Capítulo 1 - Cálculo Matricial

Transcrição

1 Capítulo 1 - Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática I - 1 o Semestre 2011/2012 Matemática I 1/ 34 DeMat-ESTiG

2 Sumário Cálculo Vectorial Grandezas Vectoriais Operações com Vectores Produto Escalar Introdução Adição de Matrizes Multiplicação por um Escalar Transposta de uma matriz Multiplicação de Matrizes Matrizes Especiais Matemática I 2/ 34 DeMat-ESTiG

3 Grandezas Vectoriais Grandezas escalares e vectoriais Grandezas físicas escalares: massa, energia, volume... Escalares: quantidades que são descritas completamente por um só número (real ou complexo) Grandezas físicas vectoriais: velocidade, força, aceleração... Vectores: caracterizam-se pela sua dimensão, direcção e sentido Exemplos: Matemática I 3/ 34 DeMat-ESTiG

4 Grandezas Vectoriais Representação de um vector Sequência de escalares em linha [v 1 v 2...v n ] ou coluna v 1 v 2. Cada escalar corresponde a uma coordenada ou componente num referencial cartesiano Exemplos: v = [x y] IR 2 e u = [x y z] IR 3 v n y v z u 0 x 0 y Matemática I 4/ 34 DeMat-ESTiG x

5 Operações com Vectores Adição de Vectores Seja v = [v 1 v 2...v n ] e v = [u 1 u 2...u n ] dois vectores de IR n Adição: v + u = [v 1 + u 1 v 2 + u 2...v n + u n ] IR n Subtracção: v u = [v 1 u 1 v 2 u 2...v n u n ] IR n Geometricamente: v v-u v+u u Matemática I 5/ 34 DeMat-ESTiG

6 Operações com Vectores Multiplicação por um escalar Multiplicação por um escalar: se α IR\ {0}, αv = vα IR n Direcção de αv é igual à de v Sentido de αv é igual ao de v se α > 0 Sentido de αv é contrário ao de v se α < 0 Dimensão de αv é maior do que a de v se α > 1 Dimensão de αv é menor do que a de v se α < 1 Matemática I 6/ 34 DeMat-ESTiG

7 Operações com Vectores Propriedade Sejam u, v e w vectores arbitrários de IR n ; sejam α e β dois escalares arbitrários reais, então u + v IR n : 1. u + v = v + u 2. u + (v + w) = (v + u) + w 3. Existe um vector 0 em IR n tal que u + 0 = 0 + u = u para todo o u IR n 4. Existe um vector u em IR n tal que u + ( u) = ( u) + u = 0 para todo o u IR n αu IR n (IR n é fechado em relação à multiplicação por um escalar) 1. α(u + v) = αv + αu 2. (α + β)u = αu + βu 3. α(βu) = (αβ)u 4. 1u = u Matemática I 7/ 34 DeMat-ESTiG

8 Produto Escalar Produto Escalar Seja v = [v 1 v 2...v n ] e u = [u 1 u 2...u n ] dois vectores de IR n Vector transposto de u, representado por u T u 2, é. Produto escalar (ou interno) de v por u é dado por u 1 vu T u 2 = [v 1 v 2...v n ].. = v 1u 1 + v 2 u v n u n u n u 1 u n Matemática I 8/ 34 DeMat-ESTiG

9 Produto Escalar Propriedades do Produto Escalar Se u, v e w são vectores linha em IR n e α é um escalar, então: 1. u.u T > 0 para todo u 0, u.u T = 0 se e só se u = 0 2. u.v T = v.u T 3. (u + v).w T = u.w T + v.w T 4. (αu).v T = u.(αv T ) = α(u.v T ) Norma do vector v representa o seu comprimento (magnitude), é dada por v = v1 2 + v v n 2 = vv T Como v = vv T obtemos que vv T = v 2 Matemática I 9/ 34 DeMat-ESTiG

10 Produto Escalar u v 2 = u 2 sin(θ) 2 + ( v w ) 2 = u 2 sin(θ) 2 + ( v u cos(θ)) 2 = u 2 sin(θ) 2 + v 2 2 u v cos(θ) + u 2 cos(θ) 2 = u 2 ( sin(θ) 2 + cos(θ) 2) + v 2 2 u v cos(θ) = u 2 + v 2 2 u v cos(θ) u u v 2 = (u v) (u v) T = uu T uv T vu T + vv T = u 2 + v 2 2uv T u 2 + v 2 2 u v cos(θ) = u 2 + v 2 2uv T uv T = u v cos(θ) w u-v v cos(θ) = uvt u v Matemática I 10/ 34 DeMat-ESTiG

11 Produto Escalar Projecção de um Vector Componente de um vector v sobre um vector u é dada por C u (v) = v cos(θ), com θ = (v, u) (0 θ π) Vector projecção de v sobre um vector u é dada por proj u (v) = C u (v) u u v Proj(v) u Matemática I 11/ 34 DeMat-ESTiG

