Matrizes. Laura Goulart. 29 de Outubro de 2018 UESB. Laura Goulart (UESB) Matrizes 29 de Outubro de / 16

Transcrição

1 Matrizes Laura Goulart UESB 29 de Outubro de 2018 Laura Goulart (UESB) Matrizes 29 de Outubro de / 16

2 Motivação Chama-se matriz de ordem m por n uma tabela com m n elementos(em geral, números reais) dispostos em m linhas e n colunas. Laura Goulart (UESB) Matrizes 29 de Outubro de / 16

3 Motivação Chama-se matriz de ordem m por n uma tabela com m n elementos(em geral, números reais) dispostos em m linhas e n colunas. O uso de matrizes no dia-a-dia é relativamente frequente: imagens da internet(gif,jpeg), planilhas eletrônicas, tabela de dados. Laura Goulart (UESB) Matrizes 29 de Outubro de / 16

4 1- Denição Em uma matriz qualquer A, cada elemento é indicado por a ij. Laura Goulart (UESB) Matrizes 29 de Outubro de / 16

5 1- Denição Em uma matriz qualquer A, cada elemento é indicado por a ij. a 11 a a 1n a 21 a a 2n A matriz A é denotada por A = ou a m1 a m2... a mn A = (a ij ). Laura Goulart (UESB) Matrizes 29 de Outubro de / 16

6 1- Denição Em uma matriz qualquer A, cada elemento é indicado por a ij. a 11 a a 1n a 21 a a 2n A matriz A é denotada por A = ou a m1 a m2... a mn A = (a ij ). Laura Goulart (UESB) Matrizes 29 de Outubro de / 16

7 ( ) A = ) 2 3 Laura Goulart (UESB) Matrizes 29 de Outubro de / 16

8 1.1) ( ) A = ) A = Laura Goulart (UESB) Matrizes 29 de Outubro de / 16

9 1.1) ( ) A = ) A = ) A = ( ) 1 4 (matriz linha) Laura Goulart (UESB) Matrizes 29 de Outubro de / 16

10 1.1) ( ) A = ) A = ) A = ( ) (matriz linha) ) A = 1 3 (matriz coluna) 3 1 Laura Goulart (UESB) Matrizes 29 de Outubro de / 16

11 1.5) [ Matriz Quadrada de ordem n] Laura Goulart (UESB) Matrizes 29 de Outubro de / 16

12 1.5) [ Matriz Quadrada de ordem n] Diagonal principal: i = j Laura Goulart (UESB) Matrizes 29 de Outubro de / 16

13 1.5) [ Matriz Quadrada de ordem n] Diagonal principal: i = j Diagonal secundária: i + j = n + 1 Laura Goulart (UESB) Matrizes 29 de Outubro de / 16

14 1.6) [Matriz triangular superior] É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, ie, a ij = 0 quando i > j. Laura Goulart (UESB) Matrizes 29 de Outubro de / 16

15 1.6) [Matriz triangular superior] É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, ie, a ij = 0 quando i > j. Laura Goulart (UESB) Matrizes 29 de Outubro de / 16

16 1.6) [Matriz triangular superior] É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, ie, a ij = 0 quando i > j. 1.7) [Matriz triangular inferior] É uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal principal são nulos, ie, a ij = 0 quando i < j. Laura Goulart (UESB) Matrizes 29 de Outubro de / 16

17 1.6) [Matriz triangular superior] É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, ie, a ij = 0 quando i > j. 1.7) [Matriz triangular inferior] É uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal principal são nulos, ie, a ij = 0 quando i < j. Laura Goulart (UESB) Matrizes 29 de Outubro de / 16

18 1.8) [Matriz Diagonal] É uma matriz quadrada onde todos os elementos que não estão na diagonal principal são nulos, ie, a ij = 0 quando i j. Laura Goulart (UESB) Matrizes 29 de Outubro de / 16

19 1.8) [Matriz Diagonal] É uma matriz quadrada onde todos os elementos que não estão na diagonal principal são nulos, ie, a ij = 0 quando i j. A = Laura Goulart (UESB) Matrizes 29 de Outubro de / 16

20 1.9) [Matriz Identidade] É uma matriz quadrada onde todos os elementos da diagonal principal { são iguais a 1 e os demais são nulos, ie, 1, i = j a ij =. 0, i j Laura Goulart (UESB) Matrizes 29 de Outubro de / 16

21 1.9) [Matriz Identidade] É uma matriz quadrada onde todos os elementos da diagonal principal { são iguais a 1 e os demais são nulos, ie, 1, i = j a ij =. 0, i j Essa matriz é representada por I n sendo n a ordem da matriz. Laura Goulart (UESB) Matrizes 29 de Outubro de / 16

22 1.9) [Matriz Identidade] É uma matriz quadrada onde todos os elementos da diagonal principal { são iguais a 1 e os demais são nulos, ie, 1, i = j a ij =. 0, i j Essa matriz é representada por I n sendo n a ordem da matriz. I 3 = Laura Goulart (UESB) Matrizes 29 de Outubro de / 16

