Álgebra Linear. Professor Fabrício Oliveira. 25 de agosto de Universidade Federal Rural do Semiárido

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1 Álgebra Linear Professor Fabrício Oliveira Universidade Federal Rural do Semiárido 25 de agosto de 2010

2 Determinantes De maneira não formal Não daremos aqui a definição matematicamente correta.

3 Determinantes De maneira não formal Não daremos aqui a definição matematicamente correta. Neste curso o mais importante é saber que determinante é um número associado a uma matriz quadrada.

4 Determinantes De maneira não formal Não daremos aqui a definição matematicamente correta. Neste curso o mais importante é saber que determinante é um número associado a uma matriz quadrada. Mais importante ainda é saber encontrar este número.

5 Determinantes De maneira não formal Não daremos aqui a definição matematicamente correta. Neste curso o mais importante é saber que determinante é um número associado a uma matriz quadrada. Mais importante ainda é saber encontrar este número. Tentaremos aqui mostrar como se encontra o determinante de uma matriz quadrada de qualquer ordem.

6 Métodos Se A = [a] 1 1, seu determinante é o próprio elemento da matriz, ou seja, det(a) = A = a.

7 Métodos Se A = [a] 1 1, seu determinante é o próprio elemento da matriz, ou seja, det(a) = A = a. [ ] a b Se A =, seu determinante é c d det(a) = A = ad bc.

8 Métodos Se A = [a] 1 1, seu determinante é o próprio elemento da matriz, ou seja, det(a) = A = a. [ ] a b Se A =, seu determinante é c d det(a) = A = ad bc. a 11 a 12 a 13 Se A = a 21 a 22 a 23, seu determinante é dado por a 31 a 32 a 33 det(a) = A = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 21 a 32 a 13 (a 31 a 22 a 13 + a 32 a 23 a 11 + a 21 a 12 a 33 )

9 Métodos Se A = [a] 1 1, seu determinante é o próprio elemento da matriz, ou seja, det(a) = A = a. [ ] a b Se A =, seu determinante é c d det(a) = A = ad bc. a 11 a 12 a 13 Se A = a 21 a 22 a 23, seu determinante é dado por a 31 a 32 a 33 det(a) = A = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 21 a 32 a 13 (a 31 a 22 a 13 + a 32 a 23 a 11 + a 21 a 12 a 33 ) Se a ordem da matriz for maior igual a quatro, então precisamos de um critério mais geral para encontrarmos o determinante.

10 Teorema de Laplace Para cálculo de determinante Precisamos inicialmente definir Cofator.

11 Teorema de Laplace Para cálculo de determinante Precisamos inicialmente definir Cofator. Seja, portanto, A = [a ij ] n n uma matriz quadrada. O cofator do elemento a ij é o número ij dado por ij = ( 1) i+j det(a ij ), onde A ij é matriz que se obtém de A pela eliminação da linha i e coluna j.

12 Teorema de Laplace Para cálculo de determinante Precisamos inicialmente definir Cofator. Seja, portanto, A = [a ij ] n n uma matriz quadrada. O cofator do elemento a ij é o número ij dado por ij = ( 1) i+j det(a ij ), onde A ij é matriz que se obtém de A pela eliminação da linha i e coluna j. O teorema de Laplace nos diz que para encontrarmos o determinante de uma matriz A = [a ij ] n n, basta nos concentrarmos em uma linha ou em uma coluna,veja abaixo.

13 Teorema de Laplace Para cálculo de determinante Precisamos inicialmente definir Cofator. Seja, portanto, A = [a ij ] n n uma matriz quadrada. O cofator do elemento a ij é o número ij dado por ij = ( 1) i+j det(a ij ), onde A ij é matriz que se obtém de A pela eliminação da linha i e coluna j. O teorema de Laplace nos diz que para encontrarmos o determinante de uma matriz A = [a ij ] n n, basta nos concentrarmos em uma linha ou em uma coluna,veja abaixo. Se A = [a ij ] n n, então n det(a) = a ik ik = a i1 i1 + a i2 i a in in, onde i é k=1 qualquer ntural de 1 até n.

14 Exemplos Se A = [ 18], então det(a) = 18.

15 Exemplos Se A = [ 18], então det(a) = 18. [ ] 1 2 Se A =, então 5 8 det(a) = ( 5) = = 18.

16 Exemplos Se A = [ 18], então det(a) = 18. [ ] 1 2 Se A =, então 5 8 det(a) = ( 5) = = Se A = 3 2 5, então det(a) = 1 2 ( 1) ( 3) ( 1) ( 3) 0 ( 1) = 2.

17 Utilizando Laplace Considere a matriz de ordem 3 dada abaixo A =

18 Utilizando Laplace Considere a matriz de ordem 3 dada abaixo A = Para encontrarmos o determinante por Laplace precisamos escolher uma linha ou uma coluna para desenvolvermos o determinante. Vamos escolher a linha 2, por exemplo.

