Matemática Computacional

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Kevin Mendonça Pinhal
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1 Matemática Computacional Ed. v1.0 i

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3 Sumário 1 Estudo da Álgebra Matricial Definições básicas Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes iii

4 Prefácio texto Público alvo estudantes Método de Elaboração Financiamento da capes. Contribuição Erros e etc. iv

5 Capítulo 1 Estudo da Álgebra Matricial Neste capítulo estudaremos as matrizes e algumas operações algebraicas definidas entre elas. Embora somente, neste livro, trabalhemos com números, vetores e matrizes reais, existe o conjunto dos números complexos C, no qual todos estes conceitos são generalizados. 1.1 Definições básicas uma matriz sobre R, ou simplesmente uma matriz real é uma ordenação retangular da forma: a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn onde a i j R para todo i {1,2,...,m} e j {1,2,...,n}. i. Uma matriz também é denota por [a i j m n. ii. As m n-uplas horizontais [ a11, a 12,..., a 1n, [ a21, a 22,..., a 2n,..., [ am1, a m2,..., a mn são as linhas da matriz; iii. As n m-uplas verticais são suas colunas. a 11 a 21. a m1, a 12 a 22. a m2,..., iv. O elemento a i j é chamado de componente i j, ocupa a i-esima linha e a j-esima coluna; v. Uma matriz com m linhas e n colunas é denominada uma matriz m por n, ou matriz m n. a 1n a 2n. a mn 1 / 7

6 Exemplo 1.1 A matriz 2 3: [ tem 2 linhas: [ e tem 3 colunas: [ 1, 5 e [ 2 4 [ e [ 3 0 Nota As matrizes geralmente são denotadas por letras maiúsculas A,B,..., e suas componentes por letras minúsculas. Sejam as matrizes m n: A e B. Diz-se que A e B são iguais, isto é A B, se têm o mesmo número de linhas e de colunas, e seus elementos correspondentes são iguais. Nota A igualdade de duas matrizes m n é equivalente a um sistema de mn igualdades, uma para cada par de elementos. Exemplo 1.2 Determinemos x, y, z e w tal que [ x + y 2z + w x y z w [ Solução Desde que é equivalente ao sistema de equações: [ x + y 2z + w x y z w x + y 3 x y 1 2z + w 5 z w 4 [ Então, x 2, y 1, z 3 e w 1. 2 / 7

7 1.2 Tipos especiais de matrizes Ao manipular as matrizes, notamos que existem algumas que possuem características que as diferenciam de uma matriz qualquer, já seja pela quantidade de lihnas ou colunas, ou pela natureza das componentes. Desde que este tipo de matrizes aparecem com frequência na prática, elas recebem nomes especiais. Consideremos uma matriz com m linhas e n colunas, denotada por A m n. Diz-se que: i. A m n é uma matriz quadrada, se o número de colunas conincide com o número de linhas, isto é n m. Exemplo 1.3 Exemplo 1.4 Exemplo 1.5 Exemplo 1.6 Exemplo 1.7 A 1 1 [ 2, B 2 2 [ 3 5, C Na situação das matrizes quadradas A m m, diz-se que A é uma matriz de ordem m. ii. A m n é um matriz nula, se a i j 0 para todo i {1,...,m} e j {1,...,n}. A 1 2 [ 0 0, B 2 2 [ , C iii. A m n é um matriz coluna, se ela possui uma única coluna, isto é, n 1. A 2 1 [ 1, B , C iv. A m n é um matriz linha, se ela que possui uma única linha, isto é, m 1. A 1 2 [ 1 0, B 1 3 [ 0 2 1, C 1 4 [ v. A m n é um matriz diagonal, se ela é uma matriz quadrada, m n, com a i j 0 para i j, isto é, os elementos que não estão na diagonal são nulos. A 2 2 [ , B , C vi. A m n é um matriz identidade, se ela é uma matriz diagonal e a ii 1 3 / 7

