Matemática II /06 - Matrizes 1. Matrizes

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1 Matemática II - 00/0 - Matrizes Matrizes Introdução Se m e n são números naturais, chama-se matriz real de tipo m n (m vezes n ou m por n) a uma função A : f; ; :::; mg f; ; :::; ng R: (i; j) A (i; j) Para simpli car, em vez de A (i; j) ; escreve-se habitualmente a i;j : Uma matriz A pode ser representada como um quadro, numa das formas: A = a ; a ; a ; a ;n a ; a ; a ; a ;n a ; a ; a ; a ;n a m; a m; a m; a m;n. A = [a i;j ] i=;:::;m j=;:::;n ou A = [a i;j ] mn Atendendo à representação em forma de quadro, quando uma matriz é do tipo m n; considera-se que a matriz tem m linhas e n colunas e, se m = n; a matriz diz-se quadrada, dizendo se nesse caso que a matriz é de ordem n. Os elementos a i;j dizem-se as entradas da matriz, concretamente o elemento a i;j posicionado na linha de índice i e na coluna de índice j é a entrada (i; j) da matriz A: Os elementos com o mesmo índice de linha e coluna, isto é, os elementos a ii ; i f; ; :::; ng dizem-se entradas principais da matriz. Duas matrizes A e B são iguais se forem do mesmo tipo e as entradas correspondentes forem iguais.. A = 0 - matriz de tipo : ( se i + j é par. A = [a i;j ] em que a i;j = 0 se i + j é ímpar 0 0 pode ser representada por A = é a matriz quadrada de ordem, que

2 Matemática II - 00/0 - Matrizes Matrizes particulares Se a matriz é do tipo n diz-se uma matriz linha. Se a matriz é do tipo n diz-se uma matriz coluna. Se A = [a i;j ] i=;:::;n é uma matriz quadrada, então: j=;:::;n a diagonal principal de A é constituída pelas suas entradas principais. a matriz diz-se triangular superior se a i;j = 0; sempre que i > j; a matriz diz-se triangular inferior se a i;j = 0; sempre que i < j; a matriz diz-se diagonal se é triangular superior e inferior, ou seja se a i;j = 0; sempre que i = j; Matriz nula de tipo m n é a matriz O mn = [o ij ] i=;:::;m ; em que o ij = 0, ou seja, O mn = mn. j=;:::;n Matriz identidade de ordem n é a matriz I n = [a i;j ] i=;:::;n em que a i;j = ou seja, I n = nn A simétrica da matriz A = [a i;j ] i=;:::;m é a matriz j=;:::;n : j=;:::;n ( se i = j 0 se i = j ; A = [b i;j ] i=;:::;m ; onde b i;j = a i;j. j=;:::;n k k 0 Se k é um número real, então a matriz..... diz-se uma matriz escalar. Uma matriz escalar é uma matriz diagonal em que todas as entradas. 0 0 k nn principais são iguais. Nota: A matriz nula de ordem n e a matriz identidade de ordem n são casos particulares de matrizes escalares, com k = 0; no caso da matriz nula, e k =,no caso da matriz identidade.

3 Matemática II - 00/0 - Matrizes. Matriz triangular superior:. Matriz triangular inferior:. Matriz diagonal:. Matriz escalar: : : 0 0 h i. Matriz linha: Matriz coluna: 0 : : Operações com matrizes Transposição Se A = [a i;j ] mn é uma matriz de tipo m n; a sua transposta é a matriz A T = [b i;j ] nm de tipo n m tal que b i;j = a ji : Uma matriz quadrada diz-se simétrica se A T = A.. Se A =. A matriz A = 0, então A T = : é simétrica pois A = A T :