19 Utilizando Laplace Desta forma precisaremos dos seguintes cofatores: 21, 22, A matriz A é dada por A = assim, = ( 1) = 5

20 Utilizando Laplace Desta forma precisaremos dos seguintes cofatores: 21, 22, A matriz A é dada por A = assim, = ( 1) = 5 22 = ( 1) = 1

21 Utilizando Laplace Desta forma precisaremos dos seguintes cofatores: 21, 22, A matriz A é dada por A = assim, = ( 1) = 5 22 = ( 1) = 1 23 = ( 1) = 1

22 Utilizando Laplace Como a 21 = 3, a 22 = 2, a 23 = 5

23 Utilizando Laplace Como a 21 = 3, a 22 = 2, a 23 = 5 Temos det(a) = a a a 23 23

24 Utilizando Laplace Como a 21 = 3, a 22 = 2, a 23 = 5 Temos det(a) = a a a det(a) = = = 8

25 Propriedades dos determinantes Determinante de uma matriz não se altera quando trocamos linhas por colunas.

26 Propriedades dos determinantes Determinante de uma matriz não se altera quando trocamos linhas por colunas. Se a matriz tem uma linha(ou coluna) combinação linear de outras, seu determinante é zero.

27 Propriedades dos determinantes Determinante de uma matriz não se altera quando trocamos linhas por colunas. Se a matriz tem uma linha(ou coluna) combinação linear de outras, seu determinante é zero. Determinante de matrizes triangulares é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.

28 Propriedades dos determinantes Determinante de uma matriz não se altera quando trocamos linhas por colunas. Se a matriz tem uma linha(ou coluna) combinação linear de outras, seu determinante é zero. Determinante de matrizes triangulares é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Permutando-se duas linhas(ou colunas) o determinante muda de sinal.

29 Propriedades dos determinantes Determinante de uma matriz não se altera quando trocamos linhas por colunas. Se a matriz tem uma linha(ou coluna) combinação linear de outras, seu determinante é zero. Determinante de matrizes triangulares é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Permutando-se duas linhas(ou colunas) o determinante muda de sinal. Ao multiplicar uma linha(ou coluna)por um número, o determinante fica multiplicado por este número.

30 Propriedades dos determinantes Determinante de uma matriz não se altera quando trocamos linhas por colunas. Se a matriz tem uma linha(ou coluna) combinação linear de outras, seu determinante é zero. Determinante de matrizes triangulares é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Permutando-se duas linhas(ou colunas) o determinante muda de sinal. Ao multiplicar uma linha(ou coluna)por um número, o determinante fica multiplicado por este número. e Det(A B) = Det(A) Det(B) Det(A + B) Det(A) + Det(B).

31 Matriz Inversa Falaremos um pouco de matriz inversa Dada uma matriz quadrada A chamamos a inversa de A, uma matriz quadrada B, de mesma ordem que A, tal que A B = I. Neste caso denotamos a inversa de A por A 1, ou seja, B = A 1.

32 Matriz Inversa Falaremos um pouco de matriz inversa Dada uma matriz quadrada A chamamos a inversa de A, uma matriz quadrada B, de mesma ordem que A, tal que A B = I. Neste caso denotamos a inversa de A por A 1, ou seja, B = A 1. Se A = [a ij ] n n defina B = [ ij ] n n, a matriz dos cofatores dos elementos de A, então A 1 = BT det(a)

33 Exemplo [ ] 1 2 Se A =, temos = 1, 12 = 3, 21 = 2, 22 = 1.

34 Exemplo [ ] 1 2 Se A =, temos = 1, 12 = 3, 21 = 2, 22 = 1. [ 1 3 A matriz dos cofatores é B = 2 1 ].

35 Exemplo [ ] 1 2 Se A =, temos = 1, 12 = 3, 21 = 2, 22 = 1. [ ] 1 3 A matriz dos cofatores é B =. 2 1 [ ] Sua transposta é B T 1 2 = e det(a) =

36 Exemplo [ ] 1 2 Se A =, temos = 1, 12 = 3, 21 = 2, 22 = 1. [ ] 1 3 A matriz dos cofatores é B =. 2 1 [ ] Sua transposta é B T 1 2 = e det(a) = [ ] Assim, A 1 =

37 Outra forma de obter a inversa de uma matriz Uma outra maneira de obter a inversa de uma matriz é por meio de operações elementares(p ij, M i (k), S ij (k)). O procedimento é dado abaixo: Ponha a matriz que se quer inverter ao lado de uma matriz identidade de mesma ordem.

38 Outra forma de obter a inversa de uma matriz Uma outra maneira de obter a inversa de uma matriz é por meio de operações elementares(p ij, M i (k), S ij (k)). O procedimento é dado abaixo: Ponha a matriz que se quer inverter ao lado de uma matriz identidade de mesma ordem. Aplique operações elementares na matriz original até que ela se transforme na identidade.

39 Outra forma de obter a inversa de uma matriz Uma outra maneira de obter a inversa de uma matriz é por meio de operações elementares(p ij, M i (k), S ij (k)). O procedimento é dado abaixo: Ponha a matriz que se quer inverter ao lado de uma matriz identidade de mesma ordem. Aplique operações elementares na matriz original até que ela se transforme na identidade. Simultaneamente aplique esta mesma sequência de operações na matriz identidade.

40 Outra forma de obter a inversa de uma matriz Uma outra maneira de obter a inversa de uma matriz é por meio de operações elementares(p ij, M i (k), S ij (k)). O procedimento é dado abaixo: Ponha a matriz que se quer inverter ao lado de uma matriz identidade de mesma ordem. Aplique operações elementares na matriz original até que ela se transforme na identidade. Simultaneamente aplique esta mesma sequência de operações na matriz identidade. Quando a primeira se tranformar na identidade, a identidade trnasformou-se ba inversa requerida.