponde ao sistema 2x + 3y 4z + w = 1 S 7y + 6z 3w = 3 6z + 31w = / 115

49 S 2x + 3y 4z + w = 1 7y + 6z 3w = 3 6z + 31w = 32 Por substituição reversa, não conseguiremos determinar a solução. Façamos, por exemplo, w = 1. A solução para o sistema ( seria... ) 7 6, 1, 1 6, 1 Mas, e se w = 0? A solução seria... ( 8 ), 5, , 0 E se w = α, onde α é um número qualquer? A solução seria... ( ) 23α 16 31α 32, 4α 5,, α / 115

50 Resumindo: 2x + 3y 4z + w = 1 S x 2y + z w = 2 x + y z + 5w = 3 ( ) 23α 16 31α 32 tem como solução geral:, 4α 5,, α 6 6 Neste caso, dizemos que o sistema é possível e indeterminado. 50 / 115

51 Exemplo: Considere o sistema S cuja matriz aumentada é [A b] = e encontre sua solução geral. Resposta... ( 3 α + β, 4, 2 ) 9 + α 3β, α, β com α, β R / 115

52 Exemplo: Considere o sistema S cuja matriz aumentada é e encontre sua solução geral. Resposta... Sistema Impossível. 52 / 115

53 Número de equações maior do que o número de variáveis Exemplo: Considere o sistema S cuja matriz aumentada é e encontre sua solução. Resposta... ( 2 3, 5 6, 4 ) 3 53 / 115

54 Exemplo: Considere o sistema S cuja matriz aumentada é e encontre sua solução. Resposta... Sistema Impossível 54 / 115

55 Exemplo: Considere o sistema S cuja matriz aumentada é e encontre sua solução. Resposta... ( ) 1 2α 5α 26,, 6, α / 115

56 Lema Se (ξ 1, ξ 2 (,..., ξ n ) e (η 1, η 2,..., η n ) são duas soluções para o sistema ξ1 + η 1 S então, ξ 2 + η 2,, ξ ) n + η n também o é Prova: Sendo (ξ 1, ξ 2,..., ξ n ) e (η 1, η 2,..., η n ) soluções para o sistema S, segue que, para cada i {1,..., m}: a i1 ξ 1 + a i2 ξ a in ξ n = b i e a i1 η 1 + a i2 η a in η n = b i Somando membro a membro as igualdades acima, teremos a i1 (ξ 1 + η 1 ) + a i2 (ξ 2 + η 2 ) a in (ξ n + η n ) = 2b i Multiplicando ambos os membros por 1 2, tem-se ( ) ( ) ( ) ξ1 + η 1 ξ2 + η 2 ξn + η n a i1 + a i a in = b i ( ) Portanto, ξ1+η 1 2, ξ2+η2 2,..., ξn+ηn 2 é também solução para cada uma das equações do sistema. 56 / 115

57 Teorema (Quantidade de soluções de um sistema linear) Seja S um sistema linear. Ocorre uma, e somente uma, das seguintes situações: (i) S é impossível; (ii) S tem exatamente uma solução; (iii) S tem infinitas soluções. Prova: Suponha que S tenha duas soluções distintas σ 1 e σ 2. Pelo Lema, é possível obter uma terceira, digamos, σ 3. Repare que σ 3 σ 1 e σ 3 σ 2. Portanto, podemos aplicar novamente o Lema e obter a partir de σ 3 e σ 1,uma quarta solução, σ 4, diferente das anteriores. Aplicando o processo indefinidamente, obteremos infinitas soluções para S. Assim, se S tem mais do que uma solução, na verdade, tem infinitas! 57 / 115

58 Possível Determinado E. Gaussiana S S Indeterminado Impossível 58 / 115

59 Método de Gauss-Jordan Considere o sistema x + 2y 3z = 7 S 2x 3y + z = 7 3x + y + 2z = 6 Vimos que uma solução para S é x = 1, y = 1 e z = 2 ou, equivalentemente, x = 1 S y = 1 z = 2 isto é, um sistema cuja matriz ampliada é [E ] = Vejamos que [E ] é uma forma escalonada para o sistema 59 / 115

