Definição de determinantes de primeira e segunda ordens. Seja A uma matriz quadrada. Representa-se o determinante de A por det(a) ou A.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Definição de determinantes de primeira e segunda ordens. Seja A uma matriz quadrada. Representa-se o determinante de A por det(a) ou A."

Transcrição

1 Determinantes A cada matriz quadrada de números reais, pode associar-se um número real, que se designa por determinante da matriz Definição de determinantes de primeira e segunda ordens Seja A uma matriz quadrada Representa-se o determinante de A por det(a) ou A ˆ Se A = [ a ] 1 1, tem-se det(a) = a = a ˆ Se A = [ a11 a 12 a 21 a 22 ], tem-se det(a) = 2 2 a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 a 21 a 12 Exemplos: 1 A = [ 3] 1 1 det A = 3 }{{} = 3 não é módulo! 2 B = [ ] 2 2 det B = = = = = ( 1) = 3 0 = = 2 ( 2) ( 1) 3 = 4 ( 3) = 7 31

2 Determinantes de ordem n Teorema de Laplace Seja A = [a ij ] i, j = 1, 2,, n uma matriz de ordem n Definição 1 (Menor Complementar) Designa-se por Menor Complementar de a ij ao determinante da matriz de ordem n 1 que se obtém de A por eliminação da linha i e da coluna j Definição 2 (Complemento Algébrico) Designa-se por Complemento Algébrico de a ij ao produto de ( 1) i+j pelo seu menor complementar Exemplo: A = ˆ menor complementar de a 3 2 = 6 é = 1 ˆ complemento algébrico de a 3 2 = 6 é ( 1) ˆ menor complementar de a 2 2 = 4 é = 7 ˆ complemento algébrico de a 2 2 = 4 é ( 1) = 1 1 = 1 = 1 7 = 7 De notar que: menor complementar de a ij se i + j é par complemento algébrico de a ij = - menor complementar de a ij se i + j é ímpar Para se saber qual é o sinal que deve preceder o menor complementar de a ij para obter o seu complemento algébrico, pode atender-se ao quadro de sinais onde cada sinal ocupa a posição do elemento a ij cujo complemento algébrico se pretende obter Repare-se que, no quadro, os sinais alternam ao longo de cada linha e de cada coluna e que o sinal da entrada (1, 1) é + 32

3 Teorema 1 (Teorema de Laplace) O determinante de uma matriz é igual à soma algébrica dos produtos dos elementos de uma fila pelos respectivos complementos algébricos Exemplo: complemento algébrico complemento algébrico complemento algébrico do 1 do 3 do { }} { { }} { = ( 1) ( 1) ( 1) { }} { ( 1) Teorema de Laplace (1ª linha) = = = 13 Notas: ˆ A ideia do teorema de Laplace para calcular um determinante de ordem n é fazê-lo recursivamente, isto é, calculá-lo através do cálculo de determinantes de matrizes de ordem n 1, e estes através do cálculo de determinantes de matrizes de ordem n 2, etc, até se chegar aos determinantes de matrizes de ordem 2 ˆ Pode aplicar-se o teorema de Laplace a uma fila (linha ou coluna) qualquer do determinante; no entanto, é vantajoso aplicar o teorema à fila do determinante que tem mais zeros, pois qualquer que seja o valor do complemento algébrico do zero, o seu produto por zero é zero, pelo que não é necessário calculá-lo menos cálculos! 33

4 O cálculo de determinantes de ordem superior a 3 pode ser muito fastidioso, sobretudo se houver poucos zeros na matriz No entanto, este cálculo pode ser bastante simplificado se se recorrer às Propriedades dos determinantes Seja A uma matriz quadrada de ordem n 1 O determinante de A T é igual ao determinante de A: A T = A Uma vez que A = A T e as linhas (colunas) de A são as colunas (linhas) de A T, qualquer propriedade de A que se refira às linhas de A também é válida quando aplicada às colunas, pelo que nas propriedades de A se fala, genericamente, em filas de A 2 Se A tem uma fila nula, então o determinante de A é igual a zero iguais 3 Se A tem duas filas paralelas ou, então o determinante de A é igual proporcionais a zero Exemplo: = 0 (porque L 2 = 2 L 1, ou ainda C 2 = 3 C 1 ou L 1 = 1 2 L 2 ou C 1 = 1 3 C 2) 4 Se uma fila de A é multiplicada por um escalar λ, então o determinante da matriz resultante é igual ao produto de λ pelo determinante de A det L 1 L 2 λ L j L n L 1 L 2 L n = λ det L j det [ C 1 C 2 λ C k C n ] = λ det [ C1 C 2 C k C n ] 34

5 Exemplos: = = (= 2 ( 2) = 4) 2 a λ b c λ d = λ a c b d com a, b, c, d, λ R n é a ordem da matriz Da propriedade 4, deduz-se que λ A = λ n A det λ L 1 λ L 2 λ L j λ L n n n L 1 L 2 = λ } λ {{ λ } det L j λ n det [ λ C 1 λ C k λ C n ]n n = } λ {{ λ [ } det C1 C k ] C n λ n L n Exemplo: 5 A = 5 2 A se A A se A A se A Se se trocarem, entre si, duas filas paralelas de A, o determinante da matriz resultante é igual ao simétrico do determinante de A Ou seja: uma troca troca de sinal do determinante! 35

6 6 O determinante de A não se altera se se adicionar a uma fila de A o produto de outra fila, paralela, por um escalar Ou seja: as operações elementares do tipo L i L i α L j e C k não alteram o valor do determinante! C k β C p Nota importante: Tendo em conta a propriedade 6, para calcular o determinante de A pode condensar-se uma das filas de A com operações elementares do tipo L i L i α L j ou C k C k β C p e depois aplicar o teorema de Laplace a essa fila Na prática, este é o método mais utilizado no cálculo dos determinantes 7 Se uma fila de A se pode desdobrar na soma de duas filas, o valor do determinante de A é igual à soma dos determinantes de duas matrizes em que nessa fila aparece uma das parcelas e as restantes filas mantêm-se L 1 L 1 L 1 L 2 L 2 L 2 A = L j + L A = det j L + det L j j L n L n L n [ B = C 1 C 2 C ] k + C k C n [ B = det C 1 C 2 C ] [ k C n + det C 1 C 2 C ] k C n Exemplos: = (= }{{} 0 duas + 0 }{{} duas = 0) linhas filas iguais proporcionais 2 a b + b c d + d = a c b d + a b c d com a, b, b, c, d, d R 36

