Hewlett-Packard DETERMINANTE. Aulas 01 a 04. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz

Tamanho: px

Começar a partir da página:

Download "Hewlett-Packard DETERMINANTE. Aulas 01 a 04. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz"

Maria Vitória Prada Estrada
6 Há anos
Visualizações:

1 Hewlett-Packard DETERMINANTE Aulas 0 a 04 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ano: 206

2 Sumário DETERMINANTE... Exemplo... Exemplo 2... EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS... Exemplo 3... EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS... 2 TEOREMA DE LAPLACE... 2 COFATOR... 2 Exemplo... 2 TEOREMA DE LAPLACE... 2 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS... 2 Propriedades... 2 Considere A uma matriz quadrada de ordem n em todos os casos a seguir FILA NULA... 2 FILAS PARALELAS... 2 TROCA DE FILAS PARALELAS... 2 MATRIZ TRANSPOSTA... 2 MULTIPLICAÇÃO DE UMA FILA POR UM NÚMERO REAL... 3 TEOREMA DE JACOBI... 3 MATRIZ TRIANGULAR... 3 Seja A uma matriz triangular, então deta é o produto dos elementos da diagonal principal Exemplo... 3 EXERCÍCIO FUNDAMENTAL... 3 TEOREMA DE BINET... 3 EXERCÍCIO FUNDAMENTAL... 3 Regra de Chió... 3 REGRA DE CHIÓ... 3 Exemplo EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS... 4 MATRIZ DE VANDERMONDE... 4 QUESTÕES EXTRAS... 4

3 AULA 0 DETERMINANTE A toda matriz quadrada pode ser associado um número real, chamado de determinante. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. O determinante de A, det A, é calculado por diferentes técnicas que variam de acordo com a ordem da matriz. ORDEM O determinante de uma matriz de ordem é igual ao único elemento que compõe essa matriz. Exemplo A = [ 2], então det A = 2. A = [π], então det A = π. A = [0], então det A = 0. ORDEM 2 O determinante de uma matriz de ordem 2 é igual ao produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. Se A = ( a a 2 a 2 a ), então 22 Exemplo 2 det A = a a 2 a 2 a 22 = a a 22 a 2 a 2 a 2 a 2 a a 22 Se A = ( 3 3 ), então det A = = 7 6 = Obs.: O determinante da matriz pode ser denotado por. EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS.. Calcule os determinantes a seguir. a) 7 b) c) 3 2 d) sen a cos a e) cos a sen a 2x 3x 2.2. Resolva, em R, a equação =. x ORDEM 3 O determinante da matriz de ordem 3 é calculado utilizando a Regra de Sarrus. Observe o passo-a-passo no exemplo a seguir. Exemplo Calcule o determinante da matriz A = [ 0 3 ]. 2 3 ) Copie ao lado da matriz A as suas duas primeiras colunas ) Multiplique os elementos da diagonal principal. Faça o mesmo, separadamente, para cada diagonal paralela ) Multiplique os elementos da diagonal secundária, trocando o sinal do produto obtido. Faça o mesmo, separadamente com as suas diagonais paralelas. 4) Some os valores obtidos det A = = 3 Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS.3. Calcule 3 2 A) 2 5 0 2 B) 5 7 4 4 0 TAREFA Página 0, exercícios propostos (a, b, c, d, e, f), 2(a, b) e 4.

O cofator de a ij, denotado por Δ ij, é tal que Δ ij = ( ) i+j D ij, em que D ij é o determinante da matriz que se obtém de A, eliminando a i-ésima linha e j-ésima coluna.

