Álgebra Linear e Geometria Analítica. 6ª aula

Transcrição

1 Álgebra Linear e Geometria nalítica 6ª aula

2 DETERMINNTES

3 Permutações Uma permutação σ ( p, p, p,, p n ) dos elementos do conjunto {,,,, n} éum arranjo dos n números em alguma ordem sem repetições ou omissões

4 EXEMPLO: σ ( 6,,, 5,, ) éuma permutação dos elementos do conjunto {,,,, 5, 6}

5 EXEMPLO: σ (,,,, 5, 6) éa permutação identidade dos elementos do conjunto {,,,, 5, 6}

6 Paridade de uma permutação Número de trocas de dois elementos que é necessário efectuar para voltar a pôr os números por ordem. Permutação par número de trocas par Permutação ímpar número de trocas ímpar

7 Como erminar a paridade rapidamente? Para cada elemento contam-se os números menores que ele que ficam depois dele.

8 Como erminar a paridade rapidamente? Para cada elemento contam-se os números menores que ele que ficam depois dele. Exemplo: σ (,,, )

9 Como erminar a paridade rapidamente? Para cada elemento contam-se os números menores que ele que ficam depois dele. Exemplo: σ (,,, ) :,, : : :

10 Como erminar a paridade rapidamente? Para cada elemento contam-se os números menores que ele que ficam depois dele. Exemplo: σ (,,, ) :,, : : : ()

11 Como erminar a paridade rapidamente? Para cada elemento contam-se os números menores que ele que ficam depois dele. Exemplo: σ (,,, ) :,, : : : () σépar

12 Sinal de uma permutação sgn( σ ) se se σ σ é é par ímpar

13 Exemplos: σ (6, 5,,,, ) paridade: 5 sgn(σ) - ρ (,,,, 6, 5) paridade sgn(ρ)

14 Produtos elementares: éuma matriz quadrada nn Chama-se produto elementar da matriz a um produto de nentradas da matriz que contenha uma entrada de cada linha e de cada coluna de. a p a p a p a npn

15 Exemplos: σ (6, 5,,,, ) Produto elementar correspondente: a 6 a 5 a a a 5 a 6 ρ (,,,, 6, 5) Produto elementar correspondente: a a a a a 56 a 65

16 Produtos elementares assinalados: éuma matriz quadrada nn Chama-se produto elementar assinalado da matriz a um produto elementar com o sinal da permutação correspondente: sign(σ)a p a p a p a npn Com σ (p, p,, p n )

17 Exemplos: σ (6, 5,,,, ) Produto elementar assinalado correspondente: -a 6 a 5 a a a 5 a 6 ρ (,,,, 6, 5) Produto elementar assinalado correspondente: a a a a a 56 a 65

18 Determinante de uma matriz: Determinante da matriz éa soma de todos os produto elementares assinalados de. Representa-se por ()ou por

19 Matrizes Produto elementar Permutação associada Paridade Produto elementar assinalado a a (, ) par a a a a (, ) ímpar -a a

20 Matrizes Produto elementar Permutação associada Paridade Produto elementar assinalado a a (, ) par a a a a (, ) ímpar -a a () a a -a a

21 Matrizes Produto elementar Permutação associada Paridade Produto elementar assinalado a a a (,, ) par a a a a a a (,, ) par a a a a a a (,, ) par a a a a a a (,, ) ímpar -a a a a a a (,, ) ímpar -a a a a a a (,, ) ímpar -a a a

22 Matrizes Produto elementar Permutação associada Paridade Produto elementar assinalado a a a (,, ) par a a a a a a (,, ) par a a a a a a (,, ) par a a a a a a (,, ) ímpar -a a a a a a (,, ) ímpar -a a a a a a (,, ) ímpar -a a a () a a a a a a a a a a a a a a a a a a

23 Determinantes de matrizes especiais Se édiagonal: () a a a nn

24 Determinantes de matrizes especiais Se édiagonal: () a a a nn Em particular: (I) (O)

25 Determinantes de matrizes especiais Se édiagonal: () a a a nn Em particular: (I) (O) Se éescalar e o elemento da diagonal ék então: () k n

26 Determinantes de matrizes especiais Se étriangular (superior ou inferior): () a a a nn

27 Propriedades dos erminantes:. () ( T ). Se tem uma linha (ou coluna) nula então (). Se éobtida de trocando linhas (ou colunas) então ( ) -(). Se tem duas linhas (ou colunas) iguais então ()

28 Propriedades dos erminantes: 5. Se éobtida de multiplicando uma linha (ou coluna) de por αentão ( ) α() 6. Se tem uma linha (ou coluna) múltipla doutra então () 7. (α) α n ()

29 Propriedades dos erminantes: 8. Se L,, L i,, L n são as linhas de e L i L i L i então () n i L L L M M ' n i L L L M M ''

30 Propriedades dos erminantes: 9. mesma propriedade para as colunas. (B) () (B). éinvertível se e sóse () (e se e sóse car() n). Se éinvertível então ( - ) ( )

31 Efeitos das operações elementares no erminante: Operações tipo I Trocando duas linhas o erminante muda o sinal EXEMPLO

32 Efeitos das operações elementares no erminante: Operações tipo II Multiplicar uma linha por um escalar não nulo EXEMPLO

33 Efeitos das operações elementares no erminante: Operações tipo III dicionar a uma linha outra multiplicada por um escalar EXEMPLO L L L

34 Cálculo do erminante por condensação da matriz: ( ) ( )

35 Cálculo do erminante pelo teorema de Laplace: Chama-se Menor (i,j)da matriz ao erminante da matriz que se obtém de retirando a linha i e a coluna j. Representa-se por ij Chama-seComplemento lgébrico de a ij ao número (-) ij ij e representa-se por Âij

36 EXEMPLO ( ) ( ) ˆ 8 5 ˆ 7

37 Teorema de Laplace Para cada linha k: ˆ ˆ L ( ) a a k k k k a kn ˆ kn Para cada coluna j: ( ) a ˆ ˆ L a j j j j a nj ˆ nj

38 Observações O Teorema de Laplace ermina o erminante de uma matriz de ordem n através do cálculo de erminantes de ordem n-; Deve-se escolher a linha ou coluna com mais zeros; Usar primeiro operações elementares sobre linhas para obter uma coluna com mais zeros e só depois o Teorema de Laplace sobre essa coluna.

39 EXEMPLO:

40 EXEMPLO:

41 EXEMPLO: ( )

42 EXEMPLO: ( )

43 EXEMPLO: ( ) 7 7 7

44 EXEMPLO: ( ) ( )

45 EXEMPLO: ( ) ( ) ( )

46 Inversa de uma matriz usando erminantes Matriz dos co-factores ou dos complementos algébricos: ˆ Matriz adjunta da matriz : Matriz inversa de : ˆ ij dj( ) ˆ T dj( )

47 EXEMPLO: ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ˆ ˆ ˆ ˆ Â

48 EXEMPLO: ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ) ( ˆ T adj

49 EXEMPLO: ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ˆ ˆ ˆ ˆ 6 ) ( ˆ ) ( ˆ adj T

50 EXEMPLO: ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ˆ ˆ ˆ ˆ 6 ) ( ˆ ) ( ˆ adj T

51 Regra prática para erminantes

52 Regra prática para erminantes ( )

53 Regra prática para erminantes ( ) ( )

54 Regra prática para erminantes ( ) ( ) 6