7 Nota: A propriedade 7 pode estender-se a filas cujos elementos estão decompostos num número qualquer (finito) de parcelas Nota importante: Em geral, tem-se A + B A + B, com B matriz de ordem n 8 Se B é uma matriz de ordem n, então A B = A B Nota: A propriedade 8 generaliza-se a produtos de três ou mais matrizes exemplo: A B C = A B C A B C D = A B C D Por 9 Se A é uma matriz triangular (inferior ou superior), então o determinante de A é igual ao produto dos seus elementos principais elementos da diagonal principal Exemplos: 1 A = A = 1 ( 3) ( 5) = 15 matriz triangular inferior 2 B = B = 0 ( 1) 2 4 = 0 matriz diagonal (simultaneamente triangular superior e inferior) 3 I n = 1, n (n N) finito 37

8 10 O determinante de A é igual a zero se e só se a característica de A é inferior a n n é a ordem da matriz Simbolicamente: A n n A = 0 c(a) < n Note-se que esta propriedade é equivalente (por negação) a A n n A = 0 c(a) = n Cálculo do determinante por condensação de matrizes Uma matriz quadrada A n n pode ser transformada numa matriz triangular T n n através da condensação: A n n condensação T n n (matriz triangular) Pelas propriedades dos determinantes, já conhecidas, pode calcular-se det(a) a partir de det(t ), desde que se estabeleça a seguinte correspondência entre as operações elementares e as alterações no valor do determinante: ˆ Mudar o sinal do determinante quando se trocam, entre si, duas filas paralelas ˆ Multiplicar o determinante por 1 λ quando se multiplica uma fila por λ (λ 0) ˆ As operações elementares do tipo L i L i α L j e C k o valor do determinante C k β C p não alteram 38

9 Aplicações da teoria dos determinantes Inversão de matrizes Anteriormente, através do estudo da inversa, tinha-se visto que A n n é regular c(a) = n Por outro lado, pela propriedade 10 dos determinantes, tem-se que A n n c(a) = n A = 0 Então, pode concluir-se o seguinte teorema: Teorema 2 Uma matriz quadrada é regular se e só se o seu determinante é diferente de zero Simbolicamente: A n n A é regular A = 0 Por negação, obtém-se: A n n A é singular A = 0 Tendo em conta o teorema anterior e a propriedade 8 dos determinantes, pode deduzir-se que se A é regular, então A A 1 = I n A A 1 = I n = 1 A A 1 = 1 A 1 = 1 A ( A = 0, pois A é regular) ou seja, tem-se a propriedade 11 Se A é regular, então A 1 = 1 A (e também A = 1 A 1 ) Nota: Sendo A e B matrizes quadradas da mesma ordem, A = B A = B mas o contrário em geral não se verifica: A = B A = B 39

10 Para calcular a inversa de uma matriz A, utilizando determinantes, é necessário conhecer-se o seu determinante (que deve ser diferente de zero) e a matriz que se vai definir de seguida: Definição 3 (Matriz Adjunta) Chama-se Adjunta da matriz A à transposta da matriz que se obtém de A por substituição de cada um dos seus elementos pelo respectivo complemento algébrico Representa-se por adj A Exemplo: A = adj A = T = T = Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, prova-se que A 0 0 A Adj A = 0 A 0 = A I n (1) 0 0 A e A 0 0 Adj A A = 0 A 0 = A I n (2) 0 0 A 40

11 Assim, no caso de A ser regular, A = 0 e, a partir da relação (1), tem-se A Adj A = A I n (A Adj A) 1 A = ( A I n) 1 A A ( 1 A adj A) = I n 1 A De igual modo, a partir da relação (2), prova-se que Logo, por definição de inversa, vem que ( 1 A adj A) A = I n A 1 = 1 adj A A }{{} A 1 Nota: Também se verifica A = 1 adj A 1 A 1 A Exemplo: Relativamente à matriz A do exemplo da adjunta, tem-se que A = = 3 ( 0) e portanto A 1 = 1 3 adj A = =

12 Resolução de sistemas de equações lineares (Sistemas de Cramer) Definição 4 (Sistema de Cramer) Um sistema de n equações e n incógnitas, representado na forma matricial por A X = b (com A matriz quadrada de ordem n) diz-se um Sistema de Cramer se A 0 Um sistema de Cramer é um sistema sempre possível determinado, isto é, admite uma única solução (porque A = 0 A é regular e portanto c(a) = n; então, pelo teorema de Rouché, sabe-se que o sistema é possível determinado) Existe uma regra prática para resolver este tipo de sistemas: nº de incógnitas Regra de Cramer Se A é uma matriz de ordem n e invertível, então a solução do sistema (de Cramer) A X = b com n equações nas n incógnitas x 1, x 2,, x n é dada por x 1 = A 1 A, x 2 = A 2 A,, x n = A n A, onde, para cada k = 1, 2,, n, A k é a matriz que se obtém de A por substituição da coluna k por b Exemplo: { 3 x1 + 4 x 2 = 9 2 x 1 x 2 = 1 forma matricial x 1 x 2 [ ] A [ x1 x 2 X ] [ = ] 9 1 b A = = 3 8 = 11 0, pelo que se trata de um sistema de Cramer Usando a regra de Cramer para resolver o sistema (que é, portanto, possível determinado), vem que x 1 = = A 11 = 5 11 = 5 11 e x 2 = = = 21 A =

13 Cálculo do determinante por condensação de matrizes Uma matriz quadrada A n n pode ser transformada numa matriz triangular T n n através da condensação: A n n condensação T n n (matriz triangular) Pelas propriedades dos determinantes, já conhecidas, pode calcular-se det(a) a partir de det(t ), desde que se estabeleça a seguinte correspondência entre as operações elementares e as alterações no valor do determinante: ˆ Mudar o sinal do determinante quando se trocam, entre si, duas filas paralelas ˆ Multiplicar o determinante por 1 λ fila por λ (λ 0) quando se multiplica uma ˆ As operações elementares do tipo L i L i α L j e C k C k β C p não alteram o valor do determinante