4 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS.3. Calcule 3 2 A) B) TAREFA Página 0, exercícios propostos (a, b, c, d, e, f), 2(a, b) e 4. AULA 02 TEOREMA DE LAPLACE COFATOR Seja A uma matriz quadrada de ordem n 2 e seja a ij um elemento de A. A cada elemento da matriz a ij está associado um número real chamado de cofator. O cofator de a ij, denotado por Δ ij, é tal que Δ ij = ( ) i+j D ij, em que D ij é o determinante da matriz que se obtém de A, eliminando a i-ésima linha e j-ésima coluna. Exemplo 0 Na matriz A = [ 2 3 ], qual o cofator do elemento a 3? Para determinar o cofator de a 3 precisamos calcular D 3 que é obtido eliminando a primeira linha e terceira coluna [ 2 3 ] D 3 = = = E assim, Δ 3 = ( ) +3 D 3 = ( ) 4 6 = 6. TEOREMA DE LAPLACE O determinante de uma matriz quadrada de ordem n 2 é igual a soma dos produtos dos elementos de uma fila com os seus respectivos cofatores. EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.. Calcule 3 2 a) Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 2 b) Obs.2: O termo fila se refere a uma linha ou coluna da matriz. Teorema de Laplace Observe que no teorema de Laplace cada cofator é multiplicado pelo seu respectivo elemento, com isso caso o elemento seja nulo não é necessário calcular seu cofator. Logo, escolha sempre a fila com a maior quantidade de elementos nulos para simplificar o cálculo. TAREFA 2 Página 0, exercícios propostos (g, h, i). AULA 03 Propriedades Considere A uma matriz quadrada de ordem n em todos os casos a seguir. FILA NULA Se A possui uma fila na qual todos os elementos são nulos, então det A = 0. FILAS PARALELAS Se A possui filas paralelas iguais ou proporcionais, então det A = 0. TROCA DE FILAS PARALELAS Se trocarmos a posição de duas filas paralelas de A, obtendo uma matriz A, então det A = det A. MATRIZ TRANSPOSTA Seja A t a transposta da matriz A então

5 det A = det A t MULTIPLICAÇÃO DE UMA FILA POR UM NÚMERO REAL Quando todos os elementos de uma fila de A são multiplicados por um número k obtendo uma matriz A, então det A = k det A. TEOREMA DE JACOBI Seja A' a matriz obtida pela substituição de uma fila de uma matriz A pela soma dessa fila com um múltiplo de outra fila paralela a ela não altera o determinante, ou seja, det A = det A MATRIZ TRIANGULAR Seja A uma matriz triangular, então det A é o produto dos elementos da diagonal principal. Exemplo = = EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 3.. Calcule a) b) c) x Sabendo que z y = 7, w calcule os determinantes. z w a) x y 5x 5y b) z w 5x 5y c) 5z 5w 3.3. Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 e det A = 7, qual o valor de det 3A? TEOREMA DE BINET Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então det(a B) = det A det B EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 3.4. Prove que uma matriz invertível possui determinante diferente de zero. TAREFA 2 Página 0, exercícios propostos 3, 5, 6, 7, 8 AULA 04 Regra de Chió REGRA DE CHIÓ A regra de Chió nos permite calcular o determinante de uma matriz de ordem n, utilizando uma matriz de ordem menor. Obs.3: Para utilizar a regra de Chió o elemento a deve ser igual a. PASSO A PASSO a n ( ) a n a nn. Suprima a º linha e º coluna. 2. Dos elementos restantes, subtraia o produto dos dois elementos suprimidos correspondentes a mesma linha e coluna. 3. A nova matriz tem o mesmo determinante da matriz original Exemplo = = ( 7) = 0 ( 7) = 56 3 = 44 2 = Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 3