60 Uma Forma Escalonada para o sistema original S é [E b ] = O pivot da segunda linha aparece indicado abaixo. Para zerarmos os demais coeficientes desta coluna, devemos realizar as operações elementares como se segue: L 1 2L Passando ao terceiro pivot, temos: L 1 + L 3 L 2 + L / 115

61 Daí, obtemos [E A ] = onde é precisamente a solução do sistema original S. A matriz [E A ] é chamada Forma Escalonada Reduzida do sistema S. 61 / 115

62 [A b] [E b ] [E A ] E.G. G-J Matriz Aumentada Forma Escalonada F. E. Reduzida Substituição Reversa (Solução) 62 / 115

63 Exemplo: Determinar a solução do sistema abaixo usando o Método de Gauss-Jordan 3x + 4y + 2z + w = 2 4x + y z + 2w = 1 S 2x + 2y + z + w = 2 x + 4y + 2z + w = 2 Resposta... (0, 1, 2, 2). 63 / 115

64 Exemplo: Considere o sistema cuja matriz aumentada é [A b] = e encontre sua solução pelo Método de Gauss-Jordan. Resposta... ( α, 8 ) 2α, α, α onde α R. 64 / 115

65 Exemplo: Encontre a solução para o sistema abaixo usando o Método de Gauss-Jordan 3x + 2y + z + w + t = 2 S 2x + 2y + z + 3w + 2t = 4 x + y + z + 2w + 2t = 1 Resposta... ( 2α + β 2, 5 α, β R ) 3α + β + 13, α 2β 2, α, β com 5 65 / 115

66 No exemplo anterior, encontramos a seguinte solução: α ( 2 5, 3 5, 1, 1, 0 ) + β ( 1 5, 1 5, 2, 0, 1 ) + ( 2 5, 13 5, 2, 0, 0 ) ou, ainda, escrevendo as listas em forma de coluna, X = α β é a solução geral do sistema. 66 / 115

67 Sistemas Homogêneos Quando os termos independentes das equações de um sistema linear são todos nulos, diremos que o sistema é homogêneo. A primeira coisa a observar a respeito desses sistemas é que são sempre possíveis. De fato, se toda equação do sistema é da forma a i1 x 1 + a i2 x a im x m = 0 então a sequência formada por m zeros (0, 0,..., 0) satisfaz a igualdade acima. Tal sequência, portanto, será solução do sistema, mas podem existir (infinitas) outras. 67 / 115

68 Considere o sistema homogêneo 3x + 2y z = 0 4x 3y + 2z = 0 5x + 5y 3z = 0 Sua Forma Escalonada Reduzida é: [E A ] = e portanto sua única solução é X = (0, 0, 0). Importante Quando um sistema homogêneo tem apenas uma solução, a saber, a sequência formada apenas por zeros, diremos que o sistema possui solução trivial. 68 / 115

69 Agora, considere o sistema não homogêneo 2x + 3y 4z + w = 4 S x 2y + z w = 7 x + y z + 5w = 15 Sua Forma Escalonada Reduzida é e sua solução geral: ( 23α X = [E A ] = ) 31α 13, 4α 22, 6 24, α ( 23 6 ) 13 ou X = α 4 ( 31 6 ) / 115

70 Agora, vamos considerar a versão homogênea deste sistema: 2x + 3y 4z + w = 0 S x 2y + z w = 0 x + y z + 5w = 0 Sua Forma Escalonada Reduzida é [E A ] = que resulta na solução geral ( ) ( α X 31α =, 4α, 6 6, α ) ou X = α 4 ( 31 6 ) 1 70 / 115

71 Comparando Matriz Ampliada: [A b] e [A 0] Forma Escalonada Reduzida: [E A ] e [E A 0] Solução: ( 23 6 ) 13 ( 23 6 X = α 4 ( 31 6 ) + 22 ) 24 e X = α 4 ( 31 6 ) / 115