(1, 6) é também uma solução da equação, pois 3 1 + 2 6 = 15, isto é, 15 = 15. ( 23,

(1, 6) é também uma solução da equação, pois 3 1 + 2 6 = 15, isto é, 15 = 15. ( 23, Sistemas de equações lineares generalidades e notação matricial Definição Designa-se por equação linear sobre R a uma expressão do tipo com a 1, a 2,... a n, b R. a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b (1)

Leia mais

Determinantes. Vamos associar a cada matriz quadrada A um número a que chamaremos determinante. a11 a Uma matriz de ordem 2, A =

Determinantes. Vamos associar a cada matriz quadrada A um número a que chamaremos determinante. a11 a Uma matriz de ordem 2, A = Determinantes Vamos associar a cada matriz quadrada A um número a que chamaremos determinante de A. [ ] a11 a Uma matriz de ordem 2, A 12, é invertível se e só se a 21 a 22 a 11 a 22 a 21 a 12 0, como

Leia mais

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU Departamento Matemática Disciplina Matemática I Curso Gestão de Empresas Ano 1 o Ano Lectivo 2007/2008 Semestre 1 o Apontamentos Teóricos:

Leia mais

Determinantes. ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica Determinantes 1 / 17

Determinantes. ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica Determinantes 1 / 17 Capítulo 4 Determinantes ALGA 2008/2009 Mest Int Eng Electrotécnica Determinantes 1 / 17 Definições Seja M n n o conjunto das matrizes quadradas reais (ou complexas) de ordem n Chama-se determinante de

Leia mais

Matrizes e Sistemas Lineares. Professor: Juliano de Bem Francisco. Departamento de Matemática Universidade Federal de Santa Catarina.

Matrizes e Sistemas Lineares. Professor: Juliano de Bem Francisco. Departamento de Matemática Universidade Federal de Santa Catarina. e Aula Zero - Álgebra Linear Professor: Juliano de Bem Francisco Departamento de Matemática Universidade Federal de Santa Catarina agosto de 2011 Outline e e Part I - Definição: e Consideremos o conjunto

Leia mais

ALGA - Eng.Civil - ISE - 2009/2010 - Matrizes 1. Matrizes

ALGA - Eng.Civil - ISE - 2009/2010 - Matrizes 1. Matrizes ALGA - Eng.Civil - ISE - 00/010 - Matrizes 1 Matrizes Introdução Se m e n são números naturais, chama-se matriz real de tipo m n (m vezes n ou m por n) a uma aplicação A : f1; ; :::; mg f1; ; :::; ng R:

Leia mais

Determinantes. Matemática Prof. Mauricio José

Determinantes. Matemática Prof. Mauricio José Determinantes Matemática Prof. Mauricio José Determinantes Definição e Conceito Matriz de ordem 1 Dizemos que um determinante é um resultado (numérico) de operações que são realizadas em uma matriz quadrada.

Leia mais

3 Determinantes. 2 Definição Número de trocas de ordem de um termo de uma matriz. 3 Definição Determinante de uma Matriz ( ( ))

3 Determinantes. 2 Definição Número de trocas de ordem de um termo de uma matriz. 3 Definição Determinante de uma Matriz ( ( )) Nova School of Business and Economics Prática Álgebra Linear 1 Definição Termo de uma matriz Produto de elementos de, um e um só por linha e por coluna. Ex.: 2 Definição Número de trocas de ordem de um

Leia mais

MATEMÁTICA II. Aula 12. 3º Bimestre. Determinantes Professor Luciano Nóbrega

MATEMÁTICA II. Aula 12. 3º Bimestre. Determinantes Professor Luciano Nóbrega 1 MATEMÁTICA II Aula 12 Determinantes Professor Luciano Nóbrega º Bimestre 2 DETERMINANTES DEFINIÇÃO A toda matriz quadrada está associado um número real ao qual damos o nome de determinante. O determinante

Leia mais

Álgebra Linear - Exercícios (Determinantes)

Álgebra Linear - Exercícios (Determinantes) Álgebra Linear - Exercícios (Determinantes) Índice 1 Teoria dos Determinantes 3 11 Propriedades 3 12 CálculodeDeterminantes 6 13 DeterminanteseRegularidade 8 14 TeoremadeLaplace 11 15 Miscelânea 16 2 1

Leia mais

Álgebra Linear Computacional

Álgebra Linear Computacional Álgebra Linear Computacional Geovan Tavares, Hélio Lopes e Sinésio Pesco. PUC-Rio Departamento de Matemática Laboratório Matmidia http://www.matmidia.mat.puc-rio.br Sistemas de Equações Lineares Espaços

Leia mais

Prof. MSc. David Roza José 1/26

Prof. MSc. David Roza José 1/26 1/26 Sistemas Lineares Objetivos: Entender a notação matricial; Identificar matrizes: identidade, diagonal, simétrica, triangular e tridiagonal; Como multiplicar matrizes e verificar quando esta multiplicação

Leia mais

Unidade III- Determinantes

Unidade III- Determinantes Unidade III- Determinantes - Situando a Temática A teoria dos determinantes tem origem em meados do século XVII, quando eram estudados processos para resolução de sistemas lineares Hoje em dia, embora

Leia mais

Matrizes. matriz de 2 linhas e 2 colunas. matriz de 3 linhas e 3 colunas. matriz de 3 linhas e 1 coluna. matriz de 1 linha e 4 colunas.

Matrizes. matriz de 2 linhas e 2 colunas. matriz de 3 linhas e 3 colunas. matriz de 3 linhas e 1 coluna. matriz de 1 linha e 4 colunas. Definição Uma matriz do tipo m n (lê-se m por n), com m e n, sendo m e n números inteiros, é uma tabela formada por m n elementos dispostos em m linhas e n colunas. Estes elementos podem estar entre parênteses

Leia mais

Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia Civil Ano lectivo 2005/2006 Folha 1.

Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia Civil Ano lectivo 2005/2006 Folha 1. Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia Civil Ano lectivo 2005/2006 Folha 1 Matrizes 1 Considere as matrizes A = 1 2 3 2 3 1 3 1 2 Calcule

Leia mais

Semana 7 Resolução de Sistemas Lineares

Semana 7 Resolução de Sistemas Lineares 1 CÁLCULO NUMÉRICO Semana 7 Resolução de Sistemas Lineares Professor Luciano Nóbrega UNIDADE 1 2 INTRODUÇÃO Considere o problema de determinar as componentes horizontais e verticais das forças que atuam

Leia mais

Exercícios de Aprofundamento Mat Polinômios e Matrizes

Exercícios de Aprofundamento Mat Polinômios e Matrizes . (Unicamp 05) Considere a matriz A A e A é invertível, então a) a e b. b) a e b 0. c) a 0 e b 0. d) a 0 e b. a 0 A, b onde a e b são números reais. Se. (Espcex (Aman) 05) O polinômio q(x) x x deixa resto

Leia mais

Inversão de Matrizes

Inversão de Matrizes Inversão de Matrizes Prof. Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2014.2 13 de

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática 1 a Lista - MAT 17 - Introdução à Álgebra Linear II/2004 1 Considere as matrizes A, B, C, D e E com respectivas ordens,

Leia mais

Álgebra Linear AL. Luiza Amalia Pinto Cantão. Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP luiza@sorocaba.unesp.

Álgebra Linear AL. Luiza Amalia Pinto Cantão. Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP luiza@sorocaba.unesp. Álgebra Linear AL Luiza Amalia Pinto Cantão Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP luiza@sorocaba.unesp.br Sistemas Lienares 1 Sistemas e Matrizes 2 Operações Elementares e

Leia mais

Ficha de Exercícios nº 2

Ficha de Exercícios nº 2 Nova School of Business and Economics Álgebra Linear Ficha de Exercícios nº 2 Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares 1 O produto de duas matrizes, A e B, é a matriz nula (mxn). O que pode

Leia mais

Capítulo 2 - Determinantes

Capítulo 2 - Determinantes Capítulo 2 - Determinantes Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática I - 1 o Semestre 2011/2012 Matemática I 1/ 19 DeMat-ESTiG Sumário

Leia mais

MATEMÁTICA MÓDULO 11 DETERMINANTES. Professor Matheus Secco

MATEMÁTICA MÓDULO 11 DETERMINANTES. Professor Matheus Secco MATEMÁTICA Professor Matheus Secco MÓDULO 11 DETERMINANTES INTRODUÇÃO Neste módulo, não daremos a definição padrão de determinantes via somatório envolvendo sinais de permutações, pois não há necessidade

Leia mais

Álgebra Linear AL. Luiza Amalia Pinto Cantão. Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP

Álgebra Linear AL. Luiza Amalia Pinto Cantão. Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP Álgebra Linear AL Luiza Amalia Pinto Cantão Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP luiza@sorocaba.unesp.br Determinantes 1 Permutação e Inversão 2 Determinantes de matriz de

Leia mais

a 21 a 22... a 2n... a n1 a n2... a nn

a 21 a 22... a 2n... a n1 a n2... a nn Projeto TEIA DO SABER 2006 UNESP Campus de Guaratinguetá Secretaria de Estado da Educação, SP. Diretoria de Ensino da Região de Guaratinguetá Coordenador Prof. Dr. José Ricardo Zeni Metodologias de Ensino

Leia mais

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU. Apontamentos Teóricos: Matrizes e Sistemas de Equações Lineares

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU. Apontamentos Teóricos: Matrizes e Sistemas de Equações Lineares INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU Departamento Matemática Disciplina Matemática I Curso Gestão de Empresas Ano o Ano Lectivo 2007/2008 Semestre o Apontamentos Teóricos:

Leia mais

n. 2 MATRIZ INVERSA (I = matriz unidade ou matriz identidade de ordem n / matriz canônica do R n ).

n. 2 MATRIZ INVERSA (I = matriz unidade ou matriz identidade de ordem n / matriz canônica do R n ). n. 2 MATRIZ INVERSA Modo : utilizando a matriz identidade Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A é matriz invertível se existir uma matriz B tal que A. B = B. A = I. (I = matriz unidade ou

Leia mais

Fórmulas do Traço e o Cálculo de Matrizes Inversas

Fórmulas do Traço e o Cálculo de Matrizes Inversas 2013: Trabalho de Conclusão de Curso do Mestrado Profissional em Matemática - PROFMAT Universidade Federal de São João del-rei - UFSJ Sociedade Brasileira de Matemática - SBM Fórmulas do Traço e o Cálculo

Leia mais

Universidade Federal de Santa Maria Centro de Ciências Naturais e Exatas Departamento de Física Laboratório de Teoria da Matéria Condensada

Universidade Federal de Santa Maria Centro de Ciências Naturais e Exatas Departamento de Física Laboratório de Teoria da Matéria Condensada Universidade Federal de Santa Maria Centro de Ciências Naturais e Exatas Departamento de Física Laboratório de Teoria da Matéria Condensada Sistema de equações lineares e não lineares Tiago de Souza Farias

Leia mais

Apostila de Matemática 11 Determinante

Apostila de Matemática 11 Determinante Apostila de Matemática 11 Determinante 1.0 Definições A determinante só existe se a matriz for quadrada. A tabela é fechada por 2 traços. Determinante de matriz de ordem 1 a 11. 1 2.0 Determinante Matriz

Leia mais

MATRIZES. Álgebra Linear e Geometria Analítica Prof. Aline Paliga

MATRIZES. Álgebra Linear e Geometria Analítica Prof. Aline Paliga MATRIZES Álgebra Linear e Geometria Analítica Prof. Aline Paliga INTRODUÇÃO Definição: chama-se matriz de ordem m por n a um quadro de m xn elementos dispostos em m linhas e n colunas. a a a a a a a a

Leia mais

Exercícios de Álgebra Linear

Exercícios de Álgebra Linear Exercícios de Álgebra Linear Mestrado Integrado em Engenharia do Ambiente Mestrado Integrado em Engenharia Biológica Nuno Martins Departamento de Matemática Instituto Superior Técnico Setembro de Índice

Leia mais

Introdução ao determinante

Introdução ao determinante ao determinante O que é? Quais são suas propriedades? Como se calcula (Qual é a fórmula ou algoritmo para o cálculo)? Para que serve? Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld

Leia mais

Determinantes. De nição de determinante de uma matriz quadrada. Determinantes - ALGA - 2004/05 15

Determinantes. De nição de determinante de uma matriz quadrada. Determinantes - ALGA - 2004/05 15 Determnantes - ALGA - 004/05 15 Permutações Determnantes Seja n N Uma permutação p = (p 1 ; p ; : : : ; p n ) do conjunto f1; ; ; ng é um arranjo dos n números em alguma ordem, sem repetções ou omssões

Leia mais

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE CURSO: CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR PROF.: MARCELO SILVA.