6 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 4.. Calcule a) b) MATRIZ DE VANDERMONDE A matriz de Vandermonde, ou matriz das potências, é uma matriz quadrada de ordem n 2 do tipo A a a a a 2 3 a a a a n a a a a n n n n 2 3 n Obs.4: Os elementos da segunda linha da matriz de Vandermode são chamados de elementos característicos. O determinante da matriz de Vandermonde é igual ao produto de todas as diferenças entre os seus elementos característicos (a i a k ), com i > k Calcule a) b) EXTRA QUESTÕES EXTRAS. O valor de A = (A) 2. n n x n (B) 5. (C) 5. (D) 3. (E) O valor do determinante é igual a (A) 720. (B) 720. (C) 260. (D) 260. (E) Considere a matriz B = (b ij ) 4x4 em que det B = 5. É correto afirmar que (A) det 2B = 2 det B. (B) det ( B ) = det B. (C) det 3B < 400. (D) det B 2 = 0. (E) det B t = det B, em que B t é a matriz transposta de B Considere a matriz A = [ ] e julgue os 2 itens a seguir.. det(2a) = 8 det (A) Seja B = [ ]. Então, é correto 2 afirmar que det(b) = 2 det (A). 3. Sendo A t a matriz transposta da matriz A, tem-se que det(a t ) = det (A). 4. Sendo A a inversa da matriz A, tem-se que det(a ) = A matriz A é inversível. 5. Resolva a equação 2 x x (x + ) = 6 e 3 2 x determine, em R, o seu conjunto-solução Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 4

7 Considere a matriz A = ( ). Calcule o determinante da matriz inversa de A. 7. O conjunto-solução, em R, da equação x 2 3 x = x é 3 0 (A) S = { 2; 3}. (B) S = {2; 3}. (C) S = {7}. (D) S = { ;7}. (E) S = {;-7}. a b c 8. Dada a matriz A = [ m n p], em que x y z a, b, c, m, n, p, x, y e z são números reais, é correto afirmar que (A) det(5a) = 5 det(a). x y 5z (B) 2a 2b 0c = 0 det A. m n 5p a x m (C) b y n = det A. c z p 2a 2b 2c (D) 3x 3y 3z = 6 det A. m n p a c b (E) m p n = det A. x + 2m z + 2p y + 2n O determinante da matriz A = [ ] é igual a (A) -6. (B) -4. (C) 0. (D) 4. (E) 6. CAIU NO VEST. Considere a matriz A = (a ij ) 3 2, tal que a ij = i j. Calcule det(a A t ). sen x cos x 2. Calcule sen y cos y., se i j 3. Seja A = (a ij ) em que a 3 3 ij = { 2, se i < j. Calcule det A. 4. Sabendo-se que A e B são matrizes quadradas de ordem 2, det A = 2 e det B t = 6, qual é o valor de det (A B)? x 0 5. Resolva, em R, a equação Calcule o valor da expressão = (UnB 202) Dada uma matriz quadrada A, definese o traço de A, simbolizado por tr(a), como a soma dos elementos de sua diagonal principal. A partir dessas informações. A partir dessas informações e considerando as matrizes 0,7 0,2 A = ( ) ; Q = (2 0,3 0,8 3 ) e R = 00Q PQ, Determine o valor do quociente det(r), em que det (R) tr(r) é o determinante da matriz R. Despreze, caso exista, a parte fracionária do resultado final obtido, após ter efetuado todos os cálculos solicitados. GABARITO EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS.. a) 7 b) 6 c) d) 3 e).2. S = { 2 ; }.3. a) 22 b) a) 47 b) a) 0 b) 0 c) a) 7 b) 35 c) Demonstração Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 5

8 4.. a) 28 b) a) 240 b) 68 QUESTÕES EXTRAS. E 2. C 3. B 4. CECCC 5. { 3; 5} D 8. E 9. A CAIU NO VEST sen (x + y) Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 6

Documentos relacionados

Hewlett-Packard DETERMINANTE. Aulas 01 a 05. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz

Hewlett-Packard DETERMINANTE. Aulas 01 a 05. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Hewlett-Packard DETERMINANTE Aulas 0 a 05 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Sumário DETERMINANTE... Exemplo... Exemplo...... Exemplo...... TEOREMA DE LAPLACE... I) COFATOR... Exemplo... II)