4 Matemática II - 00/0 - Matrizes Soma Se A = [a i;j ] mn e B = [b i;j ] nm são matrizes de tipo m n, de ne-se a matriz: A + B = [c i;j ] nm do mesmo tipo, onde c i;j = a i;j + b i;j : Se A = 0 e B = então A + B = 0 0 : Produto escalar Se A = [a i;j ] mn é uma matriz de tipo m n e é um número real, de ne-se a matriz: :A = [c i;j ] mn do mesmo tipo, onde c i;j = a i;j : Se A = 0 então A = 0 = 0 Produto Se A = [a i;j ] mq é uma matriz de tipo m q e B = [b i;j ] qn é uma matriz de tipo q n, de ne-se a matriz: qx A B = [c i;j ] mn de tipo m n, onde c i;j = a ik b kj = a i; b ;j + a i; b ;j + a i;q b q;j : k=. Se A =. Se A = 0 e B = e B = 0 ; então A B = então AB = e B A = 8 : : Observações:. No produto de matrizes omite-se habitualmente o sinal ; designando-se o produto da matriz A pela matriz B por AB:

5 Matemática II - 00/0 - Matrizes. Sejam Cj B a coluna j da matriz B; L A i a linha i da matriz A, Cj AB a coluna j da matriz AB e L AB i a linha i da matriz AB. Tem-se: (i) AC B j = C AB j (ii) L A i B = L AB i. O produto de matrizes não goza da propriedade comutativa. Dadas duas matrizes A e B, em geral não é possível efectuar os produtos AB e BA: Quando as duas matrizes são quadradas, da mesma ordem, é possível efectuar AB e BA; mas também não se veri ca a comutatividade (a não ser em alguns casos particulares), como se pode veri car com o exemplo acima. Propriedades Soma, produto escalar e transposição Se A; B e C são matrizes de tipo mn, O é a matriz nula do mesmo tipo e ; são números reais, veri cam-se:. A + B = B + A (comutatividade). (A + B) + C = A + (B + C) (associatividade). A + O = A (elemento neutro). A + ( A) = O (existência de simétricos). (A + B) = A + B. ( + ) A = A + A. (A) = () A 8. A = A. O = O 0. A T T = A. (A + B) T = A T + B T. (A) T = A T

6 Matemática II - 00/0 - Matrizes Produto Se A; B e C são matrizes, O é a matriz nula e é um número real então, sempre que os produtos estejam de nidos, veri cam-se:. (AB) C = A (BC) :. Se A é do tipo m n, então AO nn = O mn = O mm A:. Se A é do tipo m n, então AI n = A = I m A:. (A + B) C = AC + BC e A (B + C) = AB + AC:. (AB) = (A) B = A (B) :. (AB) T = B T A T :. Se A e B são matrizes diagonais, AB é uma matriz diagonal. 8. Se A e B são matrizes triangulares superiores, AB é uma matriz triangular superior.. Se A e B são matrizes triangulares inferiores, AB é uma matriz triangular inferior. Inversa de uma matriz Seja A uma matriz de ordem n. Se existe uma matriz X tal que AX = XA = I n ; diz-se que a matriz A é invertível; A matriz X diz-se a inversa de A e denota-se X = A. Se a matriz A é invertível, a sua inversa é única.. A matriz A = é invertível e a sua inversa é A = :. A matriz A = não é invertível: a b Considerando uma matriz arbitrária X = ; veri ca-se que a equação c d 8 a + c = a b 0 a + c b + d 0 >< b + d = 0 =, =, c d 0 a + c b + d 0 a + c = 0 >: b + d = é impossível.