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE CURSO: CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR PROF.: MARCELO SILVA. UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE CURSO: CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR PROF.: MARCELO SILVA Determinantes Introdução Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número

Leia mais

Prof a Dr a Ana Paula Marins Chiaradia MATRIZ INVERSA. Menores: O menor de um elemento a ij de uma matriz A de ordem n é definido como sendo o

Prof a Dr a Ana Paula Marins Chiaradia MATRIZ INVERSA. Menores: O menor de um elemento a ij de uma matriz A de ordem n é definido como sendo o Projeto TEIA DO SABER 006 UNESP Campus de Guaratinguetá Secretaria de Estado da Educação, SP Diretoria de Ensino da Região de Guaratinguetá Coordenador Prof Dr José Ricardo Zeni Metodologias de Ensino

Leia mais

Álgebra Linear. Aula 02

Álgebra Linear. Aula 02 Álgebra Linear Aula Determinante Para aproveitar 1% dessa aula vocês precisam saber: ü Matrizes ü Equação do 1º grau ü Equação do º grau Como representamos o determinante de uma matriz? Colocando os elementos

Leia mais

MATRIZ - FORMAÇÃO E IGUALDADE

MATRIZ - FORMAÇÃO E IGUALDADE MATRIZ - FORMAÇÃO E IGUALDADE 1. Seja X = (x ij ) uma matriz quadrada de ordem 2, onde i + j para i = j ;1 - j para i > j e 1 se i < j. A soma dos seus elementos é igual a: 2. Se M = ( a ij ) 3x2 é uma

Leia mais

EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA (sistemas de equações lineares e outros exercícios)

EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA (sistemas de equações lineares e outros exercícios) UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA (sistemas de equações lineares e outros eercícios) ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Eercícios

Leia mais

CÁLCULO DE MATRIZ PARA ELEMENTOS FINITOS

CÁLCULO DE MATRIZ PARA ELEMENTOS FINITOS CÁCUO DE MATRIZ PARA EEMENTOS FINITOS Sistemas de equações algébricas que relacionam Forças, Deslocamentos e Coeicientes de Rigidez podem ser representados e resolvidos de orma compacta e elegante com

Leia mais

. (A verificação é imediata.)

. (A verificação é imediata.) 1 Universidade de São Paulo/Faculdade de Educação Seminários de Ensino de Matemática (SEMA-FEUSP) Coordenador: Nílson José Machado novembro/2010 Instabilidade em Sistemas de Equações Lineares Marisa Ortegoza

Leia mais

CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE

CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA Fatoração Equação do 1º Grau Equação do 2º Grau Aula 02: Fatoração Fatorar é transformar uma soma em um produto. Fator comum: Agrupamentos: Fatoração Quadrado Perfeito Fatoração

Leia mais

ficha 2 determinantes

ficha 2 determinantes Exercícios de Álgebra Linear ficha 2 determinantes Exercícios coligidos por Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico 2 o semestre 2011/12 Determinantes 2 Sendo

Leia mais

Matrizes. Sumário. 1 pré-requisitos. 2 Tipos de matrizes. Sadao Massago 2011-05-05 a 2014-03-14. 1 pré-requisitos 1. 2 Tipos de matrizes.

Matrizes. Sumário. 1 pré-requisitos. 2 Tipos de matrizes. Sadao Massago 2011-05-05 a 2014-03-14. 1 pré-requisitos 1. 2 Tipos de matrizes. Matrizes Sadao Massago 20-05-05 a 204-03-4 Sumário pré-requisitos 2 Tipos de matrizes 3 Operações com matrizes 3 4 Matriz inversa e transposta 4 5 Determinante e traço 5 Neste texto, faremos uma breve

Leia mais

Aula 8 Variações da Eliminação de Gauss/Fatoração LU.

Aula 8 Variações da Eliminação de Gauss/Fatoração LU. Aula 8 Variações da Eliminação de Gauss/Fatoração LU. MS211 - Cálculo Numérico Marcos Eduardo Valle Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade

Leia mais

Hewlett-Packard DETERMINANTE. Aulas 01 a 04. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz

Hewlett-Packard DETERMINANTE. Aulas 01 a 04. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Hewlett-Packard DETERMINANTE Aulas 0 a 04 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ano: 206 Sumário DETERMINANTE... Exemplo... Exemplo 2... EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS... Exemplo 3... EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS...

Leia mais

Notas em Álgebra Linear

Notas em Álgebra Linear Notas em Álgebra Linear 1 Pedro Rafael Lopes Fernandes Definições básicas Uma equação linear, nas variáveis é uma equação que pode ser escrita na forma: onde e os coeficientes são números reais ou complexos,

Leia mais

FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA

FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA Aula Matrizes Professor Luciano Nóbrega UNIDADE MATRIZES _ INTRODUÇÃO DEFINIÇÃO Uma matriz é uma tabela com m linhas e n colunas que contém m. n elementos. EXEMPLO: Ângulo 0º

Leia mais

ÁLGEBRA LINEAR AULA 4

ÁLGEBRA LINEAR AULA 4 ÁLGEBRA LINEAR AULA 4 Luís Felipe Kiesow de Macedo Universidade Federal de Pelotas - UFPel 1 / 14 1 Introdução 2 Desenvolvimento de Laplace 3 Matriz Adjunta 4 Matriz Inversa 5 Regra de Cramer 6 Posto da

Leia mais

Aulas práticas de Álgebra Linear

Aulas práticas de Álgebra Linear Ficha 2 Determinantes Aulas práticas de Álgebra Linear Mestrado Integrado em Engenharia Eletrotécnica e de Computadores 1 o semestre 2016/17 Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto

Leia mais

Neste módulo, não daremos a definição padrão de determinantes via somatório envolvendo sinais de permutações, pois não há necessidade de entrarmos em

Neste módulo, não daremos a definição padrão de determinantes via somatório envolvendo sinais de permutações, pois não há necessidade de entrarmos em Neste módulo, não daremos a definição padrão de determinantes via somatório envolvendo sinais de permutações, pois não há necessidade de entrarmos em tantos detalhes para os concursos desejados. Assim,

Leia mais

Álgebra Linear AL. Luiza Amalia Pinto Cantão. Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP luiza@sorocaba.unesp.