23 1.10) [Matriz Nula] É a matriz onde todos os elementos são nulos e representada por O m n. Laura Goulart (UESB) Matrizes 29 de Outubro de / 16

24 1.10) [Matriz Nula] É a matriz onde todos os elementos são nulos e representada por O m n (. ) O 2 3 = Laura Goulart (UESB) Matrizes 29 de Outubro de / 16

25 1.10) [Matriz Nula] É a matriz onde todos os elementos são nulos e representada por O m n (. ) O 2 3 = ) [Matriz Oposta] Dada a matriz A = (a ij ), a sua oposta A é obtida trocando-se o sinal de todos os elementos de A, ie, A = ( a ij ). Laura Goulart (UESB) Matrizes 29 de Outubro de / 16

26 1.10) [Matriz Nula] É a matriz onde todos os elementos são nulos e representada por O m n (. ) O 2 3 = ) [Matriz Oposta] Dada a matriz A = (a ij ), a sua oposta A é obtida trocando-se o sinal de todos os elementos de A, ie, A = ( a ij ). A = ( ) A = ( ) Laura Goulart (UESB) Matrizes 29 de Outubro de / 16

27 1.12) [Matriz Transposta] Dada a matriz A = (a ij ), a sua matriz transposta, indicada por A t, é a matriz obtida trocando-se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas, ie, A t = (a ji ). Laura Goulart (UESB) Matrizes 29 de Outubro de / 16

28 1.12) [Matriz Transposta] Dada a matriz A = (a ij ), a sua matriz transposta, indicada por A t, é a matriz obtida trocando-se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas, ie, A t = (a ji ). Dessa forma, se a matriz A tem ordem m n, então sua transposta A t terá ordem n m. Laura Goulart (UESB) Matrizes 29 de Outubro de / 16

29 1.12) [Matriz Transposta] Dada a matriz A = (a ij ), a sua matriz transposta, indicada por A t, é a matriz obtida trocando-se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas, ie, A t = (a ji ). Dessa forma, se a matriz A tem ordem m n, então sua transposta A t terá ordem n m. Laura Goulart (UESB) Matrizes 29 de Outubro de / 16

30 2-Lei de formação Podemos escrever uma matriz através de sua lei de formação que determina os valores de uma matriz a partir dos índices que representam as linhas e as colunas de um elemento. Laura Goulart (UESB) Matrizes 29 de Outubro de / 16

31 2-Lei de formação Podemos escrever uma matriz através de sua lei de formação que determina os valores de uma matriz a partir dos índices que representam as linhas e as colunas de um elemento. Para exemplicar, vamos escrever a matriz A = (a ij ) 2 3 tal que a ij = 2i + 3j. Laura Goulart (UESB) Matrizes 29 de Outubro de / 16

32 2-Lei de formação Podemos escrever uma matriz através de sua lei de formação que determina os valores de uma matriz a partir dos índices que representam as linhas e as colunas de um elemento. Para exemplicar, vamos escrever a matriz A = (a ij ) 2 3 tal que a ij = ( 2i + 3j. ) a11 a A = 12 a 13 a 21 a 22 a 23 Laura Goulart (UESB) Matrizes 29 de Outubro de / 16

33 2-Lei de formação Podemos escrever uma matriz através de sua lei de formação que determina os valores de uma matriz a partir dos índices que representam as linhas e as colunas de um elemento. Para exemplicar, vamos escrever a matriz A = (a ij ) 2 3 tal que a ij = 2i + 3j. ( ) a11 a A = 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 ( ). Laura Goulart (UESB) Matrizes 29 de Outubro de / 16

34 3-Igualdade de matrizes Duas matrizes A e B são iguais quando: i) A e B tem a mesma ordem m n. ii) Todos os seus elementos correspondentes são iguais, ie, a ij = b ij para i = 1,..., m e j = 1,..., n. Laura Goulart (UESB) Matrizes 29 de Outubro de / 16

35 3-Igualdade de matrizes Duas matrizes A e B são iguais quando: i) A e B tem a mesma ordem m n. ii) Todos os seus elementos correspondentes são iguais, ie, a ij = b ij para i = 1,..., m e j = 1,..., n. 3.1) ( ) = ( ). Laura Goulart (UESB) Matrizes 29 de Outubro de / 16

36 3-Igualdade de matrizes Duas matrizes A e B são iguais quando: i) A e B tem a mesma ordem m n. ii) Todos os seus elementos correspondentes são iguais, ie, a ij = b ij para i = 1,..., m e j = 1,..., n. 3.1) 3.2) ( ) ( = ( ) ( ) ). Laura Goulart (UESB) Matrizes 29 de Outubro de / 16

37 Exercício de Fixação ( Determine o valor ) de ( a de modo ) que se tenha a = Laura Goulart (UESB) Matrizes 29 de Outubro de / 16