72 Teorema Seja S um sistema não homogêneo cuja solução geral é X = α 1 h 1 + α 2 h α r h r + p então, a solução do sistema homogêneo associado é X = α 1 h 1 + α 2 h α r h r 72 / 115

73 Exemplo A matriz ampliada de um sistema não homogêneo S é: [A b] = Forma Escalonada Reduzida ( 8 3 ) ( 17 3 ) ( 35 9 ) ( 10 3 ) [E A ] = ( 20 3 ) ( 2 3 ) ( 5 3 ) ( 2 9 ) ( 1 3 ) Solução geral: ( 8 3 ) ( ) ( 35 9 X = α. ( 2 3 ) 9 ) ( β. ( 5 3 ) ( 20 3 ) 3 ) 0 + θ. ( 2 9 ) ( 1 3 ) / 115

74 Exemplo A matriz ampliada do sistema homogêneo associado: [A b] = Forma Escalonada Reduzida ( 8 3 ) ( 17 3 ) ( 35 9 ) 0 [E A 0] = ( 20 3 ) ( 2 3 ) ( 5 3 ) ( 2 9 ) 0 Solução geral: ( 8 3 ) ( ) ( 35 9 X = α. ( 2 3 ) 9 ) 1 + β. ( 5 3 ) ( 20 3 ) 0 + θ. ( 2 9 ) / 115

75 Exemplo Encontre a solução do sistema abaixo e do sistema homogêneo associado. x + 2y 3z = 4 S 2x y + 5z = 7 4x + 3y z = 14 S é impossível. Mas... para α R 1 0 ( 7 5 ) 0 [E A 0] = 0 1 ( 11 5 ) ( X = 7α 5, 11α ) 5, 0, α 75 / 115

77 Matriz Uma matriz nada mais é do que um conjunto de números reais (ou complexos) dispostos em linhas e colunas Por exemplo, [ ] é uma matriz formada por números reais com duas linhas e três colunas. Representaremos o conjunto de TODAS as matrizes (com elementos reais) com duas linhas e três colunas por R / 115

78 GENERALIZANDO R n m - conjunto das matrizes de ordem n m com entradas reais; C n m - conjunto das matrizes de ordem n m com entradas complexas. a 11 a a 1m a 21 a a 2m A =... Rn m (ou C n m ) a n1 a n2... a nm a rs - elemento da LINHA r e COLUNA s; A = [a rs ] n m : r {1, 2,..., n} e s {1, 2,..., m} 78 / 115

79 Operações Considere um conjunto Ω não vazio. Podemos obter uma estrutura algébrica ao definirmos uma operação ( ) entre os elementos de Ω; Os elementos de Ω, sob a influência da operação, possuem algumas propriedades; Se consideramos um conjunto de matrizes, então a Álgebra Matricial consiste da operação entre matrizes e suas propriedades. 79 / 115

80 Soma de Matrizes Considere duas matrizes A, B de mesma ordem n m. A soma A + B é a matriz também de ordem n m obtida pela soma das entradas de A, com as entradas de B, respeitando-se as posições. Propriedades da Soma Sejam A = [a rs ] n m, B = [b rs ] n m e C = [c rs ] n m com entradas reais ou complexas. São válidas as seguintes propriedades: Associatividade: Comutatividade: A + (B + C) = (A + B) + C A + B = B + A Existência de Elemento Neutro: Existe uma matriz X 0 de ordem n m tal que A + X 0 = A qualquer que seja a matriz A de ordem n m. Existência de Inverso Aditivo: Para cada matriz A de ordem n m, existe uma matriz A tal que A + A = X / 115

81 Seja A uma matriz de ordem n m e α um escalar (número real ou complexo). O produto do escalar α pela matriz A é definido por: α.a = [α.a rs ] a 11 a a 1m a 21 a a 2m α.... = a n1 a n2... a nm (α.a 11 ) (α.a 12 )... (α.a 1m ) (α.a 21 ) (α.a 22 )... (α.a 2m )... (α.a n1 ) (α.a n2 )... (α.a nm ) 81 / 115