Álgebra Linear AL. Luiza Amalia Pinto Cantão. Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP luiza@sorocaba.unesp. Álgebra Linear AL Luiza Amalia Pinto Cantão Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP luiza@sorocaba.unesp.br Autovalores e Autovetores Definição e Exemplos 2 Polinômio Característico

Leia mais

ALGA - Eng.Civil e Eng. Topográ ca - ISE /

ALGA - Eng.Civil e Eng. Topográ ca - ISE / ALGA - Eng.Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 0/0 0. (a) Calcule o sinal das seguintes permutações (i) (; ; ; ; ) (ii) (; ; ; ; ; ) (b) Use os resultados da alínea (a) para calcular, usando a de nição, os

Leia mais

Resolução de sistemas de equações lineares: Método de eliminação de Gauss

Resolução de sistemas de equações lineares: Método de eliminação de Gauss Resolução de sistemas de equações lineares: Método de eliminação de Gauss Marina Andretta ICMC-USP 21 de março de 2012 Baseado no livro Análise Numérica, de R L Burden e J D Faires Marina Andretta (ICMC-USP)

Leia mais

Eletricidade Aplicada

Eletricidade Aplicada Eletricidade Aplicada Profa. Grace S. Deaecto Instituto de Ciência e Tecnologia / UNIFESP 12231-280, São J. dos Campos, SP, Brasil. grace.deaecto@unifesp.br Novembro, 2012 Profa. Grace S. Deaecto Eletricidade

Leia mais

Disciplina: Álgebra Linear - Engenharias ], C = Basta adicionar elemento a elemento de A e B que ocupam a mesma posição na matriz.

Disciplina: Álgebra Linear - Engenharias ], C = Basta adicionar elemento a elemento de A e B que ocupam a mesma posição na matriz. Universidade Federal de Goiás Campus Catalão Departamento de Matemática Disciplina: Álgebra Linear - Engenharias Professor: André Luiz Galdino Gabarito da 1 a Lista de Exercícios 1. Sejam Encontre: [ 1

Leia mais

2) Escreva um algoritmo que leia um conjunto de 10 notas, armazene-as em uma variável composta chamada NOTA e calcule e imprima a sua média.

2) Escreva um algoritmo que leia um conjunto de 10 notas, armazene-as em uma variável composta chamada NOTA e calcule e imprima a sua média. 1) Inicializar um vetor de inteiros com números de 0 a 99 2) Escreva um algoritmo que leia um conjunto de 10 notas, armazene-as em uma variável composta chamada NOTA e calcule e imprima a sua média 3)

Leia mais

Universidade de Lisboa Faculdade de Ciências Departamento de Matemática. Introdução do conceito de matriz no ensino secundário

Universidade de Lisboa Faculdade de Ciências Departamento de Matemática. Introdução do conceito de matriz no ensino secundário Universidade de Lisboa Faculdade de Ciências Departamento de Matemática Introdução do conceito de matriz no ensino secundário Cristina Maria Ramos de Pereira Ribeiro Dissertação Mestrado em Matemática

Leia mais

Teoria Básica e o Método Simplex. Prof. Ricardo Santos

Teoria Básica e o Método Simplex. Prof. Ricardo Santos Teoria Básica e o Método Simple Prof. Ricardo Santos Teoria Básica do Método Simple Por simplicidade, a teoria é desenvolvida para o problema de PL na forma padrão: Minimizar f()=c T s.a. A=b >= Considere

Leia mais

Exercícios. setor Aula 39 DETERMINANTES (DE ORDENS 1, 2 E 3) = Resposta: 6. = sen 2 x + cos 2 x Resposta: 1

Exercícios. setor Aula 39 DETERMINANTES (DE ORDENS 1, 2 E 3) = Resposta: 6. = sen 2 x + cos 2 x Resposta: 1 setor 0 00508 Aula 39 ETERMINANTES (E ORENS, E 3) A toda matriz quadrada A de ordem n é associado um único número, chamado de determinante de A e denotado, indiferentemente, por det(a) ou por A. ETERMINANTES

Leia mais

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 1

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior  1 Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Aula 07 Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares. Conteúdo 7. Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares...2 7.1. Matrizes...2

Leia mais

Matrizes material teórico

Matrizes material teórico M A T R I Z E S A Matemática é a mais simples, a mais perfeita e a mais antiga de todas as ciências. (Jacques Hadarmard) "Aqueles que estudam seriamente a matemática acabam tomados de uma espécie de paixão

Leia mais

Capítulo 7. 1. Bissetrizes de duas retas concorrentes. Proposição 1

Capítulo 7. 1. Bissetrizes de duas retas concorrentes. Proposição 1 Capítulo 7 Na aula anterior definimos o produto interno entre dois vetores e vimos como determinar a equação de uma reta no plano de diversas formas. Nesta aula, vamos determinar as bissetrizes de duas

Leia mais

Matrizes e Sistemas Lineares

Matrizes e Sistemas Lineares MATEMÁTICA APLICADA Matrizes e Sistemas Lineares MATRIZES E SISTEMAS LINEARES. Matrizes Uma matriz de ordem mxn é uma tabela, com informações dispostas em m linhas e n colunas. Nosso interesse é em matrizes

Leia mais

Determinantes. Prof. Márcio Nascimento

Determinantes. Prof. Márcio Nascimento Determinantes Prof. Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2015.2 4 de fevereiro

Leia mais

Álgebra Linear e Geometria Analítica

Álgebra Linear e Geometria Analítica Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia Electrotécnica Escola Superior de Tecnologia de Viseu www.estv.ipv.pt/paginaspessoais/lucas lucas@mat.estv.ipv.pt 7/8 Álgebra Linear e Geometria Analítica

Leia mais

10 - LEIS DE KIRCHHOFF

10 - LEIS DE KIRCHHOFF 0 - LS KRCHHOFF 0.- FNÇÃO NÓ, RAMO MALHA Quando em um circuito elétrico existe mais do que uma fonte de tensão e mais do que um resistor, geralmente são necessárias outras leis, além da lei de Ohm, para

