Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares

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1 Capítulo 1 Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 1 / 37

2 Definições Equação linear Uma equação (algébrica) linear na incógnita x tem a forma ax = b onde o coeficiente a e o termo independente b são números reais (ou complexos) x : a : b : incógnita (ou variável) coeficiente termo independente ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 2 / 37

3 Definições Equação linear Uma equação (algébrica) linear nas incógnitas x 1,x 2,,x n tem a forma a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b ou n a j x j = b, j=1 onde os a 1,a 2,,a n e o termo independente b são números reais (ou complexos) x 1,x 2,,x n : a 1,a 2,,a n : b : incógnitas coeficientes termo independente ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 3 / 37

4 Definições Sistema de equações lineares Um sistema de m equações lineares e n incógnitas em R (ou C) é uma conjunção de m equações lineares nas mesmas n incógnitas: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 (1) a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m isto é, n a ij x j = b i, j=1 para i = 1,,m x j : a ij : b i : variáveis coeficientes termos independentes ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 4 / 37

5 Solução Uma solução do sistema (1) é uma sequência ordenada (α 1,,α n ) de números reais (ou complexos), tal que (1) é verdadeiro quando x 1 = α 1,,x n = α n Exemplo Considere o sistema de 2 equações lineares e 3 incógnitas em R: (2) { 2x y + z = 0 x + y z = 1 (1, 0, 2) é solução do sistema (2) ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 5 / 37

6 Nova representação de um sistema de equações a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n x 1 x 2 = b 1 b 2 a m1 a m2 a mn x n b m Ax = b ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 6 / 37

7 Exemplo O sistema { 2x y + z = 0 x + y z = 1 pode ser representado do seguinte modo: [ ] x y z = [ 0 1 ] ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 7 / 37

8 Matriz Uma matriz do tipo m n e de entradas reais (ou complexas) é um quadro de mn números reais (ou complexos) dispostos em m linhas e n colunas A = a 11 a 1j a 1n a i1 a ij a in a m1 a mj a mn Notação: A = [a ij ] ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 8 / 37

9 Entrada de uma matriz A = a 11 a 1j a 1n a i1 a ij a in a m1 a mj a mn Elemento ou entrada (i, j) ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 9 / 37

10 Linhas de uma matriz A = a 11 a 1j a 1n a i1 a ij a in a m1 a mj a mn Linha i ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 10 / 37

11 Colunas de uma matriz A = a 11 a 1j a 1n a i1 a ij a in a m1 a mj a mn Coluna j ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 11 / 37

12 Matriz nula [a ij ] é a matriz nula se a ij = 0, para i = 1,,m e j = 1,,n, ie, todas as entradas são nulas A matriz nula do tipo m n designa-se por 0 m n ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 12 / 37

13 Matriz coluna e matriz linha Matriz coluna: a 1 a m Matriz linha: [ a1 a n ] ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 13 / 37

14 Matrizes quadradas Uma matriz diz-se quadrada se o número de linhas é igual ao número de colunas a 11 a 1i a 1n a i1 a ii a in a n1 a ni a nn n diz-se a ordem da matriz ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 14 / 37

15 Matrizes quadradas A = a 11 a 1i a 1n a i1 a ii a in a n1 a ni a nn Diagonal principal de A: a 11,a 22,,a nn O traço de A, tra, é a soma de todas as entradas da diagonal principal ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 15 / 37

16 Matriz triangular inferior Uma matriz quadrada A = [a ij ] diz-se triangular inferior se a ij = 0 para i < j a 11 0 a i1 a ii a n1 a ni a nn ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 16 / 37

17 Matriz triangular superior Uma matriz quadrada A = [a ij ] diz-se triangular superior se a ij = 0 para i > j a 11 a 1i a 1n a ii a in 0 a nn ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 17 / 37

18 Matriz diagonal Uma matriz quadrada A = [a ij ] diz-se diagonal se a ij = 0 para i j A = a a ii a nn Se todas as entradas da diagonal principal forem iguais, diremos que a matriz é escalar ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 18 / 37

19 Matriz identidade A matriz diagonal de ordem n cujas entradas da diagonal principal são iguais a 1 designa-se por matriz identidade (de ordem n) I n = ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 19 / 37

20 Igualdade de matrizes Duas matrizes A = [a ij ] e B = [b ij ], do tipo m n, dizem-se iguais se a ij = b ij, para i = 1,,m e j = 1,,n Nestas condições, escrevemos A = B ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 20 / 37

21 Operações com matrizes Adição de matrizes Se duas matrizes A = [a ij ] e B = [b ij ] forem do mesmo tipo m n, então a soma A + B é a matriz do tipo m n cuja entrada (i,j) é para i = 1,,m e j = 1,,n a ij + b ij, ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 21 / 37

22 Propriedades da adição de matrizes A,B,C (m n), (A + B) + C = A + (B + C) A,B (m n), A + B = B + A A (m n), A + 0 m n = A A = [a ij ] (m n), A = [ a ij ] (m n), A + A = 0 m n ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 22 / 37