82 Produto por escalar Propriedades Sejam A, B matrizes de mesma ordem e α, β escalares. α.(β.a) = (α.β).a α.(a + B) = α.a + α.b (α + β).a = α.a + β.a Existe um escalar x 0 tal que x 0.A = A para qualquer matriz A. 82 / 115

83 Definição (Produto de Matrizes) Sejam as matrizes A = [a ij ] n m e B = [b ij ] m r. O produto A.B é definido por (A 1 B 1 ) (A 1 B 2 )... (A 1 B r ) (A 2 B 1 ) (A 2 B 2 )... (A 2 B r ) A.B = = [(A i A j )] n r... (A n B 1 ) (A n B 2 )... (A n B r ) n r isto é, cada entrada x ij da matriz A.B é o produto interno entre a linha i da matriz A e a coluna j da matriz B. 83 / 115

84 Elemento Inverso Para o produto de Matrizes em C n n : Elemento neutro do produto: I n ; Definição (Inverso Multiplicativo de uma matriz) Seja A uma matriz quadrada de ordem n n. Se existir uma matriz quadrada B também de ordem n n tal que AB = I n e BA = I n dizemos que A é inversível ou não singular e que B é a inversa de A. Notação B = A / 115

85 Exemplo Considerando as matrizes [ ] 2 1 A =, B = 4 3 temos = [ 3/2 ] 1/2 2 1 [ ] A1 B A.B = 1 A 1 B 2 A 2 B 1 A 2 B 2 [ ] (2.(3/2) + 1.( 2)) (2.( 1/2) + 1.1) = (4.(3/2) + 3.( 2)) (4.( 1/2) + 3.1) Da mesma forma, B.A = I 2 ; Portanto, A é não singular com A 1 = [ 3/2 ] 1/2 2 1 [ ] 1 0 = I / 115

86 Condição de existência da Matriz Inversa A questão agora é determinar se a inversa existe ou não. Teorema Seja A uma matriz quadrada de ordem n n. São equivalentes: (i) A 1 existe; (ii) posto(a) = n; (iii) A pode ser transformada em I n através do método de Gauss-Jordan; (iv) Se AX = 0 então X = 0 86 / 115

87 Exemplo Considere a matriz A = Aplicando o método de Gauss-Jordan, obtemos: Portanto, A I foi possível ou, posto(a) = n = 3. Pelo Teorema, existe A 1. Ainda pelo Teorema, A.X = 0 implica que X = 0. Isso significa que qualquer sistema homogêneo que tenha A como matriz dos coeficientes, tem solução única! 87 / 115

88 Observação B é a inversa de A se A.B = I e também B.A = I No entanto, quando A for inversível, A.B = I = B.A = I. 88 / 115

89 Determinação da Inversa Seja A uma matriz não singular. O Teorema de Caracterização garante que A pode ser transformada na matriz identidade através de operações elementares; Transforme A n n em I n ; Usando exatamente as mesmas operações elementares, transforme I. Você encontrará uma outra matriz. Chame-a de B. A 1 = B. 89 / 115

90 Exemplo Verificar se a matriz A = é não singular e, em caso afirmativo, encontrar A 1 90 / 115

91 Teorema Sejam A e B matrizes não singulares: (i) (A 1 ) 1 = A (ii) AB é não singular (quando o produto for possível); (iii) (AB) 1 = B 1.A 1 (iv) (A 1 ) T = (A T ) 1 e (A ) 1 = (A 1 ) Corolário Sejam A n n e B n n duas matrizes de posto n. Então AB tem posto n. 91 / 115

92 Exemplo Seja A uma matriz diagonal de ordem n n. Quais as condições para que exista A 1? Qual a forma geral da inversa de A 1? Solução... Se A = [a ij ] n n então a ii 0, isto é, os elementos da diagonal principal devem ser todos não nulos. Aplicando Gauss-Jordan a [A I ] obteremos [I A 1 ] onde a diagonal principal de A 1 é da forma 1 a ii. 92 / 115