Leia mais

Matriz, Sistema Linear e Determinante

Matriz, Sistema Linear e Determinante Matriz, Sistema Linear e Determinante 1.0 Sistema de Equações Lineares Equação linear de n variáveis x 1, x 2,..., x n é uma equação que pode ser expressa na forma a1x1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, onde

Leia mais

Onde: A é a matriz do sistema linear, X, a matriz das incógnitas e B a matriz dos termos independentes da equação

Onde: A é a matriz do sistema linear, X, a matriz das incógnitas e B a matriz dos termos independentes da equação Onde: A é a matriz do sistema linear, X, a matriz das incógnitas e B a matriz dos termos independentes da equação À seguir eemplificaremos e analisaremos cada uma dessas três situações. : A X B Podemos

Leia mais

Matrizes. Curso de linguagem matemática Professor Renato Tião

Matrizes. Curso de linguagem matemática Professor Renato Tião Matrizes Curso de linguagem matemática Professor Renato Tião Uma matriz A m n é uma maneira de apresentar informações numéricas ou algébricas dispostas como numa tabela com m linhas e n colunas cercada

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL ADRIANO DA SILVA DE OLIVEIRA TRANSFORMAÇÕES ELEMENTARES NAS LINHAS DE

Leia mais

MÉTODO SIMPLEX QUADRO SIMPLEX

MÉTODO SIMPLEX QUADRO SIMPLEX MÉODO SIMPLEX QUDRO SIMPLEX O Método Simplex é um procedimento matricial para resolver o modelo de programação linear na forma normal. omeçando com X, o método localiza sucessivamente outras soluções básicas

Leia mais

notas de álgebra linear

notas de álgebra linear notas de álgebra linear maria joana soares setembro 2010 Conteúdo 1 Sistemas Lineares 1 11 Introdução 1 12 Eliminação Gaussiana 4 121 Matriz simples e matriz ampliada de um sistema 5 122 Matrizes em escada

Leia mais

étodos uméricos SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES (Continuação) Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

étodos uméricos SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES (Continuação) Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA étodos uméricos SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES (Continuação) Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI PRÓ-REITORIA DE PESQUISA CENTRO

Leia mais

Matrizes - ALGA /05 1. Matrizes

Matrizes - ALGA /05 1. Matrizes Matrizes - ALGA - 004/0 1 Matrizes Introdução Se m e n são números naturais, chama-se matriz real de tipo m n a uma função A de nida no conjunto f(i; j) : i f1; ; :::; mg e j f1; ; :::; ngg e com valores

Leia mais

Decomposição em Fracções Simples

Decomposição em Fracções Simples Decomposição em Fracções Simples Luís Borges de Almeida Março de 202 Introdução A decomposição de funções racionais em fracções simples (também chamadas fracções parciais ou fracções elementares) é uma

Leia mais

Álgebra Linear e Geometria Analítica. 6ª aula

Álgebra Linear e Geometria Analítica. 6ª aula Álgebra Linear e Geometria nalítica 6ª aula DETERMINNTES Permutações Uma permutação σ ( p, p, p,, p n ) dos elementos do conjunto {,,,, n} éum arranjo dos n números em alguma ordem sem repetições ou omissões

Leia mais

Sistemas Lineares. ( Aula 3 )

Sistemas Lineares. ( Aula 3 ) Sistemas Lineares ( Aula 3 ) Determinante Definição: Determinante Matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é do tipo n x n). A toda matriz quadrada está associado um

Leia mais

Capítulo VI. Teoremas de Circuitos Elétricos

Capítulo VI. Teoremas de Circuitos Elétricos apítulo VI Teoremas de ircuitos Elétricos 6.1 Introdução No presente texto serão abordados alguns teoremas de circuitos elétricos empregados freqüentemente em análises de circuitos. Esses teoremas têm

Leia mais

Capítulo 4 - Valores e Vectores Próprios

Capítulo 4 - Valores e Vectores Próprios Capítulo 4 - Valores e Vectores Próprios Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática I - 1 o Semestre 2011/2012 Matemática I 1/ 15

Leia mais

1. Números. MatemáticaI Gestão ESTG/IPB Departamento de Matemática. Números inteiros. Nota: No Brasil costuma usar-se: bilhão para o número

1. Números. MatemáticaI Gestão ESTG/IPB Departamento de Matemática. Números inteiros. Nota: No Brasil costuma usar-se: bilhão para o número MatemáticaI Gestão ESTG/IPB Departamento de Matemática 1. Números Números inteiros 0 10 1 1 10 10 2 10 100 3 10 1000 6 10 1000000 10 10 12 18 Uma unidade (um) Uma dezena (dez) Uma centena (cem) Um milhar

Leia mais

Sistemas de equações lineares

Sistemas de equações lineares ALGA- / - Sistemas de Equações Lineares Sistemas de equações lineares Introdução Uma equação linear nas incógnitas ou variáveis x ; x ; :::; x n é uma expressão da forma: a x + a x + ::: + a n x n = b

Leia mais

POTENCIAÇÂO. A potenciação é uma forma de representar uma multiplicação de fatores iguais.

POTENCIAÇÂO. A potenciação é uma forma de representar uma multiplicação de fatores iguais. POTENCIAÇÂO A potenciação é uma forma de representar uma multiplicação de fatores iguais. A potência é o resultado. x x x cada termo desta multiplicação é chamado de fator, portanto temos 4 fatores iguais

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE. Aula 03 Inversão de matrizes

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE. Aula 03 Inversão de matrizes UNIVERSIDDE FEDERL DO RIO GRNDE DO NORTE Prof. Hector Carrion S. Álgebra Linear ula Inversão de matrizes Resumo Matriz inversa Inversa de matriz elementar Matriz adjunta Inversão de matrizes Uma matriz

Leia mais

RESOLVER EQUAÇÕES. EXEMPLO. Seja a equação:

RESOLVER EQUAÇÕES. EXEMPLO. Seja a equação: RESOLVER EQUAÇÕES É vasto o conjunto de equações que podem apresentar-se no domínio da Matemática, bem como na vida corrente, em que aquela e os seus resultados têm de aplicar-se para resolver problemas