8 Exemplo 1.8 I 2 [ 1 0, I , I Exemplo 1.9 vii. A m n é uma matriz triangular superior, se ela é uma matriz quadrada e todos os elementos abaixo da diagonal são nulos, isto é, a i j 0 para i > j. A 2 2 [ 2 3, B , C viii. A m n é uma matriz triangular inferior, se ela é uma matriz quadrada e todos os elementos acima da diagonal são nulos, isto é, a i j 0 para i < j. Exemplo 1.10 Exemplo 1.11 A 2 2 [ , B , C ix. A m n é uma matriz simétrica, se ela é uma matriz quadrada e a i j a ji para todo i, j {1,...,m}. A 2 2 [ , B , C Operações com matrizes De forma natural, quando trabalhamos com matrizes, surge a necessidade de saber operar com elas. Sejam duas matrizes de mesma ordem A m n [ a i j e Bm n [ b i j, a matriz soma, que denotaremos A + B, é uma matriz m n cujos elementos são as somas dos elementos correspondentes de A e B. Isto é A + B [ a i j + b i j m n 4 / 7

9 Exemplo 1.12 [ [ [ Note que a adição de matrizes possui as mesmas propriedades que a adição de números reais. Propriedades Sejam as matrizes A, B, C da mesma ordem m n, temos: i. A + B B + A; ii. A + (B +C) (A + B) +C; iii. A + 0 A, onde 0 denota a matriz nula m n. Seja A m n [ a i j e α um número. A multiplicação por escalar, que denotaremos α A, define uma nova matriz cujos elementos são αa [ αa i j m n Exemplo [ [ Propriedades Dadas matrizes A e B de mesma ordem m n e números α,β e γ, temos: i. α(a + B) αa + αb; ii. (β + γ)a βa + γa; iii. 0A 0, isto é, se multiplicamos o número zero por qualquer matriz A, teremos a matriz nula. iv. β(γa) (βγ)a. Nas aplicações, é conveniente considerar as linhas de uma matriz como colunas de uma nova matriz. Dada um matriz A [ a i j m n, podemos obter uma outra matriz AT [ b i j, cujas linhas n m são as colunas de A, isto é, b i j a ji. A T é denominada a transposta de A. 5 / 7

10 Exemplo A [ 1 7 B [ A T [ B T C [ C T Propriedades i. Uma matriz é simétrica se, e somente se ela é igual à sua transposta, isto é A A T ; ii. (A T ) T A; iii. (A + B) T A T + B T ; iv. (αa) T αa T, onde α é qualquer número real. A multiplicação de duas matrizes A m n [ a i j e Bn p [ a i j, é uma matriz m p, que denotaremos AB [ c i j m p, onde c i j n a ik b k j a i1 b 1 j + a i2 b 2 j + + a in b n j. k1 Nota a. Só podemos efetuar o produto de duas matrizes A m n e B l p se o número de colunas da primeira matriz A for igual ao número de linhas da matriz B, isto é n l. Alem disso, a matriz resultante C AB será de ordem m p. b. O elemento c i j, i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz produto, é obtida multiplicando os elementos da i-ésima linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da segunda matriz, e somando estes produtos. Exemplo a. Seja A AB e B [ 1 3. Então [ 1(1) + 7(0) 1(3) + 7( 1) 1 3 3(1) + 0(0) 3(3) + 0( 1) (1) + ( 2)(0) 2(3) + ( 2)( 1) / 7

11 b. Seja A [ e B AB [ Então, não é possivel efetuar devido a que o número de colunas da matriz A é diferente ao número de linhas da matriz B c. Seja A e B 0 1. Então AB 4 3 1(1) + 7(0) + 3(7) 1(3) + 7( 1) + 3(2) 1(1) + 0(0) + 3(7) 1(3) + 0( 1) + 3(2) 2(1) + ( 2)(0) + ( 2)(7) 2(3) + ( 2)( 1) + ( 2)(2) 1(1) + 0(0) + 0(7) 1(3) + 0( 1) + 0(2) Propriedades i. Em geral AB BA. Exemplo Seja A e B AB Obtemos Além disso observe que BA 0 sem que A 0 ou B e BA Desde que as operações sejam possíveis, as seguintes propriedades são validas: i. AI IA A; ii. A(B +C) AB + AC; iii. (A + B)C AC + BC; iv. (AB)C A(BC); v. (AB) T B T A T ; vi. 0A 0 e A / 7

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