93 Exemplo Verificar se a matriz A = é não singular e, em caso afirmativo, encontrar A 1 Resposta... (2/5) 1 (3/5) (3/10) A 1 = (1/3) (2/3) ( 1/3) ( 1/3) ( 1/15) ( 1/3) (1/15) (11/30) ( 1/5) 0 (1/5) (1/10) 93 / 115

95 Permutações Uma permutação de (1, 2, 3,..., n) é uma disposição qualquer desses números. Ex: (3, 2, 1) é uma permutação de (1, 2, 3) Ex: (5, 3, 1, 4, 2) é uma permutação de (1, 2, 3, 4, 5) Ex: (1, 2, 3, 4, 5, 6) é uma permutação de (1, 2, 3, 4, 5, 6) 95 / 115

96 Podemos reordenar uma permutação de modo a obter a sequência natural (1, 2, 3,..., n) trocando os elementos de posição dois a dois. Por exemplo, considere a permutação (5, 3, 1, 2, 4). Vamos realizar trocas de posição entre dois elementos até que obtenhamos a sequência (1, 2, 3, 4, 5). Troca 01:(5, [3], [1], 2, 4) (5, [1], [3], 2, 4); Troca 02:(5, 1, 3, [2], [4]) (5, 1, 3, [4], [2]); Troca 03:([5], 1, 3, 4, [2]) ([2], 1, 3, 4, [5]); Troca 04:([2], [1], 3, 4, [5]) ([1], [2], 3, 4, 5); 96 / 115

97 Portanto, foram necessários k = 4 passos para reordenar a permutação (5, 3, 1, 2, 4). Como k é um número par, dizemos que a permutação é par. Mesmo que tentemos outro caminho na reordenação, também será necessário um número par de trocas. Se tomássemos (5, 1, 3, 2, 4), esta seria uma permutação ímpar. Daí, atribuimos um sinal à paridade da permutação, o número σ(p); Se uma permutação p é par, então σ(p) = +1; Se uma permutação p é ímpar, então σ(p) = 1; 97 / 115

98 Considere uma matriz quadrada de ordem 3 3 a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Escolhamos um elemento em cada linha de A de modo que não se repita a coluna. Por exemplo: A = a 11 [a 12 ] a 13 a 21 a 22 [a 23 ] [a 31 ] a 32 a 33 Assim, ordenando por linha, a sequência escolhida foi: (a 12, a 23, a 31 ) 98 / 115

99 Observe o segundo índice de cada elemento do conjunto (a 12, a 23, a 31 ) Temos o conjunto p = (2, 3, 1), que é uma permutação de (1, 2, 3) Tal permutação é par pois σ(p) = +1 (duas trocas são necessárias!); Consideremos, então, o produto σ(p).a 12.a 23.a / 115

100 Retornando a matriz A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Podemos fazer o mesmo procedimento com as outras possibilidades, como por exemplo: A = [a 11 ] a 12 a 13 a 21 [a 22 ] a 23 a 31 a 32 [a 33 ] (a 11, a 22, a 33 ), p = (1, 2, 3) e σ(p) = +1 E consideramos o produto σ(p).a 11.a 22.a / 115

101 Tomando, então, todas as possibilidades para a matriz A, teremos os seguintes produtos: σ(p).a 11.a 22.a 33, onde p = (1, 2, 3), σ(p) = +1 σ(p).a 12.a 23.a 31, onde p = (2, 3, 1), σ(p) = +1 σ(p).a 13.a 21.a 32, onde p = (3, 1, 2), σ(p) = +1 σ(p).a 13.a 22.a 31, onde p = (3, 2, 1), σ(p) = 1 σ(p).a 11.a 23.a 32, onde p = (1, 3, 2), σ(p) = 1 σ(p).a 12.a 21.a 33, onde p = (2, 1, 3), σ(p) = / 115