23 Multiplicação de um número por uma matriz O produto de um número (real ou complexo) α por uma matriz A = [a ij ] do tipo m n é a matriz igualmente do tipo m n tal que a entrada (i,j) é para i = 1,,m e j = 1,,n αa ij, Nestas condições, usamos a seguinte notação: αa ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 23 / 37

24 Propriedades do produto de um número por uma matriz α,β, A, (αβ)a = α(βa) α, A,B, α(a + B) = αa + αb α,β, A, (α + β)a = αa + βa A, 1A = A ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 24 / 37

25 Multiplicação de matrizes O produto de A = [a ij ], do tipo m n, por B = [b ij ], do tipo n p é a matriz do tipo m p, tal que a entrada (i,j) é definida por n a iq b qj, q=1 para i = 1,,m e j = 1,,p Notação para o produto de A por B: AB ou A B ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 25 / 37

26 Multiplicação de matrizes c ij = n a iq b qj q=1 = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj b 1j = [ ] b 2j a i1 a i2 a in b nj = (linha i de A) (coluna j de B) ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 26 / 37

27 Propriedades do produto de matrizes A (m n), B (n p), C (p r), (AB)C = A(BC) A,B (m n), C (n p), (A + B)C = AC + BC A (m n), B,C (n p), A(B + C) = AB + AC A (m n), B (n p), α, α(ab) = (αa)b = A(αB) A (m n), A0 n p = 0 m p, 0 p m A = 0 p n A (m n), AI n = A, I m A = A ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 27 / 37

28 OBSERVAÇÃO: A MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES NÃO É COMUTATIVA!! AS LEIS DO ANULAMENTO DO PRODUTO EM MATRIZES NÃO SÃO VÁLIDAS!! ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 28 / 37

29 Transposta de uma matriz A transposta de uma matriz A do tipo m n, A T, é uma matriz do tipo n m cujas linhas são as colunas de A pela mesma ordem Exemplo A = [ /2 ] A T = /2 Se A = A T, então diremos que A é simétrica Se A = A T, então diremos que A é anti-simétrica ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 29 / 37

30 Propriedades da transposição Considere as matrizes A,B do tipo m n, e C do tipo n p, e um número α (A T ) T = A (A + B) T = A T + B T (AC) T = C T A T (αa) T = αa T ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 30 / 37

31 Matrizes invertíveis Inversa de uma matriz Uma matriz quadrada A, de ordem n, é invertível se existir uma matriz quadrada B, de ordem n, tal que AB = BA = I n Exemplo Uma inversa de é [ ? ] ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 31 / 37

32 Propriedades da inversa de uma matriz Se A é invertível, então a inversa é única e denota-se por A 1 Se A e B são matrizes invertíveis, então AB é uma matriz invertível e (AB) 1 = B 1 A 1 Se A é invertível, então (A T ) 1 = (A 1 ) T Se A é invertível e k é um número inteiro, então (A k ) 1 = (A 1 ) k Se A é invertível e α é um escalar não-nulo, então (αa) 1 = 1 α A 1 ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 32 / 37

33 Matrizes elementares Chama-se matriz elementar de ordem m a toda a matriz que se obtém de I m por aplicação de uma operação elementar às respectivas linhas, ie I Troca entre si de duas linhas II Multiplicação de todos os elementos de uma linha por um número diferente de zero III Substituição de uma linha pela soma dessa linha com um múltiplo de outra ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 33 / 37

34 Matrizes elementares do tipo I Para i,j {1,,m}, com i j, P ij é a matriz que resulta de I m trocando entre si a linha i com a linha j Exemplos P 12 = = P 21 ; P 24 = = P 42 Seja A m n P il A é a matriz que se obtém de A trocando a linha i com a linha j Teorema (P ij ) 1 = P ij ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 34 / 37

35 Matrizes elementares do tipo II Para i {1,,m} e α um escalar não nulo, D i (α) é a matriz que se obtém de I m multiplicando a linha i por α Exemplos D 2 (7) = ; D 3 (9) = Seja A m n D i (α)a é a matriz que se obtém de A multiplicando a linha i por α Teorema (D i (α)) 1 = D i (α 1 ) ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 35 / 37

36 Matrizes elementares do tipo III Para i,j {1,,m}, com i j, e α um escalar, E ij (α) é a matriz que se obtém de I m substituindo a linha i pela soma da linha i com a linha j previamente multiplicada por α Exemplos E 24 ( 4) = ; E 31(1/2) = / Seja A m n E ij (α)a é a matriz que se obtém de A adicionando à linha i a linha j previamente multiplicada por α Teorema (E ij (α)) 1 = E ij ( α) ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 36 / 37

37 Observações Se E for uma matriz elementar, EA é a matriz que se obtém de A aplicando-lhe às linhas as mesmas operações elementares que foram aplicadas às linhas de I m para obter E Resultado análogo é válido para o produto AE, reflectindo-se agora o efeito da multiplicação nas colunas de A: AE é a matriz obtida de A aplicando-lhe às colunas as mesmas operações elementares que foram aplicadas às colunas de I n para obter E ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 37 / 37