7 Matemática II - 00/0 - Matrizes Propriedades Se A e B são matrizes invertíveis de ordem n, veri cam-se: (i) A é invertível e (A ) = A. (ii) AB é invertível e (AB) = B A. (iii) A T é invertível e A T = (A ) T : (iv) Se A é invertível e = 0 é um número real, então A é invertível e (A) = A. (v) Se A é diagonal, A é também diagonal. (vi) Se A é triangular, A é também triangular. Matriz em forma de escada Seja A = [a i;j ] mn uma matriz real de tipo m n: A matriz A está em forma de escada (ou em escada de linhas) se, para cada linha i f; ; :::; mg ; se veri ca: Caso A linha i é nula Então, para todo o r > i; a linha r é nula. Caso A linha i não é nula Se a is é o primeiro elemento não nulo da linha i (denominado o pivot); então para todo o l > i e para todo o c s; a lc = 0. A matriz A = [a i;j ] mn está na forma condensada (ou em escada de linhas reduzida) se está em forma de escada e, para cada linha i f; ; :::; mg se veri cam:. O pivot é a identidade;. Se a is é o pivot, então para todo o l < i; a ls = 0.. A matriz. A matriz está em forma de escada. está em forma condensada.

8 Matemática II - 00/0 - Matrizes 8 Operações elementares sobre as linhas de uma matriz Tipos de operações elementares Tipo I Trocar duas linhas; Tipo II Multiplicar uma linha por um escalar não nulo; Tipo III Somar a uma linha outra multiplicada por um escalar. Observação: Podem-se de nir operações elementares análogas sobre as colunas.. Tipo I: L $ L :. Tipo II: L :. Tipo III: L L + L 0 L L + L Teorema: Toda a matriz pode ser transformada, através de operações elementares, numa matriz em forma de escada. Teorema: Toda a matriz pode ser transformada, através de operações elementares, numa matriz condensada. Característica da matriz A característica de uma matriz A é o número de linhas não nulas de uma qualquer matriz em forma de escada que possa ser obtida de A através de operações elementares. A característica de uma matriz A abrevia-se por cara:

9 Matemática II - 00/0 - Matrizes. car =, pois por meio de operações elementares (ver exemplo anterior) obtém-se ; que está em forma de escada e tem duas linhas não nulas.. 8m; n N; caro mn = 0: (Só a matriz nula, de qualquer tipo, tem característica 0) Método de eliminação de Gauss Este método permite obter uma forma de escada ou a forma condensada de qualquer matriz. É de especial importância para a resolução de sistemas de equações lineares, que será estudada no capítulo seguinte Seja A = [a i;j ] uma matriz de tipo m n. a FASE - Eliminação descendente Esta fase permite obter uma matriz em forma de escada a partir da matriz inicial.. Efectuam-se as trocas de linhas necessárias (operação elementar de tipo I) de modo a que as primeiras k linhas da matriz sejam não nulas e as últimas m k linhas sejam nulas L $ L Faz-se a primeira escolha de pivot. Para isso escolhe-se um elemento da primeira coluna não nula. Se esse elemento estiver na primeira linha, passa-se ao passo três. Se não estiver na primeira linha, efectua-se uma troca de linhas de modo a que passe a estar na primeira linha.

10 Matemática II - 00/0 - Matrizes L $ L Utilizando o pivot escolhido anulam-se todos os outros elementos da coluna respectiva, efectuando operações elementares de tipo III L L L + L L + L 0. Se necessário repete-se o passo e, seguidamente, faz-se nova escolha de pivot, procurando, abaixo da linha a primeira coluna não nula e nesta escolhendo um elemento não nulo. Escolhido o pivot, repete-se o passo. 0 L L L + L L + L Repetem-se os passos anteriores, escolhendo sucessivos pivots, até a matriz estar em forma de escada L L + L 0 0

11 Matemática II - 00/0 - Matrizes. Quando a matriz está em forma de escada termina a eliminação descendente. a FASE - Normalização dos pivots. Na matriz em forma de escada obtida anteriormente, para cada pivot diferente de, multiplica-se a linha correspondente pelo inverso do pivot, isto é, sendo a is = um pivot situado na linha i, efectua-se: L i L i : a is (Com vista a obter uma forma condensada da matriz, esta fase do processo pode ser efectuada entre a fase descendente e a fase ascendente ou ao longo da eliminação ascendente, consoante for mais conveniente.) 0 0 L L L L 0 a FASE - Eliminação ascendente Estando a matriz em forma de escada, esta fase do método permite obter uma matriz em forma condensada. 8. Usando o último pivot anulam-se todos os elementos não nulos na coluna onde esse pivot esteja situado, efectuando operações elementares de tipo III... 0 L L + L L L + L O processo repete-se com os pivots seguintes (de baixo para cima), até a matriz estar em forma condensada.