Leia mais

AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM EM PROCESSO. Matemática. 3ª Série do Ensino Médio Turma 2º bimestre de 2015 Data / / Escola Aluno

AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM EM PROCESSO. Matemática. 3ª Série do Ensino Médio Turma 2º bimestre de 2015 Data / / Escola Aluno AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM EM PROCESSO Matemática 3ª Série do Ensino Médio Turma 2º bimestre de 2015 Data / / Escola Aluno Questão 1 O perímetro de um piso retangular de cerâmica mede 14 m e sua área, 12

Leia mais

TEORIA 5: EQUAÇÕES E SISTEMAS DO 1º GRAU MATEMÁTICA BÁSICA

TEORIA 5: EQUAÇÕES E SISTEMAS DO 1º GRAU MATEMÁTICA BÁSICA TEORIA 5: EQUAÇÕES E SISTEMAS DO 1º GRAU MATEMÁTICA BÁSICA Nome: Turma: Data / / Prof: Walnice Brandão Machado Equações de primeiro grau Introdução Equação é toda sentença matemática aberta que exprime

Leia mais

MATEMÁTICA POLINÔMIOS

MATEMÁTICA POLINÔMIOS MATEMÁTICA POLINÔMIOS 1. F.I.Anápolis-GO Seja o polinômio P(x) = x 3 + ax 2 ax + a. O valor de P(1) P(0) é: a) 1 b) a c) 2a d) 2 e) 1 2a 1 2. UFMS Considere o polinômio p(x) = x 3 + mx 20, onde m é um

Leia mais

Bases Matemáticas. Daniel Miranda 1. 23 de maio de 2011. sala 819 - Bloco B página: daniel.miranda

Bases Matemáticas. Daniel Miranda 1. 23 de maio de 2011. sala 819 - Bloco B página:  daniel.miranda Daniel 1 1 email: daniel.miranda@ufabc.edu.br sala 819 - Bloco B página: http://hostel.ufabc.edu.br/ daniel.miranda 23 de maio de 2011 Elementos de Lógica e Linguagem Matemática Definição Uma proposição

Leia mais

n. 4 DETERMINANTES: SARRUS E LAPLACE

n. 4 DETERMINANTES: SARRUS E LAPLACE n. 4 DETERMINANTES: SARRUS E LAPLACE A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante. Determinante é uma função matricial que associa a cada matriz quadrada um escalar,

Leia mais

I Lista de Álgebra Linear /02 Matrizes-Determinantes e Sistemas Prof. Iva Zuchi Siple

I Lista de Álgebra Linear /02 Matrizes-Determinantes e Sistemas Prof. Iva Zuchi Siple 1 I Lista de Álgebra Linear - 2012/02 Matrizes-Determinantes e Sistemas Prof. Iva Zuchi Siple 1. Determine os valores de x e y que tornam verdadeira a igualdade ( x 2 + 5x x 2 ( 6 3 2x y 2 5y y 2 = 5 0

Leia mais

Apostila: Matrizes e Determinantes

Apostila: Matrizes e Determinantes Apostila: Matrizes e Determinantes Prof. André Luís Rossi de Oliveira Matrizes. Conceitos Básicos Chamamos de matriz a uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Exemplos: () Considere a tabela

Leia mais

Determinantes. det A 6 ( 4) a a a. a a a. det A a a a. a a a

Determinantes. det A 6 ( 4) a a a. a a a. det A a a a. a a a Determinantes 1 Introdução Até agora nós estudamos vários tipos de matrizes e suas mais diversas ordens Em especial, vimos a matriz quadrada, que tinha o mesmo número de linhas e colunas Toda matriz quadrada

Leia mais

NOTAÇÕES. : distância do ponto P à reta r : segmento de extremidades nos pontos A e B

NOTAÇÕES. : distância do ponto P à reta r : segmento de extremidades nos pontos A e B R C i z Rez) Imz) det A tr A : conjunto dos números reais : conjunto dos números complexos : unidade imaginária: i = 1 : módulo do número z C : parte real do número z C : parte imaginária do número z C

Leia mais

Aula 07 mtm B MATRIZES

Aula 07 mtm B MATRIZES Aula 07 mtm B MATRIZES Definição Tabela de números dispostos em linhas e colunas. Representação ou ou Ordem da Matriz Se uma matriz A possui m linhas e n colunas, dizemos que A tem ordem m por n e escrevemos

Leia mais

Álgebra Linear e Geometria Analítica

Álgebra Linear e Geometria Analítica Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia Electrotécnica Escola Superior de Tecnologia de Viseu wwwestvipvpt/paginaspessoais/lucas lucas@matestvipvpt 007/008 Álgebra Linear e Geometria Analítica

Leia mais

Pré-requisitos Algebra Linear. Lorí Viali. Afiliação

Pré-requisitos Algebra Linear. Lorí Viali. Afiliação Lorí Viali Licenciatura Plena em Matemática UFRGS Bacharelado em Matemática UFRGS Especialização em Formação de Pesquisadores PUCRS Mestrado em Engenharia de Produção (PO) UFSC Doutorado Sanduíche na USF

Leia mais

Congruências Lineares

Congruências Lineares Filipe Rodrigues de S Moreira Graduando em Engenharia Mecânica Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA) Agosto 006 Congruências Lineares Introdução A idéia de se estudar congruências lineares pode vir

Leia mais

Aula 01 TEOREMAS DA ANÁLISE DE CIRCUITOS. Aula 1_Teoremas da Análise de Circuitos.doc. Página 1 de 8

Aula 01 TEOREMAS DA ANÁLISE DE CIRCUITOS. Aula 1_Teoremas da Análise de Circuitos.doc. Página 1 de 8 ESCOLA TÉCNICA ESTADUAL ZONA SUL CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA II. CIRCUITOS ELÉTRICOS Aula 0 TEOREMAS DA ANÁLISE DE CIRCUITOS Prof. Marcio Leite Página de 8 0 TEOREMA DA ANÁLISE DE CIRCUITOS.0 Introdução

Leia mais

ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA

ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA Universidade Fernando Pessoa Faculdade de Ciências e Tecnologia 1. Calcule: Capítulo I - Matrizes e Sistemas de Equações Lineares EXERCÍCIOS 1 3 4 3 5 6 1 a + 0 5 1

Leia mais