12 Produto Escalar Produto Escalar, continuação Prova-se que v.u T = v u cos(θ), isto é, v.u T = C u (v) u v.u T representa o produto da componente de v sobre u, vezes a norma de u; se u for unitário v.u T representa apenas a componente de v sobre u vu T = 0 se u e v forem ortogonais (perpendiculares) Matemática I 12/ 34 DeMat-ESTiG

13 Produto Escalar Exercício 1 Seja v = [2 2 1] e u = [2 0 1] dois vectores de IR 3 1. Calcule v.u T 2. Calcule v e u 3. Calcule a componente de v sobre u 4. Calcule o vector projecção de v sobre u 5. Obtenha um vector ortogonal a u Matemática I 13/ 34 DeMat-ESTiG

14 Introdução Matrizes Um arranjo rectangular de m n escalares (reais ou complexos) distribuídos por linhas ou colunas designa-se matriz de ordem (ou do tipo) m n: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = } a m1 a m2 {{ a mn } n colunas m linhas Matemática I 14/ 34 DeMat-ESTiG

15 Introdução Elementos de um Matrizes Os números a 11, a 12,...,a mn são designados por elementos (ou entradas) da matriz A Matriz A = [a ij ], i = 1, 2,..., m e j = 1, 2,..., n. linha i... a ij.... coluna j Matriz é um conjunto de vectores linha ou coluna, um vector é uma matriz linha ou coluna Matemática I 15/ 34 DeMat-ESTiG

16 Introdução Matrizes Quadradas Matriz quadrada: número de linhas igual ao número de colunas Elementos a 11, a 22,..., a nn de uma matriz quadrada de ordem n formam a chamada diagonal principal, se todos os elementos são nulos fora da diagonal principal temos uma matriz diagonal Exemplos de matrizes quadradas: B = D = Matemática I 16/ 34 DeMat-ESTiG

17 Introdução Igualdade de Matrizes Dadas as matrizes A = [a ij ] com i = 1,..., p e j = 1,..., q e B = [b ij ], com i = 1,..., m e j = 1,..., n, dir-se-ão iguais se, e só se: 1. A e B tiverem o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas (p = m e q = n) 2. Se todos os elementos correspondentes das duas matrizes forem iguais, isto é, a ij = b ij para todos i = 1,..., m e j = 1,..., n. Então podemos escrever A = B Matemática I 17/ 34 DeMat-ESTiG

18 Adição de Matrizes Adição (ou subtracção) de Matrizes Se A = [a ij ] e B = [b ij ] com i = 1, 2,..., m e j = 1, 2,..., n define-se a matriz soma destas duas matrizes como sendo a matriz C = [c ij ] de ordem m n cujos elementos são dados por: c ij = a ij + b ij para i = 1, 2,..., m e j = 1, 2,..., n Podemos então escrever que C = A + B Da mesma forma a subtracção de A por B resulta numa matriz C = [c ij ] de ordem m n cujos elementos são dados por: c ij = a ij b ij para i = 1, 2,..., m e j = 1, 2,..., n Podemos então escrever que C = A B Matemática I 18/ 34 DeMat-ESTiG

19 Adição de Matrizes Adição e Subtracção de Matrizes, Exemplo Sejam A = e B = Se chamarmos C à soma das matrizes A e B, então 1 + ( 4) ( 2) C = A+B = = Se chamarmos D à subtracção das matrizes A e B, então 1 ( 4) ( 2) D = A B = = Matemática I 19/ 34 DeMat-ESTiG

20 Adição de Matrizes Propriedades da Adição de Matrizes Se as matrizes A, B e C tiverem dimensões m n, verifica-se: A + B = B + A A + (B + C) = (A + B) + C Existe uma única matriz 0, chamada matriz nula, com as mesmas dimensões de A tal que A + 0 = A Existe uma única matriz B, representada por A, com as mesmas dimensões de A tal que A + B = 0 Matemática I 20/ 34 DeMat-ESTiG

21 Multiplicação por um Escalar Multiplicação de uma Matrizes por um Escalar A multiplicação de uma matriz A = [a ij ], de dimensão m n, por um escalar α é definida pela matriz B = [b ij ], de dimensão m n, obrida multiplicado cada elemento da matriz pelo escalar: b ij = αa ij, para i = 1,..., m e j = 1,..., n Diz-se que a matriz B é um múltiplo escalar da matriz A 5 3 Exemplo: o produto da matriz A = 0 2 pelo escalar é dado por 2A = ( 2)5 ( 2)( 3) ( 2)0 ( 2)( 2) = ( 2)3 ( 2)0 6 0 Matemática I 21/ 34 DeMat-ESTiG

22 Multiplicação por um Escalar Propriedades da Multiplicação por um Escalar Seja A uma matriz m n e α e β dois escalares (reais ou complexos), verifica-se: α(βa) = (αβ)a (α + β)a = αa + βa α(a + B) = αa + αb Matemática I 22/ 34 DeMat-ESTiG

23 Transposta de uma matriz Transposta de uma matriz Se A é uma matriz [a ij ], de dimensão m n, então a matriz A T = [a ji ] para j = 1,..., n e i = 1,..., m é chamada de transposta de A Exemplo: sejam A = [ A T = ] e B T = e B = Propriedades: (A T ) T = A e (A + B) T = A T + B T Matemática I 23/ 34 DeMat-ESTiG

