Avaliação e programa de Álgebra Linear

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1 Avaliação e programa de Álgebra Linear o Teste ( de Março): Sistemas de equações lineares e matrizes. Espaços lineares. o Teste ( de Maio): Matriz de mudança de base. Transformações lineares. o Teste ( de Junho): Determinantes. Valores próprios e vectores próprios. Diagonalização. Produtos internos. Ortogonalização. Aplicações. Teste de Recuperação ( de Junho): T+T ou T ou Exame Horários para esclarecimento de dúvidas: a e a feiras às 0:0; a feiras às :0 Local: sala P no Piso do Pavilhão de Matemática

2 De nição Equação linear a uma variável x ax = b Equação linear a n variáveis x ; :::; x n a x + ::: + a n x n = b Sistema de m equações lineares a n variáveis x ; :::; x n 8 a x + ::: + a n x n = b >< a x + ::: + a n x n = b : : : >: a m x + ::: + a mn x n = b m

3 Sistema de equações lineares 8 >< a x + ::: + a n x n = b : : : >: a m x + ::: + a mn x n = b m Matriz dos coe cientes do sistema: A = a a n.. a m a mn Matriz dos termos independentes do sistema: B = b. b m Matriz aumentada do sistema: [A j B] = a a n j b.... a m a mn j b m

4 Observação As operações elementares E i $ E j E i! E i = 0 E i + E j! E j aplicadas ao sistema 8 >< >: a x + ::: + a n x n = b : : : a m x + ::: + a mn x n = b m correspondem às operações elementares L i $ L j L i! L i = 0 L i + L j! L j aplicadas à matriz aumentada [A j B]

5 De nição Uma matriz diz-se em escada de linhas se: (i) Todas as linhas nulas (formadas inteiramente por zeros) estão por baixo das linhas não nulas; (ii) Por baixo (e na mesma coluna) do primeiro elemento não nulo de cada linha e por baixo dos elementos nulos anteriores da mesma linha, todas as entradas são nulas. Esse primeiro elemento não nulo de cada linha tem o nome de pivot. Exemplos de matrizes em escada de linhas = p

6 Método de eliminação de Gauss Objectivo: permitir classi car e resolver sistemas de equações lineares Execução: uso sucessivo das operações elementares L i $ L j L i + L j! L j com i < j necessárias à transformação da matriz aumentada inicial [A j B] numa matriz em escada de linhas equivalente, ou seja, correspondente ao um sistema equivalente (que tenha o mesmo conjunto solução) ao sistema inicial.

7 Exemplos de matrizes em escada de linhas = p Exemplos de matrizes em escada reduzida de linhas

8 De nição Matrizes em escada reduzida de linhas são matrizes em escada de linhas em que: (i) Os pivots são todos iguais a (ii) Todas as colunas que contêm os pivots, têm todas as restantes entradas iguais a 0, com excepção desses pivots.

9 Teorema Sendo A uma matriz qualquer do tipo m n e sendo B e C duas matrizes em escada reduzida de linhas obtidas de A então tem-se B = C. Existe um única matriz em escada reduzida de linhas obtida de A (por aplicação do Método de eliminação de Gauss). Suponhamos que B = C Por exemplo B = C = Então B 0 = C 0 =

10 Em geral: B 0 = Irr j b 0 O j 0 ou B 0 = I rr j 0 j O j 0 j. j 0 C 0 = Irr j c 0 O j 0 ou C 0 = I rr j 0 j O j 0 j. j 0 Como os sistemas correspondentes a B 0 e a C 0 são equivalentes (têm o mesmo conjunto solução) então: ou b 0 = c 0 e ambos têm a mesma solução única ou são ambos impossíveis. Logo B 0 = C 0 o que é uma contradição.

11 Observação (i) O n o de pivots de uma qualquer matriz em escada de linhas obtida de A é igual ao n o de pivots da matriz em escada reduzida de linhas obtida de A: (ii) O n o de colunas sem pivot de uma qualquer matriz em escada de linhas obtida de A é igual ao n o de colunas sem pivot da matriz em escada reduzida de linhas obtida de A: De nição Chama-se característica de A (car A) ao n o de pivots de uma matriz em escada de linhas obtida de A. Chama-se nulidade de A (nul A) ao n o de colunas sem pivot de uma matriz em escada de linhas obtida de A.