102 Definimos o determinante de A como a soma de todos os produtos definidos anteriormente, isto é: det(a) = σ(p).a 11.a 22.a 33 + σ(p).a 12.a 23.a 31 + σ(p).a 13.a 21.a 32 + σ(p).a 13.a 22.a 31 + σ(p).a 11.a 23.a 32 + σ(p).a 12.a 21.a 33 Ou, usando notação de somatório, det(a) = p σ(p)a 1p1.a 2p2.a 3p3 onde p = (p 1, p 2, p 3 ) é uma permutação de (1, 2, 3). 102 / 115

103 A ideia usada para matrizes de ordem 3 3 pode ser estendida para matrizes quadradas de ordem n n: det(a) = p σ(p)a 1p1.a 2p2..a npn onde p = (p 1, p 2,..., p n ) é uma permutação de (1, 2,..., n). 103 / 115

104 A partir da definição, vimos que para o caso de matrizes 2 2, o deteminante era a diferença entre os produtos das diagonais: ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 det(a) = a 11.a 22 a 12.a / 115

105 De modo análogo, deduzimos a regra de Sarrus para os determinantes de matrizes de ordem 3 3: A = a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 det(a) = a 11.a 22.a 33 + a 12.a 23.a 31 + a 13.a 21.a 32 a 13.a 22.a 31 a 11.a 23.a 32 a 12.a 21.a / 115

106 Qual o determinante da matriz abaixo? Resposta A = / 115

107 Qual o determinante de uma matriz triangular? det(a) = a 11.a 22..a nn 107 / 115

108 O que acontece com o determinante da transposta A T? det(a T ) = det(a) 108 / 115

109 Observações: Suponha que uma matriz quadrada de ordem 20 tem uma coluna completamente nula. O que se pode dizer sobre o determinante desta matriz? 109 / 115

110 Considere a matriz 1 α 0 A = Para qual (ou quais) valor(es) de α tem-se det(a) = 0? Neste caso, qual o posto de A? Há colunas não básicas? Em caso afirmativo, como se escrevem em termos das colunas básicas? 110 / 115

111 Observação: Teorema Aplicar uma operação elementar em uma matriz A corresponde ao produto E.A onde E é a matriz elementar correspondente a operação sobre as linhas de A. E o que é uma matriz elementar? Matriz obtida a partir de uma só operação elementar aplicada à matriz identidade. Sejam A e B matrizes de ordem n n. Então det(ab) = det(a).det(b) 111 / 115

112 Exemplo [ ] 3 2 Considere a matriz A =. 1 1 Se E 1 é a matriz de ordem 2 2 obtida por meio de permutação entre as linhas de I 2, determine E 1.A. Se E 2 é a matriz de ordem 2 2 obtida de I 2 pela multiplicação de sua linha 2 por 1, determine a matriz 3 E 2.E 1.A. Se E 3 é a matriz de ordem 2 2 obtida de I 2 pela substituição de sua linha 2 pela soma das linhas 1 e 2, determine a matriz E 3.E 2.E 1.A. Qual o determinante da matriz E 3.E 2.E 1.A? Qual o determinante da matriz A? 112 / 115

113 Exemplo No exemplo anterior, aconteceu o seguinte: Construímos a matriz T = E 3.E 2.E 1.A onde E 3, E 2, E 1 são matrizes elementares! Veja que T é uma matriz triangular, cujo determinante é simplesmente o produto dos elementos de sua diagonal principal. Pelo teorema anterior, dett = dete 3.detE 2.detE 1.detA Ou seja, dett deta = dete 3.detE 2.detE / 115

114 Generalizando, deta = dett dete k.dete k 1..detE 1 Veja que se ao final do escalonamento, a matriz não tiver posto máximo, então o(s) último(s) elemento(s) da diagonal principal é(são) nulo(s). Isso significa que det T = 0 e, consequentemente, det A = 0. TEOREMA Se A é uma matriz de ordem n n, então det A 0 se, e somente se, posto(a) = n. 114 / 115

115 Exemplo Exemplo: Calcular o determinante de A = Resposta / 115