12 Matemática II - 00/0 - Matrizes L L + L No nal da eliminação ascendente a matriz obtida encontra-se em forma condensada. Matrizes elementares Chama-se matriz elementar a uma matriz obtida a partir da matriz identidade por meio de uma operação elementar nas linhas. Há três tipos de matrizes elementares, de acordo com a operação elementar utilizada. Tipo I troca das linhas e de I : Tipo II multiplicação da linha de I por : Tipo III soma da linha de I ; multiplicada por ; à linha : Usando matrizes elementares, veri ca-se que cada operação elementar que se efectua numa matriz corresponde a efectuar um produto de uma matriz elementar por essa matriz, como se enuncia no seguinte teorema: Teorema Se E mm é uma matriz elementar e A mn é uma matriz qualquer, então a matriz EA é a matriz obtida de A efectuando a mesma operação elementar que foi utilizada para de nir E:

13 Matemática II - 00/0 - Matrizes Sejam A = e E a matriz elementar obtida de I adicionando à linha a 0 linha multiplicada por ; isto é I = Então A = 0 0 L L L 0 L L + L 0 = EA 0 0 = E Teorema Qualquer matriz elementar é invertível e a sua inversa é também uma matriz elementar. As inversas das matrizes elementares obtêm-se da seguinte forma: Tipo I- A inversa é a própria matriz. 0 0 = 0 0 : Tipo II- A inversa obtem-se substituindo o elemento eventualmente diferente de da diagonal pelo seu inverso = : Tipo III - A inversa obtem-se substituindo o elemento não diagonal diferente de zero pelo seu simétrico = 0 0 0

14 Matemática II - 00/0 - Matrizes Decomposição LU Foi visto que podemos transformar uma matriz numa matriz em forma de escada por meio de operações elementares nas linhas. Seja A uma matriz quadrada. Qualquer forma de escada obtida a partir dessa matriz é uma matriz triangular superior a que podemos chamar U (de upper triangular matrix). Pelo que foi visto atrás, U = E k E k Obtem-se: : : : E A, em que E ; : : : ; E k são matrizes elementares. A = E E : : : E U k Se nenhuma das operações elementares envolvidas for uma troca de linhas então E ; : : : ; E k são matrizes triangulares inferiores e, portanto, como as matrizes E; : : : ; E k são triangulares inferiores, a matriz L = E E : : : E k é também uma matriz triangular inferior a que chamamos L (de lower triangular matrix) e ca A = LU Podemos então concluir: Teorema Se A é uma matriz quadrada que pode ser reduzida a forma de escada por eliminação de Gauss, sem efectuar qualquer troca de linhas, então A pode ser factorizada na forma LU em que L é uma matriz triangular inferior, invertível, e U é uma matriz triangular superior. Decomposição LU da matriz A = 8 0 : Para efectuar a decomposição LU de uma matriz é preciso encontrar uma forma de escada dessa matriz, anotando as matrizes elementares associadas às operações elementares que se vão efectuando e calculando as respectivas inversas, cujo produto será a matriz L. As fases deste procedimento estão recolhidas na seguinte tabela:

15 Matemática II - 00/0 - Matrizes Redução de A à forma Matriz elementar associada Matriz inversa da de escada à operação elementar matriz elementar ? y L L E = ? E = 0 y L L + L 0? E y = 0 0 L L + L 0 0 0? E = 0 0 y L L + L Neste caso temos, então, U = 0 e E = E = E = E = L = E E E E = portanto 8 0 = 0 0 A: = é uma decomposição LU da matriz