12 Observação (i) car A = n o de linhas não nulas da matriz em escada obtida de A (ii) 0 car A min fm; ng car A + nul A = n

13 Exemplos A = 0 0 Pivots de A: ; car A =, nul A = B = Pivots de B: e ; car B =, nul B = C = = p Pivots de C:, e ; car C =, nul C =

14 Observação Seja A a matriz (do tipo m n) dos coe cientes de um sistema. Seja [A j B] a matriz aumentada desse sistema. (i) n o de colunas de A = n o total de variáveis do sistema = n (ii) car A = n o de pivots da matriz em escada obtida de A = n o de incógnitas não livres = n o de linhas não nulas da matriz em escada obtida de A (iii) nul A = n o de colunas sem pivots = n o de incógnitas livres = grau de indeterminação do sistema

15 Exemplo de sistema possível e determinado j 0 0 j 0 0 j Exemplo de sistema possível e indeterminado 0 j j 0 Exemplo de sistema impossível = 0 j p j j j 0

16 Teorema A m n Se car A = car [A j B] = n então o sistema é possível e determinado (tem uma única solução). Se car A = car [A j B] < n então o sistema é possível e indeterminado (tem mais do que uma solução). Se car A < car [A j B] então o sistema é impossível (não tem solução). Observação Segue-se a resolução do sistema pelo método de substituição

17 Exemplo 8 >< >: x + z = x + y + z = y + z =?, 0 0 x y z = 0 j j 0 j! ( )L +L!L! L +L!L 0 j 0 j 0 0 j 0 j 0 j 0 j car A = car [A j B] = = n (n o total de variáveis), o sistema diz-se possível e determinado (solução única). 8 >< x + z = y + z =, >: z = >: Conjunto solução ou solução geral: CS = f(; ; )g R 8 >< x = y = z =

18 Exemplo! L $L L!L! L +L!L j 0 0 j j! L +L!L j 8 j j j 0 0 j j!! j 0 0 j j 0! car A = car [A j B] = < = n, o sistema diz-se possível e indeterminado (mais do que uma solução). ( ( x + y z + w = x = y w, z + w = z = w + Conjunto solução ou solução geral: CS = f( y w ; y; w + ; w) : y; w Rg R

19 Exemplo Seja R! ::: j j j! ::: j 0 j 0 0 ( ) ( + ) j. Se = então car A = car [A j B] = < = n e o sistema diz-se possível e indeterminado. ( ( x + y + z = x = z + y z =, y = z + a solução geral do sistema é: f(z + ; z + ; z) : z Rg R Se = então car A = < = car [A j B] e o sistema não tem solução e diz-se impossível. Se = e =, então car A = car [A j B] = = n e o sistema diz-se possível e determinado (tem solução única). CS = n + + ; o + ; + R

20 A = a a a n a a a n... A = (a ij ) mn a m a m a mn Se m = n A matriz quadrada a ; a ; :::; a nn : diagonal principal de A. Se m = n A matriz rectangular. matriz linha i de A: h ai a i a in i matriz coluna j de A: a j a j. a mj matriz nula 0 mn ou 0

21 matriz diagonal matriz identidade I a a a nn matriz triangular superior matriz triangular inferior a a a n 0 a a n a nn a 0 0 a a a n a n a nn

22 De nição Uma matriz (real) A do tipo m n é uma aplicação: A : f; :::; mg f; :::; ng! R (i; j)! a ij Notação M mn (R) M mn (C) De nição A = (a ij ) mn B = (b ij ) pq A = B se m = p n = q a ij = b ij

23 Exemplos A = B = 0 0 C = h 0 0 i A é, B é, C é a =, b =, c = 0

24 De nição A = (a ij ) mn B = (b ij ) mn A + B = (a ij + b ij ) mn. Exemplos A = B = 0 9 C = = p D = = p A + B = C + D = 0 0 0

25 De nição escalar A = (a ij ) mn A = (a ij ) mn Notação A = ( )A Exemplo A = A = 8 Observação A = A 0A = 0 De nição A B = A + ( B)

26 Teorema A, B, C e D matrizes de tipos apropriados, e escalares. A + B = B + A A + (B + C) = (A + B) + C A + 0 = 0 + A = A A + B = B + A = 0 ) B = A (A) = () A ( + ) A = A + A A + : : : + A {z } n vezes = na: (A + B) = A + B

27 De nição A = (a ij ) mp B = (b ij ) pn AB = a i b j + ::: + a ip b pj mn = 0 k= a ik b kj A mn a. a p. a i. a ip. a m a mp b b j b n... b p b pj b pn = = pp k= pp k= a k b k a mk b k pp k= a ik b kj pp k= pp k= a k b kn a mk b kn

28 Exemplo h i = p = = ( ) + + p = h p i = p h i = = ( ) ( ) ( ) p p p = p p p

29 Exemplo = = 0 h i = h i =

30 De nição A nn A p = A:::A {z } p vezes A 0 = I (A = 0) Observação a a a nn p = (a ) p (a ) p (a nn ) p Observação. Em geral AB = BA 0 0 A = B = 0 0 AB = 0 0 BA = 0 0 Observação CD = 0 ; (C = 0 ou D = 0) C = D = CD = = 0

31 Teorema A, B, C e D matrizes de tipos apropriados, e escalares. A (BC) = (AB) C Se A fôr quadrada (A m ) n = A mn A (B + C) = AB + AC (B + C) D = BD + CD (AB) = (A) B = A (B) AI = A IB = B A0 = 0 0B = 0