24 Transposta de uma matriz Transposta de uma Matriz Complexa Se A é uma matriz complexa [a ij ], de dimensão m n, define-se a sua conjugada A = [a ij ] para i = 1,..., m e j = 1,..., n Se A é uma matriz complexa [a ij ], de dimensão m n, define-se a sua transposta-conjugada A H = A T = [a ji ] para j = 1,..., n e i = 1,..., m 5 + 2i 3i Exemplo: sejam A = 4 + i 2 8i i 5 2i 3i [ A = 4 i 2 + 8i 5 2i 4 i 3 e A H = 3i 2 + 8i 1 2i 3 1 2i Propriedades: (A H ) H = A e (A + B) H = A H + B H ] Matemática I 24/ 34 DeMat-ESTiG

25 Multiplicação de Matrizes Multiplicação de Matrizes Se A é uma matriz [a ij ], de dimensão m p, e B = [b ij ], de dimensão p n então o produto de A por B, denotado de AB, é a matriz C = [C ij ], de dimensão m n definida por c ij = a i1 b 1j +a i2 b 2j +...+a ip b pj = p a ik b kj, i = 1,..., m e j = 1,..., n k=1 c ij é o produto escalar do vector linha i de A pelo vector coluna j de B Matemática I 25/ 34 DeMat-ESTiG

26 Multiplicação de Matrizes Multiplicação de Matrizes, continuação AB = a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p b 11 a 12 b 1j b 1n... b 21 a 22 b 2j b 2n a i1 a i2 a ip b p1 a p2 b pj b pn a m1 a m2 a mp c 11 c 12 c 1n c 21 c 22 c 2n =.. c ij. = C c m1 c m2 c mn Matemática I 26/ 34 DeMat-ESTiG

27 Multiplicação de Matrizes Multiplicação de Matrizes, continuação Número de colunas de A tem de ser igual ao número de linhas de B Número de linhas de AB é igual ao número de linhas de A e número de colunas de AB é igual ao número de colunas de B A B AB {}}{{}}{{}}{ m p p n = m n Matemática I 27/ 34 DeMat-ESTiG

28 Multiplicação de Matrizes Multiplicação de Matrizes, exemplo Multiplique as seguintes matrizes: Sejam A = B = [ AB = ] e (5)(3) + ( 3)(2) (5)( 3) + ( 3)( 2) (5)(1) + ( 3)(2) (0)(3) + ( 2)(2) (0)( 3) + ( 2)( 2) (0)(1) + ( 2)(2) (3)(3) + (0)(2) (3)( 3) + (0)( 2) (3)(1) + (0)(2) = = Matemática I 28/ 34 DeMat-ESTiG

29 Multiplicação de Matrizes Propriedades da Multiplicação de Matrizes Seja A uma matriz m p, B e C duas matrizes com a mesma dimensão p n e α um escalar: A(BC) = (AB)C A(B + C) = AB + AC α(ab) = (αa)b = A(αB) (AB) T = B T A T (αa) T = αa T Matemática I 29/ 34 DeMat-ESTiG

30 Matrizes Especiais Matrizes Especiais A é simétrica se A = A T A é hermitiana se A = A H A é normal se AA T = A T A A é unitária se AA H = A H A Matemática I 30/ 34 DeMat-ESTiG

31 Matrizes Especiais Matrizes Identidade O produto de matrizes não é comutativo em geral (AB BA), mas apenas em particular para algumas matrizes especiais Se A for uma matriz quadrada, n n, e existir uma matriz B, com a mesma dimensão, tal que AB = BA = A, diz-se que B é a identidade de A e é representada por I I = Matemática I 31/ 34 DeMat-ESTiG

32 Matrizes Especiais Matriz Inversa Se A for uma matriz quadrada, n n, e existir uma matriz B, com a mesma dimensão, tal que AB = BA = I, diz-se que B é a inversa de A (ou vice-versa) e é representada por A 1 Sejam as matrizes A = [ ] e B = [ [ (2)( 1) + (3)(1) (2)( 3 AB = 2 ) + (3)( 1) ] (2)( 1) + (2)(1) (2)( 3 2 ) + (2)( 1) = ] [ Como AB = I podemos afirmar que B = A 1 (B é inversa de A) ou que A = B 1 (A é inversa de B) ] Matemática I 32/ 34 DeMat-ESTiG

33 Matrizes Especiais Matriz Ortogonal Se A for uma matriz quadrada, n n, e se verificar AA T = A T A = I, diz-se que A é ortogonal [ 4 ] 3 Seja a matriz A = 5 5 Como AA T = [ ] [ 4 5 podemos afirmar que A é ortogonal ] = [ ] Matemática I 33/ 34 DeMat-ESTiG

34 Matrizes Especiais Bibliografia Bernard Kolman, "Introdução à Álgebra Linear com Aplicações", Prentice-Hall do Brasil, 1998 Eduardo J.C. Martinho, J. da Costa Oliveira e M. Amaral Fortes, "Matemática para o Estudo da Física". Fundação Calouste Gulbenkian, Matemática I 34/ 34 DeMat-ESTiG