32 Observação 8 >< a x + ::: + a n x n = b : : :, AX = B >: a m x + ::: + a mn x n = b m com A = a a n.. a m a mn, X = x. x n e B = b. b m De nição S = s. s n é uma solução de AX = B se AS = B Observação R n = M n (R)

33 Observação MUITO IMPORTANTE: Se A = a a n.. a m a mn e X = x. x n então: AX = a. a m x + + a n. a mn x n

34 De nição Sistema linear homogéneo: AX = 0 8 >< >: a x + ::: + a n x n = 0 : : : a m x + ::: + a mn x n = 0 De nição À solução geral do sistema linear homogéneo AX = 0 chama-se núcleo de A e escreve-se N (A) N (A) = fx : AX = 0g Observação AX = 0 admite pelo menos a solução trivial: X = x. x n = 0. 0

35 Teorema Se AX = B tem duas soluções distintas X 0 e X então terá in nitas soluções. Teorema Todo o sistema linear homogéneo tem solução: ou tem só a solução trivial ou tem in nitas soluções. Se A m n é tal que m < n então AX = 0 tem in nitas soluções.

36 Teorema Y; W soluções de AX = 0 + Y + W solucão de AX = 0 Y solução de AX = 0 + Y solução de AX = 0 Teorema solução geral de AX = B = solução particular de AX = B + solução geral de AX = 0

37 Exemplo AX = B, x y z w = 0 A solução geral de AX = B: (Sol. part de AX = B) + (Sol. geral de AX = 0) (0; 0; ; 0) é uma solução particular de AX = B.

38 Exemplo solução geral de AX = 0: :::! >< >: x = w y = w z = w solução geral de AX = 0: n (w; w; w; w) : w R o solução geral de AX = B: f(0; 0; ; 0)g + n (w; w; w; w) : w Ro = = n (w; w; w ; w) : w Ro

39 Resolução Alternativa. 0 0 j 0 j j 0 0 j :::! 0 j 0 0 j 0 0 j j 0 8 >< >: x + y + w = 0 y + z w = z + w =, 8 >< >: x = w y = w z = w solução geral de AX = B: n w; w; w; w : w R o

40 De nição A é invertível se existir uma matriz B tal que AB = BA = I B é a matriz inversa de A e B = A Observação A = A I = I 0 0 = 0 0

41 Teorema A inversa de uma matriz invertível é única Se uma matriz quadrada tiver uma linha ou uma coluna nula então não é invertível Se A é invertível e AB = AC então B = C Se A é invertível e AB = 0 então B = 0 Se existir l N tal que A l = 0 então A não é invertível

42 Teorema Se = 0 e A é invertível então A é invertível e (A) = A Se A é invertível então A T é invertível e A T = A T Se A e B são invertíveis então AB é invertível (AB) = B A Se A é invertível então A m é invertível e (A m ) = A m Notação A m = (A m )

43 Como inverter matrizes invertíveis do tipo n n Se A fôr invertível: AX = B, X = A B AX = IB, IX = A B [A j I]! ::: h I j A i Exemplo j 0 j 0! ::: 0 j 0 j! = j 0 0 j! ::: = = I

44 Exemplo A = 9 8 [A j I] =! ::: 9 8 j 0 0 j 0 0 j 0 0 j j j! ::: Logo, A não é invertível.

45 Teorema A n n. As seguintes condições são equivalentes. AX = B tem a solução única X = A B AX = 0 tem a solução única X = 0 A é invertível car A = n nul A = 0 Teorema A, B n n AB invertível, A e B são invertíveis: Teorema A n n AB = I ) (BA = I e B = A )

46 De nição A transposta de é A = (a ij ) mn A T = (a ji ) nm isto é a a a n a a a n... T = a a a m a a a m... a m a m a mn a n a n a mn Exemplo T = 0 0 0

47 Teorema A T T = A (A + B) T = A T + B T (A) T = A T (AB) T = B T A T (A A :::A n ) T = A T n :::A T AT

48 De nição A = (a ij ) nn A é simétrica se A = A T (a ij = a ji ) Exemplo 0 De nição A = (a ij ) nn A é anti-simétrica se A = A T (a ij = a ji ) Exemplo 0 0 Observação A+A T é simétrica, A A T é anti-simétrica A = A + A T + A A T

49 Teorema. Se A é simétrica invertível então A é simétrica Se A e B são simétricas, AB é simétrica, AB = BA

50 De nição. Seja A = (a ij ) nn. O traço de A é o número real (ou complexo) tr(a) = a + ::: + a nn = nx a ii i= Exemplo tr! = Teorema. Sejam A = (a ij ) nn, B = (b ij ) nn e escalar. Tem-se tr(a + B) = tr(a) + tr(b) tr(a) = tr(a) tr(a T ) = tr(a) tr(ab) = tr(ba)